kudryavtsev1a (947413), страница 99
Текст из файла (страница 99)
е. по заданной функции найти ИО Э 82. Геометрические и физические приложения интеграла одну из ее первообразных. Эта задача также решается с помощью определенного интеграла, так как такой первообразной является, например, определенный интеграл с переменным верхним пределом. В качестве примера подобной задачи рассмотрим вычисление длины дуги кривой. Пусть кривая Г задана параметрическим векторным представлением г=г(1), а =-с==Ь, где функция г(() непрерывно дифференцируема на отрезке (а, Ь]. Тогда, как мы знаем, кривая Г спрямляема и переменная длина дуги з(г), отсчитываемая от начальной точки (ее радиус-вектором служит г(а)) кривой Г, является также непрерывно дифференцируемой функцией параметра г на отрезке 1а, Ь], причем (см.
п. 16.3) Поэтому в силу формулы Ньютона — Лейбница, замечая, что з (а) = 0) для длины 5 = з (Ь) кривой Г, получим 5 = з (Ь) — а(а) = ~ — '- Ж, откуда 3 = ~ ~ — т- ~ с(1. Если г(() =(х(С), у(1), г(1)), то = $Ф х" (г)+у" (г) + з'(1) с((. (32.14) В случае, когда кривая Г является графиком непрерывно дифференцируемой функции у=Г(х), а ~х== Ь, формула (32.14) принимает вид ь (32.15) а Примеры. 1. Найдем длину о дуги параболы у=ах', О( =х-=Ь.
Замечая, что у'=2ах, согласно формуле (32.15), имеем з=1ттг4 —.; г.. о (32, 16) Неопределенный интеграл У = ~ ]/1 + 4а'х' с(х вычислим следующим образом: проинтегрируем его сначала по частям; затем к числителю дроби, получившейся пол знаком интеграла. прибавим и вычтем единицу, произведем деление н проинтегрируем (под- Зз.д вычисление длины кривой йд! становкой у=2ах) получившуюся дробоп д У 1+4иехв = х)/1+ 4аохо — ~ Ь 1+ 4аохо йх+ ! д !' 1+4а'х' = х у' 1 + 4аох' — 7 + -- 1п ~ 2ах+ У' 1 + 4аох' ~.
2а Это равенство, рассматриваемое как уравнение относительно интеграла 1, дает возможность найти его значение: 7 =- х !/1+4аохо+4-1п~2ах+У1+4аохо~+С. Теперь легко получить величину интеграла (32.16): 5=- Ь'Ул1 1-4аодо !-4 1п,'2аЬ+У 1+4а Ьо ~. 2. Найдем длину астроиды х=асозо(, у=аяи'! (см. рне. 76). Астроида симметрична относительно начала координат. Ее части, лежащей в первой четверти, соответствует изменение параметра ! от 0 до и/2. Вычислим длину 5 этой части (равной, очевидно, одной четвертой длины всей астроиды). Заметив, что х' = — За созе(е!и 1, у' = За з!ио ( соз(, по формуле (32.14) (в которой следует положить г'=0) получим: и!о ив2 5= ~ у'9а'созе(е!и'1+9а'яи'1соь'1Ж = — ! яи21й =— 2 о о 3.
Найти длину 5 дуги эллипса х=аяи1, у=Ьсоз|, Он-. ~1==2п, 0(Ь.=.:а от верхнего конца малой полуоси до его точки, соответству1ощей значению параметра !он !0, 2п). Положим у и' — ь' е = (е — эксцентриситет эллипса), тогда а Ух' +у' =3I а'созе!+Ьвзше1= а)Г1 — ееяи'(, поэтому 5 =а) У ! — е'еп1'1аг, О=-.е(1. (32,17) о Мы получили эллиптический интеграл второго ряда, который, как известно (см.
п. 26.6), не выражается через элементарные функции, т. е. формула !32.17) в данном случае является окончательным ответом. Приближенные значения длин дуг эллипса можно получить„либо непосредственно, вычислив приближенно интеграл (32.!7), либо воспользовавшись имеющимнся таблицами значений эллиптических интегралов. ВОЗ й ЗХ Геометрические и физические приложения интеграла у яр'аж пенн я. Н Доказать, что если птоскат кр|втя садата в полярных координатах непрерывно дяфференпнруемым представлением с=т(ф), и -" а с — р, то для се длины о справедлива формула л = Я т +т'оеср.
