kudryavtsev1a (947413), страница 101
Текст из файла (страница 101)
У п р а ж н е н и я. 3. Найти площадь конечной области, ограниченной параболой уа=.2х-).1 и прямой у — х - 1. 4. Найти площадь области, ограниченной цнклоидой х=а(1 — мп О, у=-а(1 — соз1), 0(1 - 2я, и прямой у=.о. 5 Найти площадь области, ограниченной кривой ра=азсоз2<р (эта кривая называется лемиискатой). 6. Найти объем тела вращения, образованного вращением одной арки синусоиды у= — Мпх, О~хван вокруг оси Ох. у.
Найти длину кривой у=1псозх, 0 =.х~а( —. 2' 8. Найти длину дуги спирали Архимеда р=а<р, О ~ <р ( 2н. 9, Найти площадь поверхности, образованной вращением астроиды х~~~+ .1- уз<а =аз<а вокруг оси Ох. 10. Найти координаты центра тяжести дуги круга х=гсоз<р, у=с з)ПЧ<, )<р<'=-"'я:сйн, 11. Доказать существование центра тяжести для непрерывно диффереп- цируемой кривой, иначе говоря, доказать, что точка плоскости, определяемая формулами (32.28), не зависит от выбора декартовых координат на плоскости. й 33. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 33.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ Функция, неограниченная на отрезке, не интегрируема на нем по Риману (теорема 1, п.
27.2). Если функция определена на бесконечном промежутке, то нельзя говорить о ее интегрируемости по Риману просто потому, что определение интеграла относится только к функциям, заданным на отрезке. В настоящем параграфе понятие интеграла обобщается как на случай функций, определенных на неограниченных промежутках, так и на случай функций, определенных на ограниченных промежутках, но неограниченных на них.
Это делается с помощью предельного перехода, дополнительного к пределу, с помощью которого вводится интеграл Римана. у ЗЗ. Несобственные интегралы бс'2 Определение 1. Пусть функция 1 определена ни конечном или бгеконечнолг полуинтервале (и, Ь), — оо<и(Ь~+оо„и интегрируема ло Риману ни любом отрезке(а, т!1, а ЧСЬ.
Если суи1естявует 1пп ~)(х) с(х, то функция 1 называется интегрируемой в несобч-ьа ственном смысле на яромеакутке (а, Ь), и укатанный предел называется ее нееобственнылс интегралом и обозначается через ) ! (х) ах. а я у я Таким образом (рис. 130) ь и Рис, !ЗО ~ 1 (х) с(х в" 1'пп ~ Г (х) йх. (33.1) а я-ьа Если предел (33.1) существует (и, следовательно, конечен), ь то говорят также, что несобственный интеграл ~1(х) йх сходится, в противном случае — что он расходится. В отличие от несобственного интеграла обычный интеграл Римана называют иногда собственным интегралом.
ь Существование несобственного интеграла ~ )'(х) йх эквивалентно а ь существованию несобственного интеграла ~ г (х) с(х при любом с с ен (и, Ь). В самом деле, интеграл ~1(х) с(х отличается от инте- с и трала )1(х) с(х (при е(ч(Ь) на конечную, не зависящую от а), с с величину ~~(х) "х: а ч с г с (х) йх=~):(х) йх+ ~) (х) "х Поэтому при т! — ь-Ь оба интеграла ~ и ~ одновременно имеют а с или не имеют предел, причем в случае его существования ь с ь ~1(х) йх= ~) (х) йх+ ~)'(х) йх. (33.2) ЗЗ.!. Онределение несобственных интегралов дтЗ Из определения (33.1) несобственного интеграла и из (33.2) ь следует, что если интеграл ))'(х) сьх сходится, то а ь 11ш ~ ! (х) с(х = О.
с Ьс (33. 3) ь ') !(х) с(х также является несобственным и говорить о его стреме ленин к нулю при с-+-Ь можно лишь уже обладая определением сходящегося несобственного интеграла. Если функпия ! неотрицательна и непрерывна на промежутке [а, Ь), ь то несобственный интеграл ~1(х) с(х а равен площади неограниченного открытого множества 6=((х, у):а(х(Ь; 0(у =!(х)[, т. е. а д у» д ) !' (х) с(х = п1ез 6. (33,4) Рис. ЗЗ! а Действительно (на рис. 131 изображен случай конечного Ь), выберем какую-либо последовательность й»с=[а, Ь), /г=1, 2, ... так, чтобы 1пп т1»=Ь и положим 6»=((х, у):а(х«т!», 0(у()(х)». Тогда согласно теореме 1 из и. 32.1 глез 6, = ~ ) (х) с(х.
