kudryavtsev1a (947413), страница 96
Текст из файла (страница 96)
( ) Теорема 3 (Бонне*'). Пусть 1 — непрерывная, ад — монппгоннпя непрерывно дифференциругиая на отрезке 1а, Ь) функция. Тогда суггцеспмует такая точка 3 е=(а, Ь), ггпго ь $ ь ') д (х) 1 (х) г(х =- д (а) ) Г'(х) с(х+ д (Ь) 1(' (х) г(х. (30.1о) и а 1 Доказательство. Допустим сначала, что функция д возлег растает на отрезке 1а, Ь); тогда функпия Ь(х) =д(х) — д(а), а( ==х= Ь, будет неотрицательной возрастающей непрерывно дифференцирусл.ой на отрезке [а, Ь) функцией. Поэтому согласно лемме существует такое $ ~ 1а, Ь), что ь ь $ Ь (х) 1'(х) с(х = Ь (Ь) ~ г" (х) г(х.
а в Подставив сюда выражение для Ь(х), получим ь ь $ ~у(х) — д(а))7(х) ь(х=~д(Ь) — у(а)) ~7 (х) с(х, в $ откуда ь ь ь ) д(х)/'(х) с(х =д (а) )1 (х) г1х — у(а) )) (х) г(х+ в в ь. $ + д (Ь) ~ гг (х) с(х = д (а) т) г' (х) г(х + у (Ь) ~ ~ (х) г(х, $ в т.
е, получилась формула (30.1б). Если функция д убывает на отрезке (а, Ь), то для доказательства теоремы достаточно применить формулу (30.15) к функции — д, которая, очевидно, возрастагощая. ( )) Отметим, что теорема 2 справедлива и при более слабых ограничениях: от функции Г достаточно потребовать лишь ее ннтегрируемость, а от д — ее монотонность. 80.4.
ИНТЕГРАЛЫ ОТ ВИКТОР-ФУНКЦИИ Аналогично тому, как были определены интегралы от числовых функпий, можно определить и интегралы от вектор-функний, значения которых принадлежат п-мерному векторному пространству йв (см. п. 18.4). " О. Б о и и е (1819 — 1892) — фраикуаский математик.
16 Ктаавввев и. д. т. г 4В2 р ЗО. Формулы занены яерененной' антегрнровання но частян Пусть г(7) я Р", а = у == Ь, — векторфункция, т=-((з)ь разбиение отрезка [а, Ь), йе ела [7, „Я Лг;=Ге — 7ь „ь=), 2, ..., ь'„ б,— мелкость разбиения т. Если при любом указанном выборе точек $; существует предела~ И гп ~х ', г д;) ать ьт ос=1 не завпсягций от выбора последовательности разбиений, то он называется интегралом от функции г (7) по отрезку [а, Ь) и обозначается ь ') г(() й. а При постоянных а и Ь ои представляет собой постоянный вектор в тса. Пусть г(() =(хт(т), ..., х„(г)). Поскольку при сложении векторов складываются их координаты, при умножении векторов на число их координаты умножаются на то же число, а предел вектор-функции равен вектору, координаты которого являются пределамп ее соответствующих координат, то ') г (Г) г(7 = ( ~ х, (7) д(, ..., ~ х„ (!) аг ч а ~,а а В силу этого равенства многие свойства интегралов от числовых функций переносятся на интегралы от вектор-фуикций.
В частности, вектор-функция Г(ь), определенная на некотором конечном или бесконечном промежутке Е числовой прямой, называется первообразнои' для данной функции г(7) ~)та, определенной на том же промежутке Е, если во всех его внутренних точках Г имеет место равенство ГР(7) =-г(т), а на каждом конце промежутка Е, входящем в Е, функция Р непрерывна. Для вектор-функций справедливо предложение, аналогичное основной теореме интегрального исчисления (см. теорему 4 п.
29.3): если вектор-функция г(7) а= =уса интегриругма на отрезке [а, Ь) и непрерывна в его внутренних точках (в частности, если она непрерывна на всели отрезке [а, Ь)), то у нее с)уществуеьтг на этом отреаке первообразная, и для любой ее первообразной Р(7), справедлива форлтула ь ~ г'(г) аг =-Г(Ь) — Г(а) *' Понятие предела в этом сяучае определяется с помощью предела векторной последовательности либо на (в — б)-языке совершенно аналогично случаю скалярвых функций, рассмотревиому в и.
27Л, и предоставляется читателю. 81.1. Определение меры !плотиоди) открытых множеств называелсая, как и в случае скалярных функций, формулой Ньютона — Лейбница. Справедливость этого утверждения следует из справедливости формулы Ньютона — Лейбница для всех координат функции г(1). Замечание. В п. 15.2 была доказана следующая теорема: если вектор-функция г(1) непрерывна на отрезке [а, Ь) и диффсренцируема внутри него, то существует такая точка $ ен (а, Ь), что ) г (Ь) — г (а) ( -:- ( 1" (Е) ~ (Ь вЂ” а).