а (32йз) 2. Вайтн длину дуги логариФмической спирали т=аеоч от точки (сро, то) до точки (ф, т). Интегральная формула, для длины кривой позволяет выразить ее длину не только как верхнюю грань длин всевозможных вписанных в нее ломаных, но и как их предел при условии, что мелкости соответствующих разбиений стремятся к нулю. Чтобы зто доказать, нам потребуется одна лемма.
Лемма. Пусть у=(Г=Г(в), 0=.-"в=5[ — непрерывно дифференцируемая кривая в )тз, в — ее переменная длина дуги и ЛГ = (ат~ =-ю (а+Ля) — г(з). Тогда отношение — ' стрелсится к единице (аз) при Лл — э-0 равномерно на отрезке [О, 51. Это означает, что для любого е'>О существует такое 6>0, что для любой точки зя ен[0, 5] и для любого приращения Лв(в+Лаан [О, 51), удовлетворяющего неравенству ~ Лв(м.6, вьгполняется неравенство Доказательство. Допустим противное„т. е. что существуег такое ео»0, что для любого 6»0 найдется такая точка во~[0, 51 и такое пРиРащение Лвгн ~Лзо~(6, что длЯ Лгь= = Г(во+Лаз) — г" (во) выполняется неравенство (!Л ~ — 1(гвео. Будем брать последовательно 6=1!и, п=1, 2, ..., причем соответствующие точки зо и приращения Лзо будем обозначать через з„и Лзо Тогда для всех натуральных и будут выполняться неравенства 1( — "~ — 1~»ео, (Лзо(«" —, (Дл (В) — Гл (В.)! ('— ,' ГдЕ ЛГ„=Г(В„+Лзл) — т (З„).
Выделим из последовательности [в„) сходящуюся подпоследовательность (в„о), тогда во =" 1пп з„иен [О, 51. В силу непрерывности производной Г'(з) в точке во существует такое 6,' ° О, что при (з — зо(. 6, справедливо неравенство 328, Вычисление длины кривой едя или, что то же самое, У (я) =г (яо)+со(я), /сс(я)1<-2 — прн 1я — яо/ <6, я Я(0, 5].
так, чтобы имели место нера- Выберем теперь натуральное й, векства !',— "~<-22 1 ао, — < —; и, 2' Поэтому, заметив, что )г'(я,)1=1 и что члл + ьчли э с,г,„= г(я, +М„) — г(я„ч ))= ~ г'(я) с(ялл лов 5 +Ьч лли +ьчлч [г' (я,) + сс (я)1 й = г' (яо) йя„+ ~ сч (я) дя, лл 'лы получим 'лл, "ч'лы 1 г (яо) '+ — ) с«(я) дя иоле 5 льч — 1 г' (яо)1 'Ф» лил ) я (я) ( й 2 < во 1 ~а' л,~ Это противоречит сделанному предположению. Д Теорема 3. Луеть у=(г=г(я), 0«я«5) — непрерывно дифференч1ируеман кривая в 1чо, я — ее переменнал длина дуги, т=- = (яч),'=о — разбиение отрезка '10, 51, е = У,'1У(яч) — г(я;,) (; тогда 5=1пп й,.
о О Здесь Хч является, очевидно„длиной вписанной в кривую у ломаной с вершинами в точках г(я;), 1=0, 1, 2, ..., й. тогда, замечая, что согласно выбору приращений стя„выполняется 1 ио неравенство 1Ля„ь ~ < —, имеем ~ Ля„„! <-"-. Следовательно, для лы л„ ли, ~ всех я, лежащих на отрезке с концами в точках я„л и ял„+ Лял будем иметь !я яо~«)я — ял,1+!ялл — яо1<!пялл!+.2 <бо о04 э 32 Геометрические и фиеичесмие-ариеоаееиии иитеераеа Доказательство. — е (эч,), с=1, 2, Положим Лэе= э; — э! „Ле; = «(е!)— й.
