kudryavtsev1a (947413), страница 105
Текст из файла (страница 105)
2 2+ В силу сходимости интеграла (31.1) при указанных значениях 4 со параметров а и р в равенстве 1 = 1 + д гап1паг д гав~~наг .) гх т1па~ 1 второе слагаемое его правой части стремится к 0 при х-асо. 5 34*. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Часто при решении задач оказывается необходимым пе только установить сходимость или расходимость рассматриваемого интеграла, но и уметь оценить в определенном смысле порядок «скорости» его сходимости или характер расходимости.
Мы не будем здесь доказывать каких-либо общих теорем, относящихся к этому вопросу (о некоторых общих методах изучении асимптотического поведения функций см. в п. 37.10а), и формулировать определение скорости сходимости, а лишь проиллюстрируем его на отдельных примерах нахождения порядка убывания сходящихся и роста расходящихся интегралов с переменными пределами интегрирования. Приме ры. 1. Исследуем интеграл + СО дт гам 1 (31.1) 2 З З4 '. Асииптотинеское поведение иитеераков Изучим порядок его убывания, а именно, покажем справедливость асимптотического равенства +со дт 1 х-и+ со. (34,2) Г"и !па Г ахи! па х к Для доказательства положим Р(х) ~ ~, Ф(х) = Ги+т 1па Г' ах" 1па х к В силу сходимости интеграла (34.1) при а)0, р~Я, имеем 1!гп Р(х)=0.
Очевидно и !пп Ф(х)=0, Поскольку к Н-со к -1. оо Р'(х) = —, Ф'(х)=— хи"!па к х"м1пах ахиех1паых то, применив правило Лопиталя, получнм: 1!гп „вЂ”, = 1!гп —,— = 1пп (1+ — ) = 1, Ф(х) . Ф'(к! . I . „. Ррй =,,„Р ( ! =.,„'( т. е. соотношение (34.2) доказано.
В случае а = О, р - 1 непосредственным интегрированием получим даже явное выражение интересующего нас интгтрала: -!. со -!. со дт (' Н1п т 1 ~Н-'о 1 — (34.3) т 1па Г о !пс! Г (1 — !1! 1па-и !х (р — 1) !па тх Покажем теперь, что для а(0 и любого р енЮ интеграл (34.1) расходится и, более того, имеет место асимптотическое равенство х дг 1 — х -и+ со. (34.4) !в!па! аки!пих 2 Положив в этом случае к и применив правило Лопиталя, получим: Ф (х! . Ф' (х) „, Р(х),, Р'!х) к +о,Г а!их! 1!гп — '= Вгп —,= 1!гп !1+ — ~1=1, т. е.
равенство (34.4) доказано. Для оставшихся значений параметров а и р интеграл к (34.5) 4 е4 '. Асимптотическое поведение интегралов 544 вычисляется в элементарных функциях. Если а=О и ()(1, то к л — — — ° и! (' и!и! 1 1» !пт ах — !п' а 2 . !!па) г) 1пэ! (1 — 8) 1па-)1!т 1 — 8 а если со=О, 11=1, то л х 2 дг Г д!пт 1х !пх — = 1 — = 1п 1п ! ~ = 1п —. 11п! 1 !п) 1т !тз2' Итак, интеграл (34.1) сходится при со О любом р еи )с, а также при а=О и 1))1; при этом установлены асимптотическое, соответственно точное, равенства (34.2) и (34.3) для интег- +СО д) рала ~ . При остальных значениях параметров а и () интеграл (34.1) расходится и получена асимптотическая или точная характеристика интеграла (34.5). 2. Рассмотрим интеграл ~ — ""," (1.
о Покажем, что он расходичся и что имеет место асимптотическое равенство к япе 1 — с(! 1их, х-т.+со (34,6) о т. е. функции в левой и правой частях этой формулы одного порядка (см. п. 8.2). С одной стороны, принимая во внимание неравенство ! з)п ! ~ = «~)1, получим при х)п/2, к и)2 Х и и)2 п)о ,ц по и ( ~ Гс(1+ ~ — = а+1пх — 1п-- =0(!пх), х-~+со. (34.7) о й) о С другой стороны, для любого натурального и имеем )п+Пк и )и+Пи — ""," (1= ~)' ~ — ""," ((= о и=о ек п и и »=оо «=о 6' и=о О оч *.
