kudryavtsev1a (947413), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Например, задача изучения сходимости рядов равносильна задаче изучения сходимости последовательностей. Подчеркнем, что всюду, где не оговорено противное, члены рассматриваемых рядов подразумеваются комплексными. Если и-й остаток ряда(35.1)(см. определение 2) сходится, то его сумму будем обозначать через г„: с„= Я ие, я=и+~ (35.4) н называть для краткости просто остатком ряда. Всякую сумму конечного числа слагаемых з„,= и,+и,+...+ и„, можно рассматривать как ряд, добавив к ней члены 1пп и„=О. и со (35.5) Доказательство.
Если ряд (35.1) сходится, то последовательности его частичных сумм з„, и=1, 2, ..., и з„„и=2, 3,..., 18* ип,+1=ил,+я=...=О. Сумма получившегося ряда, очевидно, будет совпадать с заданной суммой, ибо при всех и=по его частичные суммы равны я„,. Если заранее неизвестно, содержит сумма конечное или бесконечное число слагаемых, то иногда удобно в обоих случаях называть ее рядом, считая, что конечная сумма является рядом в вышеуказанном смысле.
Отметим одно существенное свойство сходящихся рядов. Теорема 1 (необходимое условие сходимосты ряда). Если ряд (35.1) сходится, тпо 545 У 55. Числовые рлдн очевидно имеют один и тот же предел, равный сумме з этого ряда. Поэтому, замечая, что ил=ел — зл „п=2, 3, ..., имеем: Втп ил= 1пп (зл-зл,)=!ип зл — Вп! зл,=О. ( ) л со л со л со л оо 1 — Влгг 1 Вл+г в =1+ у+ Ч +" + Ч" =— 1 — д 1 — д 1 — Ч~ ,гл. ! и так как 1пп — =О, то 1 л — 1 1пп ел=в 2.
Ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию, 1+ д+ д'+ д'+... + Чл+..., при ! д ! ~ 1 расходится, ибо его общий член ил.=-дл не стРемитсЯ к нУлю: ! и„! = ! д !ы — 1. 3. Ряд 1 — 1+1 — 1+...+( — 1)л" +... с членами и„=( — 1)л"', п=1, 2, ..., расходится, В самом деле, в этом случае зле=О, Й=1, 2 .." згй+! поэтому последовательность частичных сумм (з„) не имеет предела. Расходимость рассматриваемого ряда, следует, конечно, и из того, что все его члены по абсолютной величине равны едннине, и поэтому не выполняется необходимое условие (35.5) сходимости ряда. 35.2. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ Теорема 2о Пусть с — комплексное час!о. Если ряд ~ ил, л= ! и„~С сходится, то ряд,У, сил, называемый произведением дано=! ного ряда на число с, также сходится и ~Ч~ си„=с г; ил. (35.6) л=! С помощью теоремы 1 иногда удается установить расходимость рассматриваемого ряда: если для данного ряда условие (35.5) не выполняется, то он расходится.
Примеры 1. Пусть д — комплексное число и !у!(1. Тогда ряд 1 + Ч+ д'+ д'+ .., + Чл +... с членами ил =- дл, и = О, 1, 2, ..., образующими бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сходится. действительно, 85.2. Свойство сяодялГихся рядов й49 Доказательство. Пусть эл= ~Ч', и„и з„'=,яя сит тогда, »=! я=! очевидно, э'„= сз„.
(35.7) По условию, !ггп зл существует, поэтому в силу (35.7) 1!гп з„' л со л со также существует и 11гп з'„=с!пп зл. Согласно определению суммы ряда отсюда сразу следует (35.6). П Теорема 3. Пусть ряды ~к~ ил и Я', ол сходятся, тогда ряд л=! л=! ~~ (ил+о»), называемый суммой данных рядов, также сходится и л=- 1 Ч~ (ил+ил) = ~я~ ил+ ~ ол. (35.8) л=! л= ! Эта теорема означает, что сходящиеся ряды «можно складывать почленно»,(а-й член с л-м) «можно» в том смысле, что справедливо равенство (35.8). Доказательство. Пусть элло ~, ия, Эс1=,У, О„н Оллл ~ (и„+О,), тогда ол=зл+з„', и так как 1'нп зл и 1пп э„', по условию, сущел со л со ствуют, то 1пп ол также существует и 1пп оооо!!гп (зл+э„') = !нп з„+ 1пп э„'.
