kudryavtsev1a (947413), страница 92

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 92)

выше указанное следствие) '1 [) (х) — у (х)] с(х = ) г (х) с(х — '1 у (х) дх и, значит, ь ь 1 ! (х) дх — ') у (х) ь(х О. [ ] а а Доказанное следствие утверждает, что обе части неравенства вида (28.23) можно интегрировать по одному и тому же промежутку. (В связи с этим заметим, что дифференцирование обеих частей неравенства без специальных дополнительных предположений недопустимо). Доказательство. В самом деле, каковы бы ни были разбиение т=(х))==)отрезка [а, Ь] и точки йеп[х; „х], ь =1, 2, ..., !г для функции [)О имеем о,([) = р,' 1($;) Лх;~0. (28.22) Ж1. Свойства определенного интеграла ~1 (х) сЬ =.

О, О (28.25) а для функции 1, интегрируемой на отрезке [а, 61, а ь ')1(х) йх= — )1(х) йх, а(6. (28.28) ь а Эти определения в известной мере естественны. В первом случае, т. е. при а==6, следует считать, что все промежутки разбиения отрезка [а, 61 становятся точками, а их длины Лх! равны нулю. Поэтому все интегральные суммы ,'~~ 1($!) Лх! в этом слу! — 1 чае также равны нулю, а вместе с ними обращается в ноль и интеграл, стоящий в левой части (28.25). 9 '! Пусть функция 1 интегрируема на отрезке [а, Ь). Если она неотрицательна на нем: 1(х)=-0, хек[а, 61, и суи1ествуепг точка хе~[а, 61, в копюрой функция 1 непрерывна и положи- пгельна: [(хв))0, то ь 11(х) йх)0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно лемме п. 19.3 существует такое б>0, что )'(х)== — для всех х~У(х„б)Я[а, 61. Пусть 1 (к,) [и, Я с: (1 (х„б) П [а, 61, сс ( р; тогда ь ь ~)'(х) йх= ~~(х)йх~ — "' (р — а) )О. [ ) в а Отметим, что если отказаться от условия непрерывности функ- циигв точке х„то может случиться, что для интегрируемой неотри- цательной иа отрезке функции, положительной в некоторой точке, интеграл по всему отрезку равен нулю. Так, например, функция 0 при 0(х «1, 1 при х=О ! интегрируема и неотрицательна, 1(0))0, но )1(х)йх=О. Это о равенство легко следует из определения интеграла.

10'. Нами было введено понятие определенного интеграла )1(х) йх от функции 1 по отрезку [а, 61, где, согласно принятым а обозначениям, а(6. Для любой функции 1, определенной в точке а, положим, по определению, у 28. Свойства интегрируемых функций йуз Во втором случае следует считать отрезки [х;,, хг) разбнения т=(хф:ь отрезка [а, Ь) ориентированными в отрицательном направлении оси Ох (понятие ориентированного отрезка знакомо читателю из аналитической геометрии), и поэтому их длины Лх, отрицательными. Отсюда следует, что все интегральные суммы, а образуемые для интеграла )1(х)с(х отличаются лишь знаком от ь ь соответствующих интегральных сумм интеграла )7(х) с(х, что и а делает естественной формулу (28.26).

Этим интуитивным соображениям можно, конечно, придать и строгую логическую форму, введя соответствующие определения, однако гораздо проще и короче ввести равенства (28.25) н (28.26) по определению. 11'. Если функция !" интеерируема но отрезке [а, Ь1, то и функция !1! интегрируемо на нем и ь ь ~[(х) дх~~~ ![(х) !дх, и(Ь. (28.27) а а Действительно, во-первых, из ограниченности функции Г, оче- видно, следует и ограниченность функции !7!, а во-вторых, для любых двух точек Зебр[а, Ь) и т1еп [а, Ь1 имеет место неравенство ! ! 1 ® ! — ! У (Ч) ! ! =Я !1 (й) — 1(г1) !, откуда следует, что, каково бы ни было разбиение т=-(х;)):=оь отрезка [а, Ь1, обозначая через со;([) и ьч((7!) соответственно колебания функций [ и )[! на отрезке [х; „ хг), получим вп (!!" !) =- пч ([); г' = 1, 2, ..., й, поэтому О ( ~, 'со;(![!) Лх;~ ~ч', пч(1) Лхг.

