kudryavtsev1a (947413), страница 104
Текст из файла (страница 104)
(33.31) Для исследования его сходимости выполним интегрирование по частям: + + — с(х = — — с( (соз х) = 1 + ОЭ Ч- ьь --=*~' -1- Г-1--"-~=.* 1 В правой части получился интеграл (33.28), который, как известно, абсолютно, а значит и просто, сходится. Таким образом, оба получившихся выражения в правой части имеют смысл-, и следовательно, конечны. Поэтому, во-первых, проделанное интегрирование по частям законно, а во-вторых, левая часть также конечна, т.
е. интеграл (33.31) сходится. Заметим, что в результате интегрирования по частям мы заменили интеграл (33.31) суммой некоторого конечного выражения и другого несобственного интеграла, у которого в знаменателе подыитегрального выражения стоит более высокая степень переменной интегрирования, чем в (33.3!), а в числителе — ограниченная, как в (33.31), функция. В получившемся интеграле подынтегральная функция быстрее стремится к нулю, чем в исходном, в том смысле, что -=о -) при х-ь со. 1 '11 хь (х 2' Поэтому его сходимость оказалось легче непосредственно исследовать, чем сходимость исходного интеграла: он оказался даже ие просто сходящимся, а абсолютно сходящимся.
Метод, позволяющий свести исследование сходимости данного интеграла к исследованию сходимости другого интеграла, который в каком-то смысле <лучше сходится», чем данный, называется методом улучшения сходимости. 335. Абсолютно сходящиеся интегралы 333 Покажем теперь, что интеграл (33.31) не сходится абсолютно, т. е.
что интеграл + ОЭ ~ — г(х (33.32) 1 расходится. Действительно, из неравенства 1 — ссп 2х' 151П Х ~ ) 51П Х=- при любом т1)1 имеем: и с(х ) ~ — — — ~ — с(х. (33.33) 1 1 + СО Интеграл — расходится и равен + со. Интеграл же Г дх х + ОЭ вЂ” "г(х сходится. Чтобы в этом убедиться, проинтегрируем х 1 его по частям: + ОР + со и — Йх =-2- ~ — 1((51П2х)= '2 1 — 51п2хт( ~~-) = 1 51п2 ! Г Мп2х = — + - ) — 1(Х. 2 2 д х" 1 + СО Г сое 2х В силу этой формулы сходимость интеграла ~ — -г(х непо! средственно следует из абсолютной сходимости интеграла Мп 2х — с(х, которая в свою очередь вытекает из очевидного нера- 1 венства Перейдя теперь к пределу при т1-1-+оп в неравенстве (ЗЗ.ЗЗ), получаем, что правая, а следовательно, н левая части этого неравенства стремятся к +со и потому интеграл (33.32) расходится. Таким образом, интеграл (33.31), значит, и интеграл (33.30) не сходятся абсолютно.
Докажем еще одно полезное для дальнейшего вспомогательное утверждение. У ВЗ. Несобственные интегралы Лемма 2. Если функция [ абсолютно иптегриругми, а функция д интегрир)тема по Роману на отрезке [а, Ь], то их произведение у[ также абсолютно интвгрируелто на [а, Ь1. Доказательство. Как было договорено выше, рассматриваются только такие функции 1, которые прн любом т! е= [а, Ь) интегрируемы по Риману на отрезке [а, т!). Поскольку по условию функция д нитегрируема по Риману на отрезке [а, Ь1, то она интегрируема по Риману и на всяком отрезке [а, т!1, ь) ~ ев[а, Ь) (см.
свойство 2 в п. 28.1). Поэтому произведение у1 также интегрируемо по Риману на любом указанном отрезке [а, т!1 (см. свойство 6 и п. 28.1). Это означает, что имеет смысл ь рассмотрение несобственного интеграла )у(х)Г(х) с(х. а В силу интегрируемости по Риману функции д на отрезке [а, Ь), она ограничена на нем, т. е. существует такая постоянная М)0, что для всех хан[и, Ь1 выполняется неравенство !д(х)!-=М.
Следовательно, для всех к~[а, Ь) справедливо и неравенство !д(х)ь" (х)! М!1(х)!. Заметив, что, в салу абсолютной интегрнруемости функции 1 на отрезке [а, Ь) интеграл ь ь ~ М!~(х) (т(х=М~ !1(х))т(х сходится, получим по признаку срана а ь пения, что сходится и интеграл ~!у(х)~(х)!т(х, т. е., что произ- а ведение ф абсолютно интегрируемо на отрезке [а, Ь1. ( ! Все сказанное в этом пункте естественным образом переносится и на несобственные интегралы других видов, рассмотренных в п. 33.1, т. е. на интегралы вида (33.6), а также на интегралы общего типа (33.8), ЗЗЛ. ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ Докажем один достаточный признак сходимостн интегралов, называемый обычно признаком Дирихле.
