kudryavtsev1a (947413), страница 102
Текст из файла (страница 102)
3' (Интегрирование неравенств). Если интегралы ~ г (х) йх, а ь ~д(х) йх сходятся, и для всех х~(а, Ь) выполняется неравенство а ((х)»д(х), то ь ь ~)(х) йх» )у(х) Йх. (а, Ь), то ь !ь ь ~ ийо = ио — ~ ойи, а а а (33.12) ь !ь ь причем, если любые два из выражений )ибо, ио~ и ~ойи имеют а а а смысл (т. е. соответствующие пределы конечны), то имеет смысл и третье. 5' (Замена переменного в несобственном интеграле). Пусть функция )' непрерывна на 1а, Ь), функция чр(2) непрерывно дифференцируема на полуинтервале (а, ()), — со(а» р =+со, причем а = ~р (а) - ~р (!) ( Ь =! пп ц (г) при а =' г ( р; тогда ь Р(х) йх=1Л~(О) р (()) й~. (33.13) При этом интегралы в обеих частях атой формулы одновременно сходятся или нет.
Может случиться, что с помощью замены переменного несобственный интеграл превратится в обычный. Например, выполняя 1 ох в несобственном интеграле~ —.= замену переменной х=з!п(, Ь' ! — ха о О=ь» -2-, получаем собственный интеграл ии ~,;! хь=~ =2- 4' (Правило интегрирования по частям).
Если функции и= =и(х) и о=о(х) непрерывно дифференцируемы на промежутке ага а ЗЗ. Нееобегвеннае ингеграхег Ь Отметим, что всякий несобственный интеграл ))(к) е(к по кое печному промежутку 1а, Ь) может быть заменой переменной сведен к несобственному интегралу по неограниченному промежутку. Действительно, сделав, например, замену переменной 1+1 . (1 1 1)2 получим 1) (х) е(х = (0 — а) ~ )' ( —,, ) а о По аналогии с интегралом Римана для сходящегося несобсто венного интеграла )) (к) ггк, а(Ь, по определению полагается: а а Ь ')) (к) дк = — — ~Г(к) е(к.
Следует обратить внимание на то, что не все свойства определенного интеграла Римана переносятся на несобственные интегралы. Так, например, произведение двух функций, интегрируемых по Риману на некптором отрезке, является. функцией, также интегрируемой по Риману на нем. Аналог этого утверждения для несобственных интегралов не всегда справедлив. Существуют функции Г и и, интегралы от которых на некотором промежутке сходятся, а интеграл от их произведения на том же промежутке 1 расходится. В самом деле, пусть например, ((х) =ее(к) = =. Ух г ах Как мы знаем (п. 33.1) интеграл ~ у-- сходится, а интеграл Ук о ! 1 г дх )(к)д(к) е(х= ~ — расходится. Сделанное замечание еще раз напоминает.о том, что, используя при обращении с несобственным интегралом аналоги свойств интеграла Римана, следует всегда не забывать о необходимости проверки справедливости для несобственного интеграла всякого утверждения, аналогичного соответствующему утверждению для собственного интеграла.
Примеры. Вычислим нижеследующие несобственные интегралы, используя сформулированные выше свойства: +о~ ах ! 1. ( =. Посредством замены переменной к= —, полуе кУх' — 1 1 Ео.л. Формулы интегрального исчисления оП ЧИМ +со ! х)схз ! ) Р" 1 !ь ! 2. 7„=~(1пх)кдх. п=О, 1, о ! и = агсз1п 1 о 2, ... Интегрируя по частям (при п)0), имеем ! 1„= х (1п х)" !' — и ~ (1п х)" ' с(х =- — пь'„т, о = ( — ! )'+тл! 11!п х = 0) : —.о ! Заметив, что оооо ')с(х=1, о +со 3. 1,= ~ хне-кс(х, а=О, 1, о получим У„=( — 1)" и!*1; 2, ... Снова проинтегрировав по частям заданный интеграл при п О, получим +со г„= — хне-к~~ +и ~ хк-те-хс(х=л1к д о и поскольку -1 со .1ооо ~ е-хс(х=- — е-"! =1 !+со !о а то т'„с и! 4, Остаютсн справедливыми для несобственных интегралов неравенства Минковского и Гельдерн (см.