с=1 Отсюда следует, что если 1ип 'У', ьч([) Лх;=О, то и !!ш 'У,'ьч()[!) Лх,=О. ь,-о, ьт ос=! Это означает (см. и. 27.4,) что из интегрируемости функции следует интегрируемость функции ! [!. Г1усть теперь Ц еп [х; м хг), 1=1, 2, ..., А; тогда ! о,([) ! = ~" [ Д;) Лх; ~ ~' !1($;)! Лх; = о„((Г !). 1=! г=! 2В.2. Первая теорема о среднем значении для интеграла чзр Переходя в этом неравенстве к пределу при 8,-+ 0 и замечая, что 1ь ь 1пп !о,(1) /=~ 11тп от(1) ~=~$[(х) е(х~, 1пп от(/[/) =~/[(х) / т(х, получим неравенство (28.27).

( ) Если отказаться от ограничения а(Ь, т. е. допускать случаи а=Ь и а)Ь, то аналог неравенства (28,27), имеет вид ') 1 (х) с(х ~ ~ ~ ~ [(х) ( г(х . а 1а (28.28) В самом деле, пусть а(Ь, Поскольку (см. свойство 8') ь ь $ ~ г'(х) ( г(х 1 = 1 ( [ (х) ~ дх, а а то неравенство (28.28) совпадает в этом случае с неравенством (28.2?). Если же а)Ь, то, используя свойство (28,26) и неравенство (28.27), получим ! ь 1а а а ь $1(х) дх ~=~ ~)(х) т(х~($ /~(х) / с(х= ~ ~[(х) ! с(х~ = ~ ~~(х) ! т(х . а ь ь ь а Наконец, при а=Ь неравенство (28.28) очевидно.

28.2. ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ДЛЯ ОПРЕДКЛКННОГО ИНТЕГРАЛА, Теорема 1. Пусть 1) функции [ и д интегрируелы на отрезке [а, Ь); 2) т — 1' (х) ( М, х ен [а, Ь); (28.29) 3) функция и не меняет знака на отрезке [а, Ь), пп е. либо неотрицательна, либо неположительна на нем; тогда суи1ествует такое число р, что т(1ь -М (28.30) и ь ь т)1'(х)д(х) с(х=1ьт)у(х) т(х, (28.31) а а Следствие. 7?ри дополнительном предположении непрерывности функции 1 на отрезке [а, Ь) суи(еств1тет гпакая точка $ на интервале (а, Ь), что ь ь $У(х)д(х) г(х =[(К) $ д(х) т(х.

(28.32) у 28. Свойства интегрируемых функций 4бо. В частности, при д(х) =,! на [а, Ь): ь $) (х) с(х = 1 (Ц) (Ь вЂ” а). а (28.33) а при д(х)-~0 его(х))[(х)д'(х) Мгг(х). Рис. 10б Интегрируя эти неравенства будем иметь, на основании следствия из свойства 8' (п. 28.1), ь ь ь т~8'(х) Нхи.-~~(х)д(х) г(х=-.М ~й(х) е(х, (28.34) а а в соответственно, ь ь ь т~у(х)Нх==~~(х)й(х)с(х~М~й(х)с(х. (28.35) а а а ь Если ~д(х) с(х=О, то как в первом, так и во втором случаях а ь ~[(х)й(х) с(х=О. а ь Таким образом, если ~д(х)дую=О, то обе части равенства а (28.31) при любом р обращаются в ноль, т.

е. при выполнении ь условия ~д(х)ь(х=О равенство (28.31) справедливо при любом а выборе числа р, в частности и при т(р(М. ь Если же ~д(х)г(х~О, то при д(х))0, х ~[а, Ь1, имеем а ь ь ~й(х) с(х)0, а приу(х) =О, хек[а, Ь1, соответственно, ~д(х)г(х(0. Последняя формула в случае неотрицательной на отрезке [а, Ь) функции [ имеет простой геометрический смысл: плошадь криволинейной трапеции, порожденной графиком функции 1, равна площади прямоугольника с основанием длины Ь вЂ” а и высотой длины )($) (рнс. 106) Локазательство теоремы. Умножая неравенство (28.29) на д (х), получаем при п(х)~0 тд (х) (1 (х) д (х) ( Мр (х), гд.2.

