kudryavtsev1a (947413), страница 97

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 97)

Сформулируем окончательное определение. Определение 1. Предел 1(ш пл.з (6) (конечный или бесконечы о ньп1) называется плосцадыо, или мерой, открытого мноакества 6 и обозначается глез 6: Э ВЕ Мера ллоских открытых множеств 486 кнутый квадрат 11, содержащий множество 6 (6 с 14) и являющийся объединением квадратов нулевого ранга, тогда в (6) сЯ при любом т=О, 1, ..., и, значит, пл. в (6)~пл. (). Таким образом, последовательность (31.2) ограничена сверху и, значит, предел (31.3) конечен.

Ззсгача 21. Доказать, что мера плоского открытого множества не зависит от выбора прямоугольной системы координат на плоскости, на которой оно' расположено. Из курса элементарной математики известно, что в случае, если открытое множество 5 является многоугольником, то его площадь, являющаяся, по определению, и площадью замкнутого многоугольника 5, совпадает с определенной нами мерой: пл. Ь'=пл. Я=шезБвй 31.2. СВОЙСТВА МЕРЫ ОТКРЫТЫХ МНОЖВСТВ Теорема 1 (монотонность меры).

Если б и à — плоские открытые множества и бе:Г, (31.5) шез 6:а шез Г. (31.6) Доказательство. Обозначим, как и выше, через в„(6) и в„(Г) совокупности квадратов ранга т, лежащих вместе со своей границей соответственно в множествах 6 и Г, т = 1, 2, ..., Тогда из условия (31.5) следует, что в (6) с:в (Г), пл. в„(6) =.пл. в (Г), откуда (31.7) (31.8) *' См. также и, 44.2 (квадрируемые множества). В случае, когда оба множества в (6) и в (Г) состоят из конечного числа квадратов, это следует из того, что площадь объемлющего многоугольника не меньше площади объемлемого, а в случае, когда хоть одно из множеств в (6) и в„(Г) содержит бесконечно много квадратов, — из соглашения об употреблении символа + оо.

Переходя к пределу в неравенстве (31.7) при т - оо в силу (31.3) получим неравенство (31.6). ( ) Теорема 2. Пусть 6 и ба, й=1, 2, ...,— плоские открытые множества, б,с: бес:... с бас... и 6= Ц бы тогда а=- 1 1ип шезба =шез6. ЗЬ2. Свойства мери открытых множеств Заметим, что если при некотором «о имеет место шез 6» = + со, то, согласно теореме 1, и для всех Й="-)гв также гпезб»=+ со', в этом случае равенство (31.8) означает, что шезб =+ со. Докажем предварительно лемму. Лемма 1.

Пусть бм к=1, 2, ..., — открытые плоские множества, 6» с бв с... с 6» с 6»ы с: . (31.9) н »=1 Тогда если Š— компакт и Е с: б, (31.10) (31.!1) то суи(ествует номер ко, такой, что ,'31. 12) Доказательство леммы. Из (31.10) и (31.11) следует, что система (6»), к=1, 2, ..., образует открытое покрытие множества Е. Поэтому, согласно теореме об открытых покрытиях компакта (см. теорему 4 в п.

18.3) существует конечное покрытие (6», ..., 6» ) множества Е »=1 Обозначим через )го наибольший из номеров ем ..., к . В силу условия (31.9) имеем равенство (.) ' =б' е=1 Следовательно, Е с: 6»,. Д Доказательство теоремы 2. Предварительно заметим, что из условия 6, с: 6, с:... 6» ~... следует (см. теорему 1), что шезб,«гпезбв»... =шезб»«..., (31.13) поэтому последовательность бы к=1, 2, ..., всегда имеет пре- дел, конечный или равный +со. Рассмотрим два случая. 1. Пусть все множества в„(6), т = О, 1„..., состоят из конеч- ного числа квадратов.

В этом случае каждое из множеств в (6) является ограниченным замкнутым множеством и, следовательно, компактом. Поэтому по лемме 1, для всякого номера т сущест- вует такой номер й„, что в (6) ~ 6» , т = 1, 2, ввв. э" ад Мера плоских открытых множеств При этом выберем й так, что й ° )й„при т')тп. Это всегда можно сделать, например, следующим образом.

