kudryavtsev1a (947413), страница 98
Текст из файла (страница 98)
б о б о б о т 1 Таким образом, геометрически интегральные суммы Римана и суммы Дарбу равны приближенному значеншо площади рас- сматриваемой криволинейной трапеции, причем любая точность достигается выбором достаточной мелкости разбиения т, а предел интегральных сумм равен истинному значению указанной площади. Пусть теперь функция 1 непрерывна и неположительна на отрезке !а, Ь1. Положим в этом случае 6 = ((х, у): а ~ х ( Ь, 1(х) ( у (0).
З2.1. Вьмислеиие илощадей Пусть Π— множество, симметричное множеству О относительно оси Ох*) (рис. 116), тогда тпез 11 = пьез О. (32.6) В рассматриваемом случае функция — 1 неотрицательна на отрезке 1а, Ь), поэтому ь ь у гпез О = ~ [ — 7'(х))с(х = — ~ 1(х) с(х. е е (32.7) Сравнив (32.6) и (32.7), получим ь тпез О = — ~ 7 (х) с(х, О ь т, е.
здесь интеграл)1(х)ь(х равен, с е точностью до знака, значению плошади криволинейной трапеции О. Если же функция 7 меняет знак на отрезке 1а, Ь) в конечном числе точек, то интеграл )1(х)с(х равен алгебраической сумме площадей соответствующих криволинейных трапеций, ограниченных частями графика функции 7, отрезками оси Ох и, быть может, отрезками, параллельными оси Оу (рис. 117). Рис. 117 Рис. 118 Как видно, одной вз задач, естественным образом приводящих к понятию определенного интеграла, является задача вычисления площадей. Развитый аппарат интегрального исчисления дает общий и единый метод вычисления площадей разнообразных плоских фигур.
Пр имер ы. 1. Найдем плошадь 5 круга радиуса г. Поместим начало координат в центр указанного круга. Тогда уравнение е~ Это означает, что о=((х у): (х — у) ~ Я. 4й4 р 22. Геометрические и физические ярилсжения иятеграла полуокружности, лежащей в верхней полуплоскости, имеет вид у=-)/««г — х' (рис. 118). Поэтому площадь полукруга радиуса вычисляется, согласно теореме 1, по формуле (32.1) г и Я Я= 'г )/«г — хгс(х=«г г з(пг(сЦ «и ( ' ' с(1 2 2 о (при вычислении интеграла сделана замена переменного х = «сов 1), откуда искомая площадь круга равна и«'.
Рис. 120 Рис. 119 Подобным же образом находится и площадь 5 сектора круга (радиуса «), соответствующего центральному углу гр. Считая для простоты 0 =. тр==.. я12, имеем (рис. 119): г соо <р г г хг гя е )гсосо Яч — — ~ х 1Я ~Р с(х+ ~ )Г«г — хг (х = — — ~~ + )о о г сот со г 1 1 — соз 21 гг з!и ср соз Ч гсср гг яя 2к гге 2 2 2 4 2 ' о 2. Найдем площадь 5, ограниченную осью Ох и одной аркой синусоиды (рис. 120) Б = ~ з) и х с(х = — сов х ~,", = 2. о Здесь, как и всегда в дальнейшем, говоря об области, ограниченной некоторой кривой, являющейся простым замкнутым контуром (см, п.
16.1), мы всегда будем иметь в виду ограниченную область, границей которого является данный контур. Всякую неограниченную область, границей которой является подобный контур, будем называть внешней (для данного контура). В рассматриваемом случае внешней областью является «внешность» области, заштрихованной на рнс. 120. Внешняя область всегда имеет бесконечную площадь. Действительно, всякая кривая ограничена (см. п. 16.3), поэтому во внешней области любого простого контура содержится, например, квадрат со сколь угодно большой 22.1. Вычисление площадей стороной. Отсюда сразу и следует бесконечность площади внешней области.
3. Найдем площадь Я, ограниченную гиперболой у= 11х, осью Ох, отрезком прямой х= 1 н отрезком прямой, проходящей через точку оси Ох с абсциссой, равной х и параллельной осн ординат (рис. 121): Я= ~ — =1и ~ =!пх. ! хе ао 4. Вычислим площадь, ограниченную эллипсом —, + —, = 1. Посколько лежащий выше оси абсцисс полуэллипс описывается Ь уравнением у= — )/ао — х', то для четверти искомой площади я а имеем (см. пример 5 в п.