Теорема 5 (признак Дирнхле). Пусть 1) функция 1 непрерывна и имеет ограниченную пгрвообризяую Р при х~а; 2)' функция д непрерывно диффереицируема и убывает при х=-.а; 3) 1!ш у(х) =0; е +се тогда интеграл (33. 34) 1(х)д(х) Йх а сходится. ЗЗ.6. Исследование сходимости иитегривов Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что в силу сделанньгх предположений функция [й непрерывна, а значит, и ннтегрнруема по Рнману на любом отрезке [а, Ь~, а(Ь(+ со, и поэтому имеет смысл говорить о несобственном интеграле (33.34). Проинтегрировав по частям произведение [(х)д(х) на отрезке [а, Ь1, получим: ь ь ь $~ (х) д(х) с(х = ~у(х)с(Р(х) =д(х) Р (х) (~ — $ Р (х) й' (х) с(х.
(33.35) а а а Исследуем поведение обоих слагаемых правой части прн Ь-~+со. В силу ограниченности функции Р (см. условие 1 теоремы) М = знр ~ Р (х) ! ~+ со, поэтому ! й (Ь) Р (Ь) ! .= Мст(Ь). В силу же условия 3 теоремы !!тп д(Ь)Р(Ь)=0. Ь +со Далее, из монотонного убывания функции и следует, что д'(х)-=0 при х)а и поэтому ь ь ~~Р(х)ст'(х) ~ с(х(М~ !а'(х)( с(х= а в ь = — М ~ й' (х) с(х = М [и (а) — й(Ь)~ ~ Мп (п), а ибо из условий 2 и 3 теоремы следует, что д(х) ~0, в частности, что д(Ь)~0.
ь Таким образом, интегралы ~(Р(х)п'(х) !с(х ограничены в совоа купности при всех Ь)а, и поэтому интеграл Р (х) и' (х) с(х абсолютно, а значит, и просто сходится, т. е. существует конечный предел ь 1 пи ~ Р (х) д' (х) с(х. ь + Мы доказали, что в правой части равенства (33.35) оба слагаемых при Ь->-+со имеют конечный предел, а значит, и предел левой части при Ь вЂ” в+со конечен, что означает сходимость интеграла (33.34). [ ) Примеры 1. Применим признак Дирихле к исследованию сходимости интеграла + со — „с!х, сс> О, (33.36) э" ЗЗ.
Несобственные интеграле» баб Функция ((х) =Б1пх имеет ограниченную первообразную г (х) = = — соя х, а непрерывно дифференцируемая функция д (х) = 1/х" при а)0 монотонно убывает и стремится к нулю при х — »+со. Все условия теоремы 5 выполнены, поэтому интеграл (33.36) сходится. 2. Следует, однако, иметь в виду, что признак Дирихле дает только достаточные, а не необходимые условия сходимости интеграла; поэтому не всегда с помощью его можно решить вопрос о сходимости интеграла.
Например, исследуем сходимость инте- грала хо — яп х' (33.3?) Попытаемся применить признак Дирихле, положив ! (Х) = э(п х и д(х)=„, . Очевидно, что я(х)-э-0 прн х-+-+со. Найдем 1 производную: » ахв 1+ сов» (хо — яп х)Б -1-»о +»О ! 1 (33.39) сходятся по признаку Дирихле при всех сс)0. Интеграл же ~ ~ — „+о( — „, )) с(х 1 (33.40) сходится при 2сс з 1, т. е. при сс- —, и расходится при и== 1 ! 2' Отсюда видно, что прн сс(1 эта производная при х — ы+со бесконечно много раз меняет знак и, следовательно, сама функция ст(х) не является монотонно убывающей функцией. Таким образом, при ссн.1 признак Дирихле не применим указанным способом к выяснению вопроса о сходимости интеграла (33.37).
В этом случае естественно попробовать прибегнуть снова к методу выделения главной части. Применяя разложение функции (1 — 1)-', — 1 (1 ( 1, по формуле Тейлора (см. и. 13.3), получим, при х-+ -(-оо Б!П Х Б1П Х 1 Б!ох( япх ( ! ~~ хо — япх хо Б!пх х ! ха +»хн»! 1 —— Ха япх яп»х I ! ! япх 1 со»2х / 1 ! = — + — +о( — ) = — + — — — +о(- — ).