Если выбраны номера (с,(й,(... -к, и для множества ь„(6), согласно лемме 1, найдено множество О„такое, что ь (6) с: 6„, (31.15) то обозначим через й„какое-либо натуральное число такое, что к»й, и й =.-и; тогда О„с:Оп„и, значит, ь (6)с:Оп,„. Таким образом построенная последовательность й„, т=1, 2, является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел. Обозначим теперь через й„(6) совокупность всех внутренних точек множества ь„(6).

Очевидно, ь (6) — открытое множество и ь (6) сь„(6) с'Оп, поэтому в силу теоремы 1 теьь (6)==. гпеьОа (31.16) Поскольку Оп с: 6, й=1, 2, ..., то в силу той же теоремы 1 теь 6, == теь 6. (31.17) Объединяя неравенства (3!.16) и (31.17), получим: гпеьь„(6) =теьй (6)» шеьОа„(гпеьО. Переходя в этом неравенстве к пределу при т-~со, будем иметь Ит теьОаы=теьО, ы со ибо, согласно (31.3): 1пп гпеь ь„(6) = гпеь 6.

ы со Последовательность (гпеь Оп), как отмечалось выше, имеет конечный или бесконечный предел, поэтому он совпадает с пределом любой ее подпоследовательности, следовательно, 1ип гпеь Оп = гпеь 6. К са г. е. выполняется равенство (31.8). 2. Пусть существует множество ь (6), содержащее бесконечно много квадратов; тогда пл. ь (6) = + со, поэтому и гпеь 6 = -1- со.

Покажем, что в этом случае и 11 т шеь Оп = + оо. (31.18) Пусть задано е ) 0 и пусть ь (6) состоит из бесконечного множества квадратов. Площадь каждого квадрата ранга т равна †,„. Зафиксируем натуральное число и так, чтобы ! л)10'ы ) е, ЗХ2. Свойства мерь~ открытых авовсеств и выберем из з (6) и каких-либо квадратов. Обозначим множество их.точек через О. Множество В является многоугольником (оно является объединением конечного числа квадратов) и, следовательно, ограниченным замкнутым множеством, т.

е. компактом, причем (31.20) В силу леммы существует такой номер й, что дс6,. (31.21) Обозначим через .0 множество внутренних точек многоугольника )р. Согласно теореме 1 и формулам (31.19), (31.20), получим гпез6в~пл. а=ил. 0~а В силу же (31.13) и для всех й'~й гпез6в) е. Это и означает выполнение условия (31.18). ( ) Примером неограниченной плоской области, имеющей бесконечную меру, является полоса 6 = 1(х„ у): 0 « у < 1).

Оиа содержит в себе бесконечное множество, например, квадратов первого ранга и потому шез6 =+ со. Для того, чтобы построить пример неограниченной области с конечной площадью, поступим следующим образом. Пусть ()— единичный квадрат: Я = ((х, у): 0:= х-= 1, 0 -= у ~ 1). Положим 6, = ((х, у): 0 ~ х ( 1, 0 у ( -2 ~, 6в= 6т() ((х, у): 1 ~х(2, 0 -'у вообще 6ь-т = 6в () ~(х, у): й ~ х < А+ 1, О ( у < — д,~, А = 1, 2 .... Каждое множество 6, открыто (почему?).

Наглядно образование множеств 6„можно представить себе следующим образом: 6,— половина квадрата Я; для получения 6, берется половина оставшейся половины квадрата Я и прикладывается соответствующим образом к 6„получается 6,; далее, половина оставшейся части квадрата Я прикладывается уже к 6в (рис, 114) и т. д. и ЗК Мера плоских открытасх множеств Очевидно, имеем цепочку включений бт с бз с...

с бя с: .. и 1 1 1 2 2е'т 1 +2'+'''+2" 1 2в' 1— 2 1 пл. ба=- Положим 6 =- ( ) а= 1 Множество 6 откр рему 2, ее площадь: ыто и неограничено. Найдем, применив тео- гпез 6 = 1! пт гпез ба = 1пп (1 — ) = 1. 1т а со йа) Мера (объем) открытых множеств в трехмерном и вообще п-мерном пространстве (и=1, 2, 3, 4, ...) определяется с помощью аналогичной конструкции, следует только, естественно, исходить не из разбиений плоскости на квадраты (квадрильяжей), Рис.