л со Это равенство эквивалентно равенству (35.8). ( ) Теорема 4. Если ряд сходится, то любой его остаток сходится. Если какой-либо остаогок ряда (35.1) сходится, то и сам ряд также сходится. При этом если ат — кл я =.! в=~и», я=! ! = ~х~~ и», «=со+ ! Эта теорема означает, что числовой множитель «можно выносить за скобку» и в случае бесконечного множества слагаемых, если они образуют сходящийся ряд. «Можно» в том смысле, что справедливо равенство (35.6). д дд.
Члеловые рлдое Б50 Доказательство. Пусть зл=и,+и,+...+и„, п=1, 2, ...,— частичные суммы ряда ~ и„а з<"'! = и „+... + и „е — частичл=! ные суммы его еп.го остатка п~„+ пы+е+... + п,„е+... ° Очевидно, что злс а +а~ ', п=т+й, (35.9) откуда при фиксированном и следует, что предел 1!гп зл л со существует тогда н только тогда, когда существует !ип Ф"'>. л е со Иначе говоря, ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится некоторый его остаток г„= 1пп з!„'"~.
Поскольку натуральное число гп было праизвольньпи, то первая часть теоремы доказана. Наконец, переходя к пределу в равенстве (35.9) при )г--+ оо и фиксированном и, имеем з=з + г, так как и =и+ й-ы+со при и — ы+со, а 1пп з,=з, !пп з!. >=г . ! ) л оо Е оо Из этой теоремы следует, что отбрасывание или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость. Из формулы з =з + г , очевидно, следует, что если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю: 1!гп г„= 1!гп (з — з ) =0 (35.10) Отметим, что само собой разумеется, что условие (35.10) нельзя принять в качестве определения сходящегося ряда, так как остаток ряда сам является рядом, и говорить о его стремлении к нулю, можно лишь уже обладая определением сходимости ряда. 33.3. КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ РЯДА Критерин Коши для сходимости последовательностей может быть легко перефразирован применительно к рядам. Действительно, как известно (см.
п. 3.7 и 23.3), для того чтобы последовательность комплексных чисел (зл) была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого а~0 существовал такой номер п„что для любых номеров и~п, и любых целых р=-0 55.3. Критерий Коши еяодимоети ряда выполнялось неравенство ~ял+р ял — 1~ (г Для удобства использования этого критерия в случае рядов МЫ ПИШЕМ ЗДЕСЬ раЗНОСтЬ ял»р — ял 1 ВМЕСТО раЗНОСтИ ял,р — я„, которую писали раньше в п. 3.7. Это, конечно, не влияет на суть дела. При этом, поскольку сумма я, не определена, мы всегда будем считать, по определению, что я,=О.
Если теперь под (я,) подразумевать последовательность частичных сумм ряда (35,1), то Яи,р — Ял 1= ил+ ил„+...+ и„р, и сформулированный критерий в этих обозначениях принимает следующий вид. Теорема 5 (крнтерий Коши). Для того чтобье ряд ~Х', ил ехал=1 дился, необходимо и достаточно, чтобы для любого г ) 0 существовал такой номер п„что при любом и ) и, и любом целом р ) 0 выполнялось неравенство ) и,+и,+...+и„»р! с.е. (35.
11) Из критерия Коши сходимости ряда легко можно получить снова необходимое условие (35.5) сходимости ряда. Действительно, в этом случае неравенство (35.11) выполняется для любого р)0 и, в частности, для р=О. Поэтому для всех п~п, имеем (и„)(г, а это в силу произвольности е)0 и означает, что 1! гп ил = О. и со Кратко свойство (35.5) выражают, говоря, что «общий член сходящегося ряда стремится к нулю». П р и м е р ы 1.
