kudryavtsev1a (947413), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Рассмотрим ряд ХЙ. л=! л — . ! Так как 1пп ттпи„= 1пп --=О, то, согласно следствию из теол со л со ремы 9, данный ряд сходится. Его сходнмость легко устанавливается и с помощью теоремы 7. Замечание. Если о ряде ~Ч, 'ил, ил О, а=1,2,..., известно л=! лишь, что 1пп — "' =1 плн 11гп т' ил =1, л,о "л л со (35.25) то ничего определенного о его сходимости сказать нельзя: ряд может как сходиться, так и расходиться. Например, ряды — и л=! удовлетворяют обоим условиям (35.25), однако первый из них расходится, а второй сходится. 35Л. ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Если для данного ряда (35.1) удается подобрать функцию, определенную при х--.=-1 и такую, что Г(а)=ил, то прн определенных условиях из сходнмости или расходимости интеграла + со ~ 1(х)т(х ! Х ~(п) л=! (35.26) можно судить и о сходпмости илн расходимости ряда (35.1).
Теорема 1О (интегральный признак сходимости рядов). Если функ!(ия Г" (х), оп,:еделенная при ссех х--1, неонтрит(отельна и убывает, то ряд г гц Числовые ряды сходится тогда и только тогда, когда схоошпся интеграл + сл ~ )(х) с(х. (35.27) ! Доказательство. Если А=-х lг+1, то в силу убывания Рис. Ид функция ~(х) (рис. 135) 1М Цх)М(1г+1), 1=1, 2, ...' поэтому, интегрируя по отрезку Рг, (с+11, будем иметь й4.
! ~Я~ ~ ~(х) Их))(И+1), 1=1, 2, .... Суммируя эти неравенства от 1=1 до А =а, получим и лл- ! л Х 7 ()г) ~ 1 йх) дх ) Х 7 (д. + 1), и, полагая п а„=,'5, ') (й), й=! будем иметь пФ! гл-- ~ ~(х)дх)з„!! — )(1), и=1, 2, ... ° (35.28) ! Если интеграл (35.27) сходится, то в силу леммы 1 п. 33.3 при любом и=1, 2, ... л-!- ! +СО Дх)дх( ~ ~(х) дх.
! ! Отсюда и из неравенства (35.28) следует, что з„пт~~(1)+ ~ 7(х)дх, ! дб.7. Интегрильнма признан еходииоети рядов ббд т. е. последовательность частичных сумм ряда (35.26) ограничена сверху, а значит, согласно предыдущей теореме, этот ряд сходится. Если ряд (35.26) сходится и его сумма равна з, то, согласно той же теореме, з„ ( в для всех п = 1, 2, ..., н, значит, в силу неравенства (35.17) для всех и =-1, 2, л+! 1 (х) е(х - з. ! Если теперь $= 1, то, беря и так, чтобы п~5, получим в силу неотрицательности функцию! $ л ) Г (х) Йх = ~ р (х) Лх ~ я. а Итак, совокупность всех интегралов ))'(х) ь(х, $=-1, ограни. ! чена сверху, а потому интеграл (35.27) сходится (см.
лемму 1 п, 33.3). П Зта теорема часто существенно облегчает исследование сходимости рядов, так как, если для данного ряда удается подобрать соответствующую функцию 1", а значит, свести вопрос об изучении сходимости ряда к изучению сходимости интеграла, то это 'дает возможность применить развитый в предшествующей главе аппарат интегрального исчисления.
Примеры, 1. Рассмотрим снова (см. п. 35.3) ряд + 2а + За + " + ли +" 1 1 1 (35.13) 1(х) = —, х- 1. 1 + ьь Г дх Так как интеграл ~ — „сходится при а) 1 и расходится при а~1, то и ряд (35.13) сходится при а~1 и расходится при а~1. Зги факты были установлены ранее другим методом в и. 35.3 (см. там примеры 1 и 2). Как видно из вышеизложенного, применение к изучению ряда (35.13) интегрального признака сходи- мости рядов значительно упростило задачу исследования сходи- мости этого ряда, с п-м членом и„=1/пи, и =1, 2, .... В данном случае функция )(х), указанная в теореме, подбирается легко: бб4 У гб. Числовые ряды 2.