Заметив, что э= ~е Лэ! и А, = е=! ~~'„) Л«е!, получим е=! 1о — ),~ = ~~! Лэ! — ~~ /Л«е~ «=- ~~)1 — ~ —,' (~Лз!. е=! Согласно лемме для любого е)0 существует такое 6~0, что как только )Лэе! Сб, то имеет место неравенство Поэтому для всякого разбиения т леелкости бт(6 выполняется неравенство !З вЂ” Л,~<; — ',- ~ Л !=.. !=! Это и означает, что 11«п Х,= 5.
( 1 32.4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ 1;=п(у; — +у!) ~Л«.~ Понятие поверхности и ее площади будет специально изучаться в 2 50. Здесь же мы ограничимся специальным случаем поверхностей, образованных вращеу нием кривых вокруг некоторых осей. «14! !! Как всегда будем предполагать, 1а«е~ что в пространстве )1е фиксирова- «!41 иа прямоугольная декартова система координат. ! ,ее~ Пусть у = (« = «((), а ( 1 ~ Ь)— кривая, лежащая в полуплоскости г(р) у ) 0 плоскости переменных х, д, ! т=(1!)с=о — разбиение отрезка (а, Ь). ! Впишем в кривую у ломаную с вер- шинами в точках «(1;) =(хо у;), й =О, 1, 2, ..., й (рнс.
126). При Рис. И8 вращении звена Л«! = Р (1!) — «(й !) этой ломаной вокруг оси Ох получится поверхность усеченного конуса (в частности, быть может, цилиндра) с площадью га. а Площадь яоверкноеь и вращения 505 а при вращении всей ломаной — поверхность с площадью Е,=- ~ 1;= и 'У',(у, к+уь))йг;(. ~=в ь =-1 Определение 1. Если существует предел 1нп Е„то он позыв, о вается площадью Е поверхности, образованной вращением кривой у вокруг оси Ох. Таким образом, Е"=" 1пп Еп ь,—.о (32.!9) Теорема 4. Пусть у = (г = г (1), а -1 = Ь) — непрерывно дифференцируемая кривая бев особых точек, лежащая в полуплоскости у)0 плоскости переменных х, у.
Тогда для площади Е поверхности, полученной вращением кривой у вокруг оси х-ов, справедлива формула ь 3 Е = 2п ~ у Ф х('+ у~' Ш = 2п ~ у (в) е(в, (32.20) Сравним сумму Ек — — и ~Ч, (ув-к+ув) ( Лев ~, у, =-'-'у,(в), 1=0, 1, ..., й, (32.21) с интегральной суммой (функции 2пу(в)) о,=2п ~ч',У; Лво (32.22) в=1 Для этого заметим, что функция у(в), будучи непрерывной на отрезке 10, о1 ограничена на нем, т. е. существует такая постоянная М)0, что для всех в ~10, Я выполняется неравенство |у (з) ( ~ М. Обозначая через ы (б; у) модуль непрерывности функции у(з), а через к,— длину ломаной с вершинами в точках где в — переменная длина дуги кривой у, 0 = в ( 5. Доказательство.
Как известно, при сделанных в теореме предположениях (см. п. 16.5) функция вг в(1), а~1.=Ь, является допустимым преобразованием параметра, и, следовательно, длина дуги в может быть принята за параметр: у=(г —.— г(в)=(х(в), у(в)), О.-в~3'1. Пусть т=(в;)';=во — разбиение отрезка 10, Я, Лг~=г(ь,) — г(в;,), Лев=в; — в; „1=1, 2, ...я. о!Го Э 22. Геометрииесяие и фиэинесние приложения интеграла г(э;) и заметив, что (Лг! ~~Лог, ! =1, 2, ..., Ф, получим ! сгс Ег ! = л У 2у' Лэг л ~' (2уг + (уг-э у!)1 ! Лг! ! г= ! ~=1 (2л ~', !у! ! (Лэг — '!Лгг!)+л ~х~ ~у; — у;,! ~ Лг; ~~ г=! г=- ! ~ 2лМ (,У, 'Лэ! —,У', ~ Лг'г ! !+ лоэ (б,; у) ~Х „'! Лг! ! = !!г=- ! г=! г г=! =2лМ (5 — е.,)+лго(б,; у) Хс. Здесь 1! т (3 — Л,) =- О (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