Асик(лтотическое пооедение интегролоо В дальнейшем (см, п. 35.7) независимо от содержания настоящего пункта будет показано, что П вЂ” = О (1п и), п — и оо. з 1 (т+ 1 и =-о Таким образом, (и+ ил яп' ! — й = О (1и и), п -). со. о Это означает, что существует такая постоянная с)0, что для всех )г = 1, 2, ...
имеет место неравенство (к -(. ) ) л 1 """-- — Йглс1пп. о (34.8) Заметим еще, что из легко проверяемого, например с помощью правила Лопнталя соотношения 1пп !пи =1 !п (и+2) л следует существование такого натурального гг„что при и= и, выполняется неравенство !пп 1 !и (и -(- 2) л 2 ' Далее, для каждого х) 0 найдется такое целое л, что (а+1) п=х((а+2) и. Теперь для любого хглпо согласно неравенствам (34.8) и (34.9) получим к (л-)- Пл ~ япог 1 с!пч( 1пп с — 1(1!гк 1 — с(1-.
с1пп =с,— 1п(п+ 2) и=.=- 1пх, = !п(л+2!л о о т. е. к яп'( — Ж- О(1пх), х-).+оэ. о (34. 10) Из (34.7) и (34.10) непосредственно следует (34.6). В рассмотренных примерах асимптотическое поведение интегралов было установлено с помощью более или менее специальных методов, оказавшихся удобными в рассмотренных конкретных случаях. Более общим методом, дающим часто возможность находить асимптотическое поведение интегралов, является обычное интегрирование по частям. 8 84 о. Асимптотическое поведение интегралов 848 3. Рассмотрим в качестве примера так называемые и нтегралы Френеля*. ~ сок О'сИ, ~ а)паис)6, и а скорость сходнмостп которых определяется порядком убывания интегралов.
-1- оа +о соз Ои сИ, ~ зш 8и еИ, х О. (34.11) к к Изучение асимптотического поведения интегралов (34.11) при х-ь-+со проводится одинаковым методом, Позтому рассмотрим только один из них, например, первый. Сделав в нем замену переменной 6'=1, сразу убеждаемся по признаку Лирихле, что он сходится. Затем дважды проинтегрировав по частям получившийся интеграл, будем иметь +со х х* к' х" + оа +ао яп х' 1 Г яп ! яп х' сов х' 3 !' сея! = — — + — д! —.111=- — — + — — -- д! =Ш (34.12) 2х 4 !У) 2х 4хв 8 нУ! к' .к' (согласно прежней терминологии, см.
п. 33.5, мы посредством интегрирования по частям улучшили сходимость интеграла). Поскольку —.= О,— о, х-~-ыо, и совхв /11 4хк 1,хг/ ' +по + + о» ка к' 812 ко то будем иметь 1-.— = ':) сов 1,' 1 ч — — Й= О(,,~, х-э.+со. !т)г ! к' Следовательно, +.о — -) — ° япхв 7 1! соз 6е сИ =- — — + Π— ~, х-++ со. 2х 1х'7'' к Таким образом, нам удалось с точностью до О~ —,„-1, х-о.+со, 1 найти простое выражение для интеграла ~ созаас)6, дающее, к ' А, Ф р сне н ь 11788 — 1827) — франпузсиий Физии, з 34 е. Асимптотическое поведение интегралов -таз — п)Ь-1,11 2. ~ сов(З Р+сс)) М.