Рассмотрим ряд (35 29) .йв (и+1) 1п(л+1)' л= 1 Этот ряд легко можно исследовать с помощью интегрального дх признака сходимости: из того, что интеграл 1 ! (х + !) 1и (х + 1) д! ~ — расходится, следует, что и ряд (35.29) расходится. 1л 2 Сформулируем теперь одно простое, но часто полезное в приложениях следствие из теоремы 1О. Если существует такое натуральное п„что неотрицагпельная функция г убмваеьп при х)пл, то ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл ~ )(х)с(х, Этот случай сводится к рассмотренному в теореме заменой переменного х = у+по — 1. У п р аж и сии я.
Исследовать сходимость рядов: со о» 4 7 1 7. ~Ч', МпиУп»+ах(а=сола! ьмР). ьь!и" и ' л=-2 л=1 В. ~ ( — — а!сии — ). л=! 9. !! (1 — п!и ~ ). л=. ! л=1 10. Пусть 0 < р <в < 1, Доказать, что ряд Р+ ч~+ Р» + 4~+ "° сходится и 1пп — =со. ЬЬ»л л о» азл — ! 11.
Пусть 0 < а < р < 1. Доказать, что ряд ! 1 1 1 + + + + ° ° 1а ВР За 4! ммьь ! сходится и 1пп ь =со. и о» аял длдо. !1ераееногва Геиьдера и Манновского азль. НЕРАВЕНСТВА ГЕЛЬДЕРА И МИНКОВСКОГО ДЛЯ КОНЕЧНЫХ И БЕСКОНЕЧНЫХ СУММ Пусть зачаны числа (вообще говоря, комплексные) хм ..., х„, у,, ..., ул, 1 ( р (+ оо, и число д определяется равенством — + — =1 (см. п.
20.8 и п. 28.4 ). Тогда справедливы нера- Р д венства и / л '!!/р/ л '!!/О ( х!д!! -( ~ ! х! !!Р) ~ Я !!у! !о~ (35.30) (неравенства Гельдера) и л ~!/р / п !!/и / и 1!/р (х!+у!)Р) --.~~; )к!~р) +~ ~ (у!)р) (35.31) г= ! !=! г !=- ! (неравенство Минковского). Их доказательство проводится по той же схеме, что и в случае соответствующих интегральных неравенств (см. п. 28.4*).
Введем для краткости обозначения )х)р — ' ~,У, 1х/~р), )у!~о= ~ х~ ~у!~д) (35 32) !=1 !=! аа дт Применив неравенство (20.53) аЬ» — + —, а~О, Ь~О к Р Ч !х!~ ~И! )х!р ' 1д!1!а ' будем иметь ! х! ) ( Р! ) 1 ( х! ( 1 ! /Л (в )х!, '(я,а Р )х~!р Д )РД Просуммировав эти неравенства по ! от 1 дол, в силу (35.32) 1 1 и условия — + — =1, получим: Р и л и и ( х;у; ! -= — ~~~ ! х,(р + ~ ( у! (» = — + -- = 1, )х'о/д в;= ! Р!хгр с откуда и ~', ! хд, ) ()х)!р~!у)в; != ! тем самым неравенство (35.30) доказано. Неравенство Минковского (35.31) следует из неравенства Гйльдера (35.30): из очевидного соотношения и п л ~ )х!+у/~р«= ~ )х!)( х!+у!)р-г+ ~ )у! Их!+у! )р-г, != ! г= ! г=! » 85. Числовые ряды применив к каждому слагаемому в правой части неравенство Гельдера, получим: а ( а !((р( л С, ((е ! х( + д! !р = 1 ~', ! х! !» 1 ( У, ! х! + у( !е 'р '! ' + / л 1((Е с л '!!(Е +~ ~ч, "!У(!') ! Х !х;+р;!'"-"! Если левая часть равна нулю, то неравенство Минковского очевидно справедливо; если же она не равна нулю, то, сокращая л С! ((в ,С.........
(с. „,;. л ~ ) 1 С= ! р + — =1, (1(р — 1) =р, получим неравенство (35.31). 1 ДлЯ любых двУх РЯдов "', ха, ~Ч, 'УаспРавеДлииЫаналогичл=! а= ! ные неравенства СО ( СО ! !(р ( !!(в ч,' !х.р.! ~ У,' !ха! ~ ~~ !р.)в~ . (35.33) л=! л= ! л=! с СО 1((р / 1 !(» / '! ((р (Ха+Уа!Р! =~~Ч„")ха!») +!,У, (Р !») ° (35.31) л= ! л=! л=! Действительно, для всех частичных сумм одного и того же порядка заданных рядов справедливы неравенства Гйльдера н Минковского.