22.3 или пример 1 в п. 22А): а 1 Ь 1 е о а~а! . х х о 1е аЬп 4 а,1 — 8=- — Г ф'а — х с(х=- -~ агсз!и — + — )'а — х 1 Ы2 а 2 1о 4 о откуда Я=пау, Рис. 122 Рис. 121 5. Доказанное в и. 20.8 неравенство (20.50) имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим кривую у=хи-' или, что то же, х=уо-л, где р) 1, — +-=1 (см. (20.55) и (20.56)).
Выберем о произвольно а-=: 0 и Ь = 0 и подсчитаем площади о! и 5о (рис. 122): а Ь Я вЂ” ~ хи-'с(х = — Я = уе-'г(у —— о о Геометрически ясно, что площадь прямоугольника со сторонами а и Ь не превышает суммы о!+Я„т. е. а5~5х+Яо или, подробнее, Ьо аỠ— -1- —, — + — =1, р)1, Р Ч Р О 49б Э З2. Геометрические и физические прилоркеник интегрили а это и есть неравенство (20.50). При этом очевидно, что аЬ == =-В,+Яр в том и только том случае, когда Ь4 аи-'.
Йайдеь! теперь формулу для площади сектора кривой, заданной уравнением, связывающим ее полярные координаты: р = р(ф), где р = р (ф) — неотрицательная, непрерывная на отрезке (а, Я функция, 0==:а=. =. р ( 2п. Пусть 6 — открыл тое множество, граница кото- рого состоит из кривой АВ, д а описываемой в полярных ко- ординатах уравнением р— Рис. 12З =- р (рр) и, быть может, из отрезков ОА и ОВ лучей рр=а и рр=(рр (рис. 123), 6=((о, рр): а(ф(р, 0(р(р(ф)). Пусть т = (рр;,",- з — некоторое разбиение отрезка (а, р1. Положим Л рр=рр! — ф! и яр!= рп1 р(ф), М;= эпр р(рр), чт !<и~и! рр,, «р «р,.
др,, = ((р, рр): фр, < ф < фр, 0.«: р < яр!), бр,=((р, ф): рр! т~рр==ррь 0(р =М ). Впишем во множество б и опишем вокруг него ступенчатые фигуры йч и б„составленные из круговых секторов д! „и 6; „ р=1,2,...,й: йч= Цй!.чг бч= (ррбр,ч. в=! Обозначим через д, и б„совокупности всех внутренних точек множеств д, и 6,. Очевидно, д, и б„— открытые множества и й, ~ 6 б,; поэтому, согласно свойству монотонности площади, пл. дт.к-. гпез 6( пл.
6,. Но пл. др= пл. д„пл. О,=ил. О„следовательно, пл. д, .:- рпез 6 ( пл. 6,. (32.8) Площади круговых секторов др, и 6;, равны соответственно -трЛф; и - М,'Лфр Из элементарной математики известно, что при объединении плоских фигур их площади складываются (см. об этом также в п. 44.1), значит р пл.рч= рп;Гзфр, пл.бт — 2 7 МрЛф!. 1 %з 1 \1 2 ~ р=! !'=- ! З2.2 Объем тел вращения Из этих равенств видно, что пл.де и пл.б, являются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу для функции 2ро(р) на отрезке 1сс, р1: з,=ил.д„Я, =-пл.
б„следовательно а 2~~ Вычитая это неравенство из неравенства (32л3), переписанного в виде ут~гпезб~з„получим а — ~-,'~р'()~ а Отсюда, перейдя к пределу при бт — е-0, имеем а |пег б=- ~ ро(ср) с(<р 1 ) (32 9) а В качестве примера найдем площадь Рис. 12е о фигуры, ограниченной кардиоидой р=а(1+созср) (см. и. 1?.5), которая изображена на рис. 124. По формуле (32.9) получим оя ьт 5=-~ ~ (1+созер)'с(ер= — ~ Ьр+ о о 2я оя +а ~ созтр дтр+- — дтр= -па. о ае Г1+ст2со 3 о 2) 2 2 о 32.2. ОБЪЕМ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ В конце п. 31.2 отмечалось„ что понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади на плоскости. Выведем формулу для вычисления объемов тел вращения. Теорема 2. Пусть функция ?(х)==0 непрерывна на отрезке (а, Ь1, а гг — тело, полученное вращением криволинейной трапеции б, порожденной графиком функции 1".