а (33.5) Поскольку 6» — открытые множества, й=1, 2, ..., и Ц 6,=6, »=! 6,~6»с: ... ~6»~:.. и то, в силу теоремы 2 п. 31.2 Нт тез 6, = тез 6. » со 17 Кена»наев Л. д. т. 1 Отметим, что выполнение этого условия нельзя принять в качестве определения сходящегося интеграла ~ ! (х) с(х, так как интеграл а бИ Э 33. Несобственные ингесралы Согласно же определению несобственного интеграла 1пп ~ [ (х) г(х = ~ [ (х) г(х. а а Поэтому, перейдя к пределу в равенстве (33.5) при Ь-ьсо, получим (33.4). Отметим, что определение (33.1) несобственного интеграла ь ')[(х)с(х в случае конечного промежутка [а, Ь) содержательно а лишь в случае, когда функция [ неограннчена в любой окрестности точки х=Ь„т. е.
на любом интервале (Ь вЂ” е, Ь) (0(е- (Ь вЂ” а). Это связано с тем, что (как нетрудно показать) всякая функпня, интегрируемая по Риману на любом отрезке [а, т11, а~т)(Ь ~+со, и ограниченная на полуинтервале [а, Ь) будет интегрируемой по Риману з и на отрезке [а, Ь] при любом ее доопределении в точке х=Ь. При этом интеграл Римана от таким обг разом доопределенной функции равен пределу (33.1) и, тем самым, не зависит от выбора дополнительного Рис. !32 значения функции при х= = Ь.
В этом смысле интеграл Римана является частным случаем несобственного интеграла. Поэтому все дальнейшее изложение содержательно лишь когда функция определ.на на бесконечном промежутке или конечном, причем в последнем случае неограничена (рнс. 132). Содержательность здесь понимается в том смысле, что для ограниченных подынтегральных функций, определенных иа ограниченных промежутках, доказываемые ниже теоремы либо тривиальны, либо доказаны раньше. У п р а и н е н и я. 1. Пусть функция 1 ограничена на полуинтераале (а, Ь), — со(а(Ь(+оэ и интегрируема по Риману на любом отрезке ч (а, т1], а-- Ч(Ь. Доказать, что а этом случае предел 11гп [1(х) г1х асегда ч ьа суцгестнует, причем если функцию 1 произвольным образом доопределить при х.=Ь, то этот предел будет равен интегралу Римана по отрсзкзд [а, Ь) ог доопределенной функции.
2. Пркнести пример неотрицательной при хте 1 и неограниченной а любой окрестности + со фуакцин й для которой сходится иссобстаенный интеграл +ю 1(х) бх. г ЗЗ.!. Определение несобственных интегралов бтб Здесь правая часть является пределом функции двух переменных $ и пе ОбРазно говоРЯ, пеРеменные $ и т1 стРемЯтсЯ соответственно к а и Ь независимо друг от друга. Пусть теперь существует конечное число точек х,, 1= О, 1, ..., К вЂ” со=-=а=ха(х,< ... (хь=Ь~+со (под хь можно подразумевать также — со, а под хь — + со) таких, что все несобственные интегралы х 1(х) Нх, х,. (=1, 2,...,1г, ь существуют.
Тогда несобственный интеграл ~) (х) с(х определяется а по формуле ь ь х; ~1(х) с(х =' ~ ~ )'(х) с(х. (33.8) с= !хс — с 17* Если функция 1 определена на полуинтервале вида (и, Ь1, — со=: а-с'Ь(+ссг, и интегрнруема по Риману на всех отрезках [$, Ь1, а(3=Ь, то несобственный интеграл )1(х) с(х опреа делается по формуле ~1(х) с1х — '- 1нп ~1 (х) с(х.
(33.6) а ь ах Если же функция ~ определена на интервале (а, Ь), — сю( ==аСЬ=-.+со, и при некотором выборе точки сец (а, Ь) сущес ствуют несобственные интегралы ~ 1'(х) с(х (в смысле (33.6)) и а ))(х) с(х (в смысле (33.1)), то по определению полагается ь с Ь ~ 1(х) с(х †" ~ 1(х) с(х + ) 1(х) с(х. (33,7) а а с При этом существование и значение интеграла ) 1(х) с(х не зависит а от выбора точки сан(а, Ь). В самом деле, в рассматриваемом случае функция 1 очевидно интегрируема по Риману на любом отрезке 15, Н), а«.5 Ч«Ь, и определение (33.7) в силу определений (33.1) н (33.6) равносильно следующему: ь )с1'(х)с(хе" 11щ ))1'(х) с(х, а«Ц(Ч<Ь. а Ь аа ь ЗЮ.2. Формулы интегрального иснислении Таким образом, + ьь ~-( и сходится прн а ) 1, ! х", расходится при сс = 1.