(33.38) хы» (, Ф» ) х" 2ХЯ» 2»»н '! х»") ' Интегралы ЗЗ.6. Исследование сходимости интегралов Действительно, из формулы (33.33) следует, что.функция о(17хии) в указанной формуле непрерывна по х при х)1, и~О, и, следовательно, имеет смысл говорить об интеграле (33.40). Функции —,„— „и —.,„+ о (1/хьх) неотрнцательны в некоторой окрестности + оо и эквивалентны прн х — ~+со, поэтому интеграл (33.40) сходится и расходится при тех же значениях параметра а, что Г дх н интеграл —,„- (см.
следствие из теоремы 1 в п. 33.3). Таким образом, при сс)-2- все интегралы (33.39) и (33.40) 1 сходятся, а значит, в силу (33.38) сходится и интеграл (33.37). При 0<се< — интегралы (33.39) сходится, а интеграл (33.40) 1 расходится, следовательно, расходится и интеграл (33.37). Заметим, что при сс=аО интеграл (33.37) расходится. Действительно, в этом случае знаменатель подынтегральной функции обращается в ноль бесконечно много раз; причем, если х," — з!и х,= =О, то функция х" — з!пх.в окрестности точки х„согласно формуле Тейлора, имеет вид (почему?) х" — зьвх=(х — х,)" ф(х), где 7г — некоторое натуральное число, а ф(хв) ФО. Поскольку з!яхве ~0, то в каждой подобной точке хо мы имеем неинтегрируемую особенность.
Следует обратить внимание на то, что для каждого фиксированного сс) О функции е!и х япх и хи — е|п х эквивалентны при х-~-+со, т. е. яп х е!и х где е(х)=1 — — -~! при х-~+со, однако если 0(ос~--, то яп х ! хи 2' интеграл (33.37) от первой из них расходится, а интеграл (33.36) от второй из них сходится.
Таким образом, замена подынтегральной функции на эквивалентную может изменить сходимость интеграла (если, конечно, интеграл не сходится абсол!отно). 3. Исследуем ца сходимость и абсолютную сходимость интеграл ) ~е( — ",*)г*. (33.41) +со Ге!пФ ! !япх! Г ! япх! Поскольку ~!д~ — !~ — ' при х — ~+сон интеграл ~ с(х х7! х 3 х 1 б ЗЗ. Несобственные интегралы ех 1б. х10 ! 1п х 17. а! —, асх.
и'х +со 1В. 1 +о» !я. ! х!и х 1 +»» 2О, расходится (см. (33.32)), то расходится и интеграл +со ~ !д — ) 11(х, т. е, интеграл (33.41) не сходится абсолютно. Легко проверить, что при у-ьО у ) О(рз) (33.42) причем в качестве окрестности, участвующей в определении символа О (см. определение ! в и. 8.2), здесь можно взять интервал ( — 1, 1): существует такая постоянная с~О, что )О(рз)) -,)рз Далее, в силу формулы (33.42) при у= — интеграл (33.41) можно представить в ниде +со Фо» +со !с( — '„)г — ! —,с с-! О( —,)г*. (33431 1 1 +»» ипх Поскольку интеграл л! — 1(х сходится (наприме х имер, по признаку 1 +со Дирихле), а интеграл ~ О( —,,) абсолютно сходится, то интег- 1 рал (33.41) — сходящийся. Упражнения.
Исследовать на сходимость и абсолютн ю сходнмо следующие интегралы: у сходнмость +о» 1!. хз сгх хс -1-хг+ ! о 1 12. о 13. З 1-1-хс 1 14. о + +со 15. ~ хзе "дх. Э а4 '. Лгааатотиаеекое поведение интегралов 21. ) вы х' дх. + со 51П х дх. ,) хУ!-(-х 2 23. ') 1аахдх, — со а,а С+со, а 24 , — са ( р (+ оа, 1 25. дт — дх, Г!и яп х о )г, + Ог 26. Нп х (х+ ага х)а в 27 ~ хае (" л)дх при различных действительных значениях параметров гх и (). Рассмотрим сначала случай а)0 и любого р ~ )с. При таких значениях параметров интеграл (34.!) сходится, что легко устанавливается по признаку сравнения, если в качестве функции а сравнения взять, например, функцию л(4) =г ', интеграл от Ж которой ~ — „сходится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