Тогда .для его объема тпез1г справедлива формула ь 1,1 = '1 1'о ( ) с( . (32.10) а Доказательство. Обозначим через о, и бт тела, образованные вращением вокруг оси Ох ступенчатых фигур у, и б, (см. доказательство теоремы 1), Из включения (32.3) следует, что 498 э 82. Геометрические и физические приложения интеграла д„сЯ с Я„а потому и шез гтт» шез !4» тез 9т. (32.11) Объемы сч и У, множеств с1,-и Ят равны суммам объемов цилиндров, образованных вращением прямоугольников д,; и бч, г (рис. 125): ь п,=тезгу,= ~, лпьзЛхч, ч=1 ь У,=шезЯт=- р,' лМ', Лхь ч=! Из этих равенств вндно, что пт и Уч являются нижними и верхними суммами Дарбу функции л[з (х); поэтому ь оч~ л') !з (х) с(х-- Утт (32.12) и так как функция Гз непрерывна н, следовательно, интегрируема, то [Ут — пт1 = О.
(32.13) ь„о Рис. г2о Из неравенств (32.11) и (32.12) следует, что ь Оз — 1», «= Л ) !' (Х) С(Х вЂ” ШЕЗ !4 =. У, — Г о О откуда в силу (32.13) и вытекает формула (32.10). П р имер ы. 1. Найдем объем У шара радиуса». Рассматривая этот шар как тело, образованное вращением полуокружности у=)Г»з — х', — »==х =» вокруг оси Ох (см. рис. 9б), по формуле (32.10) получим: г икз М 2 4 У = л [ (»' — х') с(х = л»'х1 — - ~ = 2л»з — — л»з = - л»з.
3 3 — т 2. Найдем объем У прямого кругового конуса с высотой, равной !ь, и радиусом основания». Рассматривая указанный конус, как тело, полученное вращением треугольника с вершинами в точках (О, 0), (й, О) и (л, ») вокруг оси Ох (рис.
126), АЗ. Вычисление длины кривой получим, согласно формуле (32.10), лсь Г лсьхь !» лсьа У = —, д1 хье(х= — ~ — и 3 =за»~о= з. о 3. Найдем объем 1' тела, полученного вращением вокруг оси х Ох графика функции у=ос)! —, — Ь~х~й. Эта кривая называ- а' ется цепной линией (рис, 127). По формуле (32.10) имеем ь ь х ла' г! 2х~ У=па' ~ с)ть — !(х= — — ~ (1+со — -~ с(х= а 2 д(, а) лаьх ла' 2х1» лаь 2Ь = — + ---з)з--~ =па'Ь-1- — — з)! —. 2 4 а) — ь 2 а' Из рассмотренных в этом параграфе примеров уже отчетливо видна сила и общность методов интегрального исчисления: еди- Рис.
12б Рис, !27 ным методом быстро и просто получаются формулы для площадей и объемов, как известные ранее из курса элементарной математики, так и совершенно новые. В ближайших пунктах мы рассмотрим еще ряд задач, также легко решаемых методами интегрального исчисления. 32.3. ВЫЧИСЛЕНИЙ ДЛИНЫ КРИВОЙ Мы рассмотрели ряд задач, приводящих к понятию определенного интеграла.
Все они имеют то общее, что в них нахождение значения какой-то величины приводилось к определению предела некоторой интегральной суммы при стремлении мелкости разбиения к нулю, т. е. к определенному интегралу. Существует, однако, и другой круг задач, приводящих к понятию определенного интеграла, В ннх известна скорость изменения одной величины относительно другой и требуется найти первую величину или, говоря точнее, дана производная функции, а требуется найти саму функцию, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
