kudryavtsev1a (947413), страница 94
Текст из файла (страница 94)
а Доказанные теоремы показывают, что операция интегрирования с переменным верхним пределом приводит к «улучшению» нлн «сглаживанию» свойств функции: интегрируемая функция переходит в непрерывную, а непрерывная — в днфференцируемую. Заметим, что операция дифференцирования в определенном смысле «ухудшает» свойства функции: например, призводная непрерывной функции, если она существует, может быть уже разрывной функцией. Из формулы диффереяцирования по верхнему пределу (29.5) можно легко получить и формулу дифференцирования по нижнему пределу. Пусть функция ) интегрируема на отрезке [а, Ь).
Тогда на этом отрезке определена и функция ь С (х) = ~ ( (() с((, а =х ( Ь, к причем нз тождества ь к ь ~~(() Й=-~[(() с((+~~(() Ш имеем ь 6 (х) = $ ( (У) с(( — Р (х). (29.6) а Если функция р непрерывна в точке х~ [а, Ь), то, как доказано выше, функция Р дифференцируема в этой точке. Из формулы (29.6) следует, что в этом случае функция 0(х) в точке х также дифференцируема и йо (к) ел (к) йк Ых Таким образом, й„- 1 ((() с((= — ((х).
к 29.3. Формула Ньютона — Лейбница 47! 3 а меч ание. Из формул дифференцирования интеграла от непрерывной функции по верхнему (нижнему) пределу интегрирования следует также, что всякая функция, непрерывная на некотором промежутке (конечном или бесконечном), имеет на нем первообразную. Действительно, пусть например, функция! непрерывна на интервале (а, Ь).
Выберем произвольную точку хь~ ~(а, Ь) и положим .Р(х) = ~((!)((!. Тогда для всех х~(а, Ь) справедливо равенство Е'(х) =7(х), т. е. Е (х) является первообразной функции 7'(х) на интервале (а, Ь). Уп р ажн ение. Пусть Функция ((х) яепрерывна, а д) (х) и ф(х) — дифференцируемы всюду в ((. Доказать следующие обобщения формулы (29.5): е (х) е (х) (( (' — 7(Й б(=)((рИ) 9)' (х)( — „~ ((О(((=7(Ч)(х)) ф' И вЂ” У(ф И) Ф И.
(( о т (х) 29.3. ФОРМУЛА НЬЮТОНА — ЛЕЙБНИЦА Теорема 4 (основная теорема интегрального исчисления). Пусть функция !' непрерывна на отрезке [а, Ь!. Если функция Ф является произвольной ее первообразной на этом отрезке, то ') ! (х) ((х = Ф (Ь) — Ф (а).
(29Л) Эта формула называется формулой Ньютона — Лейбница а). Доказательство. Положим Е(х)=))(!)с(!. Согласно дол казательству следствия нз теоремы 3 п. 29.2 функция Е является первообразной для функции ! на отрезке [а, Ь). Таким образом Е и Ф вЂ” две первообразные одной и той же функции ! на отрезке [а, Ь), поэтому Е(х)=Ф(х)+С, а«х«Ь, где С вЂ” некоторая определенная постоянная, т, е. х г)((!)(((=Ф(х)+С, а=-х«Ь. а " И. Ньютон (!643 — 1727] — английский физик, механик, астроном и математик, 472 й 2У.
Определенньгй интеграл с переменным верхним преде~ам При х=а отсюда следует, что С= — Ф(а), следовательно, ) 7 (1) Ж = Ф (х) — Ф (о). Полагая здесь х=Ь, получим формулу (25.7). ( ) Для краткости записи часто употребляется обозначение Ф(х) ',е — 'Ф(Ь) — Ф(а), или 1Ф (х)1,"=' Ф (Ь) — Ф (а).
Если в приведенном доказательстве теоремы 4 вместо следствия из теоремы 3 использовать саму эту теорему, то получится доказательство более общего утверждения. Сформулируем его также в виде теоремы. Теорема 4*. Пусть функция 7" интегрируема на отрезке 1а, Ь1 и непрерывна е его внутренних точках. Если функция Ф является какой-лабо ее пероообризной на этом огпрезке, то ь ~ 7 (х) дх = Ф (Ь) — Ф (а). и Отметим еще, что формула Ньютона — Лейбница (29.7) справедлива и для а) Ь.
Действительно, если а и Ь поменять местами, то обе части равенства (29.7) изменят знак. Замечание. Можно показать, что условие интегрируемости функции на отрезке при условии ее непрерывности во внутренних его точках равносильно ограниченности функции на этом отрезке. Это непосредственно следует из ограниченности интегрируемой функции и замечания в конце п. 28.3. ! Примеры. 1. Найдем ) хо дх.
Известно, что о ! хз ле и хо 0х = --+ С, поэтому 1 хо е(х = '3 3 — а~о о 2. Найдем ~ э1пхе(х. Имеем о ~ э!и х дх = — соэ х ~п = — соз и+ соз 0 о ! 3' Теорема 4е может быть усилена за счет отказа от выполнения условия Г(х)=7" (х) в конечном числе точек. Точнее, справедливо следующее утверждение. Теорема 5. Пусть )' — интегрируемая, а Р— непрерывная на отрезке 1а, Ь1 функции и пусть всюду на 1а, Ь], кроме конеч- 2й.б, Формула 11ьвтона — Лейбница ного мнолсества точек, справедливо равенство Р'(х)=1(х).