п. 28.4ь): с ь !стр сь ч!тр гь ~ ! ~ (х)+ 8 (х) !р с(х ! ~ ! )с ! (х) (р с(х ) +1 ~ ! д (х) (р с(х ) а ь тттр ь 1!то !ноги)г"! !11!и!тг*) (13а!и'г*) а то 1 < р <+со, — +. -=1, 1 1 р о *> Напомнны, что по определению 01=-1. ибо !пп х(!пх)"=О. Это равенство легко получить, если прих +со менить и раз правило Лопиталя: Оп к)" . (1пх) ' 1пп х (!п х)" =! пп — = — п1)гп х о х о 1сх к о б22 Э ЗЗ. Несобстаенные интегралы Для доказательства достаточно написать соответствующие неравенства для интегралов на отрезке (а, т)) и перейти к пределу при т)- Ь. В следующем пункте мы займемся специфической задачей теории несобственных интегралов: установлением признаков их сходимости.
Уп р а мнения. Вычислить вх а) 0 Указ 33,3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛБНЫХ ФУНКЦИИ Изучение признаков сходимости несобственных интегралов начнем со случая, когда подынтегральная функция неотрицательна. При этом будем придерживаться соглашения, сформулированного в начале предыдущего пункта. Лемма 1. Если функция 1' неотрицительни на полуинтерволе ь [а, Ь), то для сходимостпи несобственного интегроли ))(х)с(х не- а обходимо и достотпочно, чтобы все интегралы и ~)(х)г(х, и»т) Ь а были ограниченными в совокупности, т.
е. чтобы суи(еапеовала такая постоянноя М)О, что для всех т) ~(и, Ь) вьсполняется неравенство ) ) (х) с(х» М. (33. 14) а При выполнении этого условия ~)(х)с(х= зпр ~~(х)с(х. а а»ч(ьа (33.15) вх 4. ) .; ~ а)0. р х(а — х) е б. ~ Г агс(их О. — Вх. 1+хе несобственные интегралы: бх ь вх а. ~ ., , 0 » а < Ь.
р (х-а)(Ь вЂ” х)' а ( (та+ах)а Лт 9. Найти 1пп „„, >а, Р, В)0. хлетт а н и е: воспользоваться правилом Лопиталя. уа8. Интегралы от неотрицательных функций ага Л о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию тр (т)) == ~ ) (х) г(х, а == т) ( Ь. а В силу того, что 1.=0 функция гр возрастает: действительно, если а-=т) <Ч' -Ь, то (см. свойство 8' интеграла в п. 28.1) ~ ) (х) г(х'=-О, (33,16) ~Р'(х)г(х=1(шгр(т)) = енр ~~(х) г!х. Д ч-ь а<чева Из доказанной леммы следует, что для того чтобы несобсть венный интеграл ~) (х) г(х от неотрицательной функции расходился, необходимо и достаточно, чтобы функция гр(т)) (см.
(33.16)) была неограниченной сверху; но тогда в силу ее возрастания ч Вгп ~ ) (х) г(х =!ггп гр (т)) = + со. ч ьа ч-ь Поэтому, если несобственный интеграл ~)(х) г(х от неотрицательа ь ной функции расходится, то пишут ~):(х)г(х=+ оо. При таком а соглашении остается справедливым равенство (33.!5). Теорема 1 (признак сравнения). Пусть функции р и у неотрицптельны на полуинтервпле (а, Ь) и )(х)=0(д(х)) при х- Ьь). (33.17) ь' В частности Г(х) -Е(х), х т !а, Ь).