Рассмотрим так называемый гармонический ряд + 2 +'''+ л+'''' 1 1 п+ и+1+ ° ° + «л — 1= и + и 1-1+'''+2л — 1 1 1 1 1 1 1 и 1 2и+ 2и+ '''+2и 2и 2 ' (35. 12) т. е. для любого и при е=- — и р=п — 1 неравенство (35.11) 1 не выполняется. Таким образом, из критерия Коши следует, что гармонический ряд расходится. Этот пример показывает, что условие (35.5), Здесь и-й член и„=1/и стремится к нулю при и- ето, поряд расходится. Действительно, для любого п=1, 2, ... имеем э ад числовые ряды будучи необходимым для сходимости ряда, не является вместе с тем достаточным. Из рассмотренного примера следует также, что ряд (35.13) т.
е. / 1 1 1 зев — ! 1+ (йа + аад/ + /1 1 1 1! / ! ! + (4" + вд + йа + та/ + ' ' ' + (2 Ф " " + ' ' ' + (2Я вЂ” !) а) Заметив, что для каждого слагаемого р-й группы справедливо неравенство 1 1 ,а- — „„, т=О, 1,...,2 — 1, и что в этой группе 2» слагаемых, получим 2 2в 2Я-1 2" — 1~ +2а+ 2еа+'' +2яа)а 'Ч 2'я " '" а' А.—. 1 2аы 1 2а' — 1 2. -! Таким образом последовательность частичных сумм в,я ! ряда (35.13) при се) 1 ограничена сверху. Далее, в силу положительности членов рассматриваемого ряда последовательность его частичных сумм возрастает.
Поэтому существует конечный или бесконечный предел 1пп з„=з. Но тогда и любая подпоследователь- и со при а ( ! расходится. В самом деле, замечая, что при а ( 1 для любого и = 2, 3, ... справедливо неравенство иа ( и, имеем в силу (35.12) неравенства 1 ! 1 1 1 1 ! иа + (и ! 1)а+ ' ' + (2и 1)а ~ и + (и-1- ц + ' ' ' + 2и-1- ! ~ 2 ' Поэтому в случае ряда (35.13) при се(1 для любого и =1, 2, ... при в=1/2 и р= л — 1 неравенство (35.11) также не выполняется, и, следовательно, в силу критерия Коши, ряд (35.13) при се(1 также расходится. 2. Рассмотрим теперь ряд (35.!3) при се) 1.
Покажем, что в этом случае он сходится, Возьмем сначала частичные суммы этого ряда порядков и=2» — 1, /г=1, 2, 3, ..., объединив их слагаемые в й групп„общий вид которых 1 1 1 1 2ра + (2р 1 1)а + (2р ! 2)а+ +(2р';! 1)а Р ~~ ~ ° ° ~ ~ 1в ввлй Ряды с неотрицательными членами ность (з„), в частности последовательность (ззе !) имеет тот же предел и, а поскольку по доказанному эта последовательность ограничена, то предел в конечен.
Упражнения. Доказать, исходя из определения 1, что следующие ряды — сходящиеся и найти сумму каждого нз них: 1. 1 1 1 ' а (а+Ь) (а+Ь)(а 1-2Ь) "' (а+(л — !) Ь) (а+ль) + +...+ +...(а, Ь)0). 1 ! 1 ' 1 2 3 2 ° 3 4 "' л(л+1)(л+2) 3. а+ (а -1- д) д — (а + и) в!+... + (а+ ил) вл+..., ~ е! ~ 1. Задача 22. Доказать, что для всякого сходящегося ряда ~х , 'а„с неотрицательными членами а„~ О, существует такая л=- 1 возрастающая бесконечно большая последовательность (Ь„), 1пп Ь„=+со, Ь„(Ь„„п=1, 2, ..., что РЯд ~Ч~ алЬл также л ьэ л=- ! схОдится.
33.4. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ В этом пункте займемся изучением рядов, все члены которых неотрицательные действительные числа. Лемма 1. 1>усть все члены ряда (35.1) неотрицательны: и ~ О, п = 1, 2, ..., (35.14) Для того, чтобы этот ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы существовала хотя бы одна сходящаяся подпоследовательность последовательности его частичных сумм. Действительно, из условия (35.14) следует, что л -!. ! Эл+! — — У, 'и» = э. + иле! =. вл, л —.— ! т. е. последовательность частичных сумм (з„) рассматриваемого ряда является возрастающей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