Тогда справедлива и формула Ньютона — Лейбница ) !" (х) ь(х=Р(Ь) — Р(а). а (29.8) Доказательство. Обозначим через а,, ..., а точки конечного множества, в которых не выполняется равенство Р(х)=)(х), ау~[а, Ь1, 1=1, ..., т, и рассмотрим какое-либо разбиение т= [хь[[=во отрезка [а, Ь1, содержащее все точки а„... ..., а . Тогда на каждом отрезке [х; „ху1 функция Р непрерывна, а внутри него она имеет производную Р' (х) =1(х). Поэтому к функции Р на указанном отрезке можно применить формулу конечных приращений (теорему Лагранжа о среднем значении): Р(х~) — Р(хь,)=Р' Д~) Лх,=(Я) Лхп (29,9) где Лх;=х; — х; и 5~ ~(х~ „хд, 1= 1,, и.
Суммируя получившиеся равенства от 1 до А и замечая, что ~ч', Р(хе)-Р(хе-ь)=Р(хь)-Р(хь) =Р(Ь)-Р(а), ь=! получим Р(Ь) — Р (а) = ,'~~ [ Д;) Лх,. (29.!0) В правой части этого равенства стоит интегральная сумма Римана функции ). Пусть теперь т=т„, и = 1, 2, ... — последовательность разбиений, содержащих точки а„..., а„, для которой 8, -ь.
0 при п-ь.со. Переходя к пределу при п-ь.со в (29.10) и замечая, что левая часть этого равенства постоянна и равна Р(Ь) — Р(а), а правая в силу интегрируемости функции ) (см. теорему 3 в п. 28.3) ь стремится к интегралу )1(х)дх получим формулу (29.8). [ ! а В случае, когда функция р кусочно-непрерывна, нетрудно доказать, что всегда. существует функция Р, удовлетворяющая условиям теоремы 5. Для этого надо взять разбиение т = (х;)';:о~ отрезка [а, Ь], состоящее из точек а, Ь и точек разрыва функции 1. На каждом отрезке [х; „хь) существует первообразная Р, фУнкции 1 (теоРема 3). ПРи любых постоЯнных С; фУнкции Ре+Сь также будут первообразными для 1 на [х; „х1.
Выбрав одну из постоянных С; произвольно, остальные можно последовательно выбрать так, что в результате получится непрерывная на отрезке [а, Ь1 функция Р, для которой Р' (х)=-1(х), х~хь 1=-0,1, ..., й. В74 Э ВО. Формулы замены неременной и интегрирования но частям Функция г, удовлетворяющая условиям теоремы 5, т. е. непрерывная на отрезке [а, Ь] и такая, что для всех его точек, кроме конечного множества, выполняется условие г'(х)=)(х), также называется первообразной функцией функции 1.
Это некоторое обобщение определения-1 п. 22.1. 5 30. ФОРМУЛЫ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ В ИНТЕГРАЛЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ Зосб ЗАМЕНА НКРЕМКННОН Теорема 1. Пусть 1) функция 1'(х) непрерывна на интервале (а, Ь); 2) функция ср(1) определена и непрерывна вместе со своей производной ср'(1) на интервале (а, ~)), причем для всех 1~(а, Р) выполняется неравенство а ( ср (1) ( Ь. Тогда, если ао ен (сс, р), р ен(ы, ~)), а,=ту(а,), Ьо=ср([)о), то ь, Гч 1 г (х) с(х = 1 1 [ р Д)] ср' (1) с(1. (30.1) Эта формула называется формулой з мены переменной в определенном интеграле или формулой интегрирования подстановкой.
Доказательство. Прежде всего заметим, что, по условию, функция Г заведомо определена на множестве значений функции ер (рис. 110), поэтому имеет смысл сложная функция ) [ч'(О]. В силу сделанных предположений подынтегральные функции в обеих частях формулы (30.1) непрерывны, поэтому оба интеграла в этой формуле существуют. Пусть Ф (х) — какая-либо первообразная функция ) (х) на интервале (а, Ь). Тогда для точек 1 интервала (а, р) имеет смысл сложная функция Ф[тр(1)], которая является первообразной для функции1[ср(г)]тр'(1). По формуле Ньютона — Лейбница (см.
п. 29.3), ь, ~ ) (х) йх = Ф (Ьо) — Ф (а,), о, в ') [[ч (1)] р'(1)й(=Ф[р([)о)] — Ф[тр( )]=Ф(Ьо) — Ф(ао). а, Из этих равенств и следует формула (30.1). [] 30.1. Замена неременноа 47а Как видно из доказательства, формула (30.1) справедлива как при сье«=.р„так и при аа) Рь.
Интересно отметить, что некоторые значения функции <р(1) могут и не принадлежать отрезку [а„Ье], по которому происходит интегрирование (см. рис. 110) в левой части равенства (30.1). Если воспользоваться формулой для односторонних производных сложной функции (см. замечание 2 в п. 9.7), то формулу (30.1) можно доказать для случая, когда функция 7 задана на отрезке [а, Ь], функция ~р(1) — на отрезке [ее, Я и множество значений функции ~р содержится в отрезке [а, Ь], причем а = ~р(а), Ь=ер(р) (рис. 111).
В этом случае формула замены переменной может быть применена ко всему отрезку [а, Ь]: ь а ~ ~ (х) Их = ],е [~р (1)] ер' (1) ь(1. (30.2) При употреблении символа определенного интеграла мы всегда пи- Р сали под знаком интеграла выра- Рие. 111 жение 1(х) ь(х, где х — независимая переменная. При этом, когда давалось определение определенного интеграла, не предполагалось, что 1(х) дх является дифференциалом какой-либо функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