Переходя в них к пределу при п-~со, мы и получим неравенства (35.33) и (35.34). Из доказанных неравенств следует, в частности, что если ряды Х !Х.!' Х !ра!' а=! л=! сходятся, то ряд ~; !х„у„! сходится, а если сходятся ряды л=! СО СО ~к~ !ка!», ~, (у„!», л= ! л ! то сходится ряд У', !ха+у,)р. л=! Зэ.у. Знакааеременяые ряды 3$.9. ЗНАКОБЕРЕМЕНИЫЕ РЯДЫ В этом пункте рассматриваются ряды с действительными членами, знаки которых, вообще говоря, изменяются при изменении номера; такие ряды называются знокопеременными.
Рассмотрим прежде всего так называемые знакочередующиеся ряды, т. е. ряды, члены которых поочередно то положительны, то отрицательны. Теорема 11 (Лейбниц). Если 1цп и„=О (35.35) и„, и„!)О, п=1, 2, ..., (35.36) то знакочередующийся ряд Ю ( 1)~~-! и (35.37) я=- ! сходится. При этом любая чоспьичная сумма э„ряда (35.31) отличается от его суммы э на величину, меньшую следующего члена и„„, иначе говоря, абсолютная величина остатка ряда гя в эпюм случае не превышает абсолютной величины.его первого члена, т.
е. ! г„~ = ! э — з„( == и„+!. Доказательство. Рассмотрим частичные суммы четного порядка ряда (35.37) 2ь зея = .У! ( 1) ия я =- 1 Их можно записать в виде эяя=(и! — ия)+(ия — ие)+ ... +(и„,— иея), й=1, 2, ... В силу условия (35.36) выражения в круглых скобках неотрицательны и потому з,я(эямм т. е.
последовательность частичных сумм четного порядка ряда (35.37) возрастает. Замечая, что частичные суммы з,ь можно записать также и в виде э,„= и, — (и, — ия) — ... — (иеь я — и„,) — и,я, й = 1, 2, ..., и что выражения в круглых скобках в силу условия (35.36) неотрицательны, а и,я~О, получаем, что эяя(и„т. е. последовательносэь (зяя) ограничена сверху. Из монотонного возрастания и ограниченности сверху последовательности (зяя) следует, что она сходится: 11!и вял=в.
(35.38) б дб. Числовые рлдвс ббб и так как, согласно (35.35), !пп и,„„ = О, то в силу (35.38) и и оэ (35.39) имеем 1!и! бви.~.т = Б. (35.40) Из (35.38) и (35.40) следует, что 1!гп з„ = в. и со Теперь отметим, что для ряда (35.37) справедливо неравенство бел~В~в,л „й=1, 2, ... (35.41) Действительно, с одной стороны, мы уже видели, что б является пределом монотонно возрастающей последовательности (б,„), поэтому з,в~в.
С другой стороны, бви.и=бы — ! — (иве игие!) ~бвв — ! ее= 1, 2, ..., т. е. последовательность (з,л !) монотонно убывает, и так как з является пределом и последовательности !бы !) (см. (35.40), то з =з,и !. Из неравенства (35.41) следует з — з,л «-- звм т — звл = им+и зве-! — з-=-б и-! — вел=ив», 1=1, 2, ..., а это и означает, что для всех п=-1, 2, ..., выполняется нера- ВЕНСтВО !б — Ви! -и +! Д Если условия чередования знаков ряда и монотонности будут выполняться не с первого члена, а лишь начиная с некоторого номера п„то при выполнении условия (35.35), т. е. при стремлении общего члена ряда к нулю, рассматриваемый ряд будет также сходиться.
Зто следует из того, что отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходнмость (см. теорему 4 в п. 35.2). В качестве примера рассмотрим ряд ° ~у ( ))и+е и (35.42) и=! Его члены удовлетворяют, очевидно, условиям теоремы !1, и поэтому он сходится. Замечая, что у него б,=1 и з,=1!2, для его суммы Я имеем оценку !/2-=5==1. (35.43) Покажем, что и частичные суммы нечетного порядка ряда (35.37) стремятся к тому же пределу. Действительно, бв„!!=Ь„+и„„, 1=1, 2, ... (35.39) Зб.!О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