и поэтому ч' ч' тг гр(т)') =~ г'(х) г(х =~)(х) г(х+~ р' (х) г(хгн~~(х) г(х=гр(т)). а а ч а ь Теперь заметим, что несобственный интеграл )Г(х)дх схоа дится тогда и только тогда, когда существует предел 1пп))'(х)дх=1!гпгр(т)), а последний предел существует в том и ч на ч ь только том случае (см. теорему 5 в и. 4.10), когда функция гр ограничена сверху, т. е. когда выполняется условие (33.14).
При этом, у ЗЗ. Несобственные интееральь Тогда Ь 1) если инпмграл )д(х) дх сходится, то сходится и интегрпл а ь $р(х)е(х; а ь 2) если интеграл ~) (х) е(х расходится, то расходится и интеграл а ь ~д(х) дх. а Следствии Лусть функции р, у неотрицательное на полуинтервале (а, Ь), д (х) ~ О, х ен (а, Ь) и суьцгствует 1ип — = й, а == х ( Ь. 1 (е) х Ь а (х) (ЗЗ. 13) Тогда 1) если интеграл )д(х) дх сходится и 0(й(+со, то инте- а грал )1(х) е(х также сходится, а ь 2) если интеграл )д(х)дх расходится и Оа.,)е~+со, то Р сходится. Из условия (ЗЗ.!7) следует существование такого а==.т)ь<Ь, и такого с>0, что для всех хен(т)„Ь) выполняется неравенство ) (х) =асд(х) (33.19) (см.
п. 8.2). Из сходимости интеграла )д(х) е(х следует и сходи- а ь масть интеграла ~ д (х) дх. В силу же необходимости условий интеграл ~) (х) дх также расходится. а В частности, если ) и у — эквивалентные при х-э.Ь функции: ь ь д, х — н Ь (см. и. 8.2), то интегралы ) ) (х) дх и ) у(х) дх схоа а дятся или расходятся одновременно.
ь Доказательство теоремы. Пусть интеграл )д(х)с(х а ад.З. Интегралы от неотрицательных функций зла леммы для сходимости интеграла, существует такое число М'- О, что для любого т) ~ 1т)а, Ь) справедливо неравенство ч ~д(х) дх( М. Отсюда и из неравенства (33,19) имеем ~) (х) г(х ~ с ~д(х) дх=-сМ. тн Ч Из этого неравенства, в силу достаточности условий леммы для скодимости интеграла от неотрицательной функции получаем, что ь ь интеграл )1(х) г(х, а, следовательно, и интеграл ~ 7(х) дх скота а дятся. Первое утверждение теоремы доказано. Второе в логически ь равносильно первому. В частности, если интеграл )1(х)г(х раса ь ходится, то ~ д(х)г(х не может сходиться, так как если он был а бы сходящимся, то в силу уже доказанного первого утверждения ь теоремы, сходился бы и интеграл ~)(х)г(х.
Таким образом, инте- а ь грал ~д(х)г(х расходится. ! ) а Доказательство следствия. Из выполнения условия (33.18) для гг, удовлетворятощего условию Оь.н(+со, следует, что существует такое т) я(а, Ь), что если т! <х<Ь, то 1 „>(/г+1, т. е. ~(х)((1+1)д(х), а это означает, что г (х) = О (д (х)), х-э Ь.
Поэтому утверждение 1) следствия непосредственно вытекает из утверждения теоремы 1) теоремы 1. Пусть теперь условие (33.18) выполнено при некотором lг, удовлетворягощем условию 0(й -+со. Тогда для любого й' ~ ен (О, /г) существует такое т! ен(а, Ь), что если т! х<Ь, то У (х) ! и (х) — ) й', или д(х) ( —,г(х), й' Это и означает, что у(х) =0(1(х)), х-ыЬ. Поэтому утверждение 2) следствия непосредственно вытекает из утверждения 2) теоремь! 1. 1 ) 6 33. Несобственные антеералы 626 ах Г ! — х' (33.20) Функция д(х) в утверждении 1 теоремы 1 н в ее следствии, ь с помощью которой устанавливается сходнмость интеграла ~ ! (х) ах, а называется 4рнкцаей сравнения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