Мы вгели новое понятие — понятие несобственного интеграла. Прежде всего естественно выяснить, какими свойствами обладает этот интеграл. Сохраняются ли для него свойства обычного инте- грала? Возникают ли для несобственного интеграла (а если воз- никают, то такие) новые задачи и вопросы, специфические именно для него? Мы получим ответы па эти вопросы в дальнейших пунктах этого параграфа. 33.2. ФОРМУЛЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ В этом и в дальнейших пунктах при рассмотрении свойств несобственных интегралов будем останавливаться более подробно лишь на интегралах от функций, определенных на конечных или бесконечных промежутках вида [а, Ь) и интегрируемых по Риману на всех отрезках [а, т)1, а =:Ч<Ь. Любыедругие предположения будут специально оговариваться.
В силу свойств предела и определения несобственного интеграла, как предела обычного интеграла Римана, на несобственные интегралы переносятся многие свойства определенного интеграла. Рассмотрим некоторые из них. 1' (Формула Ньютона — Лейбница для несобственных интегралов). Если 4ункция г" непрерывна на полуинтерволе [а, Ь) и Е— какая-либо ее первообразная на неж, то Е(Ь вЂ” О) — Е(а), если Ь конечно 1 ) (х) г(х = Е(+со) — Е(а), если Ь =+ со (33. 11) Здесь Е (Ь вЂ” О) = 1цп Е (х) в случае, когда Ь конечно, и Е (+со) =- х ь — О = 1ппЕ (х), а под первообразной Е функции Г на промежутке х Л-о [а, Ь) понимается функция Р, непрерывная на нем, дифференцируемая во всех его внутренних точках и такая, что Е'(х) =)(х), а<х<Ь.
Равенство (33.11) понимается в том смысле, что либо обе его части одновременно имеют смысл, и тогда они равны, либо они одновременно не имеют смысла, т. е. стоящие в них пределы не существуют. Действительно, согласно формуле Ньютона — Лейбница для функций, интегрируемых по Риману (см. п.
29.3), для любого Ч ~[а, Ь) имеем )) (х) гКхх Е(г)) — Е(а). а ив Э ВВ. Несобственные интегралы Переходя в этом равенстве к пределу при т1-нЬ, а(т1(Ь, получаем формулу (33.11). Подчеркнем, что эта формула доказана в предположении, что функция 1 интегрируема в обычном смысле на каждом отрезке вида [а, Ч), а()1(Ь. Для интегралов вида (33.8) в случае, когда в правой части имеется более чем одно слагаемое, аналогичная формула верна не всегда. Образно говоря, если в некоторой внутренней точке данного промежутка функция обращается в бесконечность, то на всем этом промежутке нельзя, вообще говоря, применять формулу Ньютона — Лейбница.
Например, р г)х если к интегралу ] —; формально применить формулу Ньютона— — 1 )! Лейбница, то он будет равен числу — — ~ = — 2. Однако, как х ~— мы уже знаем, рассматриваемый интеграл не существует. Таким образом, в этом примере применение формулы Ньютона — Лейбница сразу на всем промежутке интегрирования невозможно по существу. Формула, аналогичная (33.11), справедлива, конечно, для несобственных интегралов вида (33.6).
Если же несобственный интеграл определяется равенством (33.8), то формулу Ньютона— Лейбница следует применять (если это возможно) отдельно к каждому слагаемому правой части. 2'. (Линейность несобственного интеграла). Если несобственные ь ь интегралы ~ ~ (х) с(х, ~ Ат (х) с(х сходятся, то для любых чисел а а Х, 1! сходится и несобственныб интеграл ) [Л( (х) + ро(х)] дх, причем $ Я (х)+рй(х)]с(х= Х $ Г(х) дх+р ~8(х) дх. В самом деле ~ [)„1(х)+р)т(х)]с(х=!1тп ~ [г.1(х)+1)д(х)]с(х= а ч ьа Г н - ь-11!)!.)е*-.)е)*)г*]= н ь а ч ь ь — )„11гп )1(х) г(х+р1пп ~8(х) с(х= Х]) (х) с(х+1! ~к (х) с(х, ч-ь а н ьа а а 33.2. Фоо.нули интегрального исчисления гс ее Подобным же образом доказываются и нижеследующие свойства несобственных интегралов, аналогичные соответствующим свойствам интеграла Римана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