1!4 а из разбиений пространства на соответствующие и-мерные кубы (кубильяжей). На и-мерный случай переносятся и теоремы, доказанные в этом параграфе. Мы вернемся еще к изучению меры множеств в дальнейших главах, см. и. 44.1. В этом пункте будут излагаться дальнейшие свойства меры (например, ее поведение при объединении множеств — так называемая аддитивность меры); его можно читать непосредственно вслед за настоящим параграфом.

У и р а тк не н и с 1.. Доказать, что площадь прямоугольнииа равна произведению его сторон. 2, Пусть 6 †прям круговой цилиндр, основанием которого является круг К, а высота которого имеет длину й. Доказатзь что спев 6й атаев К, где гпез 6 есть мера 6 в пространстве, а глез К вЂ” мера К на плоскости. 82.6 Вычисление площадей 5 32. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 32Л. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ В этом пункте будут выведены формулы для вычисления площадей некоторых плоских областей. При этом воспользуемся известными из элементарной математики свойствами площади простейших плоских фигур (многоугольников, секторов), например, тем, что при обьединении таких фигур, не имеющих общих внутренних точек, их площади складываются.

Впрочем, это утверждение будет строго доказано в и. 44.1. Теорема 1. Пусть функция 1"' определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке [а, Ь]. Тогда площадь 5 множества 6 =- ((х, у): а: х ( Ь, О ( у ( [ (х)] выражается формулой 3 = ~ 1' (х) йх.

ь (32.!) (32.2) !=! Множество 6 является открытым ограниченным множеством. Действительно, его ограниченность следует из того, что функция 1, будучи непрерывной на отрезке [а, Ь], ограничена на нем. Покажем, что множество 6 открыто. Пусть (х„у,) ~ 6; тогда 0(уь([(хь). Возьмем какое-либо число Ч)0, такое, что Ос ~уь — Ч(уь(уь+Ч(((хь). В силу непрерывности функции ~ в точке хь существует такое 6- О, что для всех х ен (х„— 6, х,-!-6) выполнЯетсЯ неРавенство 1(х))Уь+!1.

Ясно, что пРЯмоУгольнаЯ окрестность Р((х„у,); 6, т)) принадлежит множеству 6, т. е. точка (х„у,) является его внутренней точкой. Граница множества 6 содержится в объединении графика функции 1, отрезка [а, Ь] оси Ох и отрезков [О, 1(а)] и [О, 1(Ь)] соответственно прямых х=а и х=-Ь. Оно обычно называется криволинейной трапецией (см. рис. 90), порожденной графиком функции 1.

Доказательство. Пусть т=(х!)!==во — некоторое разбиение отрезка [а, Ь]. Обозначим через 6, и й, замкнутые многоугольники, составленные из всех прямоугольников вида 6,;=((х, у):х!, -х(х„О у=Ми с=1, 2, ..., Ь), дъ!=((х, у):х; ! х~=хг, Ос у -:т„!'=1, 2, ..., Ь), где т„= 1п1 1(х), М!= зпр 1'(х), т.

е. (рис. 115) Х. ~(Х(Х. К. (Х(Х! 6к= Ц 6к,! йк= Ц йъ! 49З Э З2. Геометрические и физические ирилозсенгги интеграла Если обозначить через 6, и д; множество внутренних точек многоугольников 6, и д„ то д,с 6 с 6,. (32.3) Если от и з,— соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу функции 1 на отрезке [п, Ь], соответствующие его разбиению т, ь х о Ь Х Рис. 11З то очевидно, что пл. д, =-з„пл. 6, = 5,. Поэтому из (32,3) в силу монотонности меры следует, что з, ==. гпез 6 .-а 5т. (32.4) Поскольку ь Игп з,= 11щ 5,=~1(х)г(х, ь -о б -о т (32,5) то гпез 6 = ~ ! (х) г(х. ( ) а Как известно (см. п. 27.4), ь 1ип от= 11гп з,= 1пн Я,=~)(х)х(х, б -о б о б -о т поэтому в силу формулы (32.1) 1!т о,=!пп з, =- 1!щ Я,=тез6.

Характеристики

Список файлов книги