Первая теорема о среднем внанении для интеграла 46е ь Деля неравенство (28.34) и (28.35) на интеграл ~й(х) г(х, получим Р в обоих случаях одно и то же неравенство ~1(х)В(я) дх ь ~М. ) я (х) дх а (28.36) Полагая ь ) 1 (л) а (х) Их щ~~ а р= ь \ ) д(х)дх а (28.37) убеждаемся, что при таком выборе 1л выполняются как условие (28.30) (в силу (28.36)), так и (28.31) (в силу (28.3?)). ( ) ь Доказательство следствия. Если ~д(х)г(х=О, то ь в силу равенства (28.31) получим ~)(х)д(х) г(х=О и, следоваа тельно, формула (28.32) справедлива при любом выборе точки $ ~ (а, Ь). В дальнейшем для простоты будем считать, что д(х) З:О, хен1а, Ь| (случай д(х)~0, х ~[а, Ь1, рассматривается аналогично или сводится к предыдущему заменой функции р(х) на функцию — и (х)).

ь Пусть теперь ~й(х)е(х~О; тогда в силу неотрицательности а функции п(х) выполняется неравенство ь ~д(х) ох~О, (28.38) а В дальнейшем будем считать, что и= 1п( 7(х), М= зцр )(х). [а, Ы ~а. Ь! Это предположение допустимо, так как прн таком выборе и н М выполняется условие (28.29). В формуле (28.31) согласно условию (28.30) возможны три случая: т(1л(М, 1л=М и р =та. Если т<р~М, то согласно теореме о достижении непрерывной на отрезке функции своих наибольшего и наименьшего значений (см. теорему 1 в п. 6.1) существуют такие точки еь ен 1а, Ь1 и р ~(а, Ь), что )Ьа)=т, 1(())=М. Позтому в силу теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции (см. теорему 2 и следствие 2 из нее в п. 6.2) на интервале с концами а и р найдется такая точка $, что ) Я) = р.

Очевидно, $ ен (а, Ь) (рис. 107). 4 28. Свойства интегрируемых функций 482 Если [с=М (случай р=п[ рассматривается аналогично), то равенство (28.3!) принимает вид ') [ (х) [т (х) дх = М ~ д (х) Их, откуда ~ [М вЂ” [(х)) д(х) Нх = О. а (28,39) Покажем, что существует такая точка З ен (а, Ь), что[($) = М. Предварительно заметим, что ь — е ~а(х) а[х= ![гп ~ л(х)с[х. а е — , 'Оа — ,'е (28 АО) В самом деле, функция а(х) интегрируема на отрезке [а, Ь), а поэтому и ограничена на нем, т.

е. существует такая постоянная А) О, что для всех х ен [а, Ь'! выполняется неравенство !а(х) )~ А, Отсюда имеем л [ь Ь вЂ” е а+в 1~д(х)с[х — ~ д(х)с[х~= ~ у(х)ь[х-(- 4(Е!--- а а+е а ь а+е [е ! ~ $ -)- ~ д(х)ь[х~( ~ ~д(х)[с[х-(- ь — е а ь а+е ь 4 Р й х -)- ~ )д(х))ь[х~А ~ ь[х+А ~ с[х= ь — е а ь — е Рис. 107 = 2Ае, 0 с. е а Ь вЂ” а.

Из этого неравенства сразу следует (28.40). В силу неравеистна (28.38) из (28.40) вытекает существование такого е„О С е, С Ь вЂ” а, что и 1 3 ! ! ! ! 3 д(х) сЬх) О. а+ ет М вЂ” Р (х) =- пп(п [М вЂ” 1(х)[= М вЂ” 1(х,) ) О. [а, е,, ь — ел Если бы не существовало точки ахеи(а, Ь), в которой 1" Я) = М, то непрерывная функция М вЂ” 1(ь) была бы положительной на интервале (а, Ь), а, следовательно, и на отрезке [а-г ее, Ь вЂ” ее).

В частности, она была бы положительной и в той точке хса в которой они принимает свое наименьшее значение 288. Интеерируемость кусочно-непрерывных функций вбз Поэтому ь ~ [М вЂ” [(х)18(х) с(х=- а ь--в, ь — е« [М вЂ” 1(х)18(х) с(х~[М вЂ” [(хо)1 $ Р(х) с)х)0, а+с, а+ е« а это противоречит равенству (28.39). [ ) Следствие теоремы 1 обычно называется интегральной теоремой о среднщи. Это название объясняется тем, что в нем утверждается существование некоторой точки на отрезке — «средней точки», обладающей определенным свойством, связанным с интегралом от функции. Формулы (28.31) и (28.32) остаются очевидным образом верными и при а==Ь.

Характеристики

Список файлов книги