о х 51пе г 4. доказать, что ~ — дг о У к а з а н и е. Воспользоваться 3. о 1 (и+1п1) гз 1 — !и х при к-ч-+ оз 1см. пример 2). 2 1 — соз 21 тождеством ып'1= 2 в частности, представление о характере его убывания при х — м -ь+со. Если произвести дальнейшее интегрирование по частям интеграла, стоящего в правой части формулы 134.11), то можно +оэ получить асимптотические формулы для интеграла ~ сов 0зе)9 х с точностью до О(„—,„,„), х-ь.+со, при любом натуральном и. 1 У п р а ж н е н и я. Исследовать скорость сходнмости (расходимости) следующих интегралов при различиык действятельных значениях параметроа сс н 1): ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ РЯДЫ э 35.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 35Л. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЯДА И ЕГО СХОДИМОСТЬ з,=и„ з,= и,+и„ зз = иг+ из+ из з„= и,+ из+...+ и„ Пара последовательностей (и„) и (з„) называется (подробнее: числовым рядом с общим членом и„) через и,+и,+...+и„+..., или ~', и„. числовым рядом и обозначается (35.!) (35.2) п= ! Элементы исходной последовательности (и„) намяваются чле. нами ряда (35.1), а элементы последовательности (зв) — частичными суммами этого ряда, при этом и„называется и-м членом ряда, а конечная сумма з„— п й частичной суммой ряда, п=), 2,,...
!В Кулвввнев Л. д. т. ! В настоящем параграфе понятие суммы обобщается на некоторые случаи бесконечного множества слагаемых и изучаются свойства таких обобщенных сумм. Многие нз рассматриваемых ниже вопросов справедливы не только для действительных чисел, но и для комплексных. Поэтому в отличие от предыдущего в настоящей главе будем вести рассмотрения в комплексной области.
Аналитическое выражение, имеющее формально вид суммы, содержащей бесконечно много слагаемых, называется бесконечным рядом пли, короче, рядом. Ладим строгое определение ряда и его суммы. Определение 1. Пусть задана последовательность комплексных чисел ив, и =1, 2, .... Составим новую последовательность чисел з„, п=!, 2, ..., следуюи(им образом: Э 55. Числовые ляд»! 545 Если последова~пельнсс!пв часа!очных сумм ряда (35.1) сход!!гпся„ то он называется сходяи1имся рядом, и если она расходится, в!о расходяи1 ил!ся. Определение 2. Ряд, членами которого являются члгны ряда (35.1), начиная с (п+1)-го взятые в том же порядке, что и в исходном ряде, называется и-м остаткол! ряда (35.1) и обозначается через и» или и„„+ и„,+...
»=л+! Определение 3. Если ряд (35.1) сходится, то предел з= Нп! зл л оо называеп!ся его суммой. В этом случае пишут з=и,+и»+ ..+и„+..., или (35.3) л= 1 Таким образом, мы будем употреблять один и тот же символ и как для обозначения самого ряда (35.1), так н для обо«=! значения его суммы, если он сходится. Если 1пп в«=со, или 1пп з,=-„'-со, или Вш зллл — со, то л оо л л л оо соответственно пишут '~ ил=+со или Ь ил= — оо.
ил = оо, Х л=- ! л=! л= ! Итак, каждый ряд является парой двух последовательностей, таких, что первая может быть взята произвольной (последовательность членов ряда), а вторая составлена определенным образом из членов первой (последовательность частичных сумм членов ряда). Однако ряд однозначно определяется каждой нз этих последовательностей. Действительно, если задана последовательность членов ил ряда, то члены последовательности его частичных сумм находятся согласно определению 1 по формулам зл = — и,+ и, +...+ ил, и = 1, 2, ....
Если же задана последовательность (з„'1 частичных сумм ряда, то его члены определяются по формулам и,=в„и,=з,— зл „п=2, 3, .... Отсюда следует, что для всякой последовательности всегда можно найти такой ряд, что она будет последовательностью его частичных сумм. ЗД1. Определение ряда и его скодимость ое7 Действительно, пусть дана последовательность комплексных чисел (г„). Положим и,=г„и, г,— г„..., и„=г„— г„„ и рассмотрим ряд ик+н,+...+и„+.. Тогда для его частичных сумм имеем: з„= и,+и,+...+и„=- =г,+(гя — гт)+(гя — г,)+...+(г„— г„,) =г„. Это означает, что рассмотрение рядов эквивалентно рассмотрению последовательностей. Всякий вопрос, сформулированный в терминах рядов, можно перефразировать в вопрос, сформулированный в терминах последовательностей и наоборот.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