Поиведеиное в п, 15.2 доказательство этого утверждения имело несколько искусственный характер — надо было догадаться воспользоваться некоторой вспомогательной функцией. С помощью понятия интеграла (предполагая непрерывность производной рассматриваемой вектор-функции) доказательство можно провести более естественным образом.
Пусть вектор-функция г(1) ен тса имеет непрерывную на отрезке [а, Ь] производную. Тогда, применяя формулу Ньютона— Лейбница, получаем ~! ь )г(Ь) — г(а) ';=.. ~~ г' (1) Й~-.= $ /г'(!) /с(1. а а В правой части получился интеграл от непрерывной скалярной функции. Согласно интегральной теореме о среднем (см. следствие из теоремы 1 в п. 25.2) существует такая точка авен ~ (а, Ь), что ~ (г'(1),' с(1 =-,'г'(С) '(Ь вЂ” и); а следовательно, ( з (Ь) — г (а) ~ ~ ~ г' Д)' ,(Ь вЂ” а), $ ен (а, Ь).
Д й 31. МЕРА ПЛОСКИХ ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ 31.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕРЫ (ПЛОН(АДИ) ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ Рассмотрим плоскость, на которой зафиксирована некоторая прямоугольная система координат. Обозначим через Т„разбиение этой плоскости на замкнутые квадраты, получающиеся при проведении всевозможных. прямых х=р, у=у, р==О, -+.1, м2, у=О, +1, +-2,, Такое разбиение назовем явадрильяжеле плоскости ранга О, а указанные квадраты — квадратими нулевого ранга. Разобьем каждый из квадратов нулевого ранга на 100 равных квадратов прямыми, параллельными осям координат (любые две соседние параллельные прямые отстоят друг от друга на расстояние 1110).
Совокупность получившихся квадратов обо- 16 У И. Мера плоских открытых множеств значим Т,. Продолжая этот процесс дальше, получаем квадрильяжи Т, т=1, 2, ..., плоскости, состоящие из квадратов, образовавшихся в результате проведения всевозможных прямых вида х= —, у= — р=О, 1-1 + 2 ... д=О 1-1, 1-2, ... р о 1Ов«' 1От' и, следовательно, со сторонами длины 1110"т Квадраты, принадлежащие квадрильяжу Т, будем называть квадратами ранга тп, п«=1, 2, ...
Пусть 6 — плоское открытое множество. Обозначим через за = = з, (6) совокупность точек всех квадратов нулевого ранга, лежащих вместе со своей границей во множестве 6, а через з, =з,(6)— совокупность точек всех квадратов первого ранга, лежащих в 6 вместе с границей.
Вообще через з„=з (6) обозначим совокупность всех квадратов ранга т, лежащих вместе со своей границей во множестве 6, гп = О, 1,.... Очевидно, что (рис. 112) зв ~ з, с: ... с з„с: ... с: 6. (31.1) Множества з„зт, ..., з, ... представляют собой «многоугольники», составленные из конечного или бесконечного числа квадратов соответствующего ранга. В случае, если з состоит из конечного числа квадратов, обозначим площадь многоугольника з„ через пл.з„, если же з„ состоит из бесконечного числа квадратов, положим пл.
з„=+ со. Если какое-то з состоит из бесконечного числа квадратов, то и все следующие з„, тп =»те также состоят из бесконечного числа квадратов. Из включений (31.1) в силу соглашения об использовании символа +со (см. п. 2.5) следует, что всегда (31.2) пл. за -.пл. зт —... пл. з, Возможны два случая. 1. Все пл.з„конечны, тогда (31.2) является монотонно возрастающей последовательностью, и поэтому она имеет либо конечный предел, либо стремится к +со.
Этот предел в этом случае н называется площадью, или мерой„открыл«ого множества 6 и обозначается глез 6 *>. «' От французского слова гоезцте — мера, размер. И.Л Определение меры (плаа1ада) аткрытьи множеств вдд 2. Если же существует такой номер т„что пл. з,=+ сс, то пл. в =+ со и для всех номеров т~тв. В этом случае положим гпезб =+ со. шезб = Нш пл.
в (6). !н оо (31.3) Такое определение меры открытого множества естественно, так как последовательность множеств з, т=О, 1, ..., исчерпывает открытое множество, т. е. иначе говоря, для любой точки Р ~ 6 существует такой многоугольник зы„ что Р ~вы,. Действительно, какова бы ни была р .пз точка Р ~ 6, в силу открытости множества 6 существует сферическая окрестность У(Р; е) с:. 6, е ~ О.
Заметив теперь, что диаметр квадрата ранга т равен К2/10"; выберем т, так, чтобы 1 е ( 10в" Р 2 (31.4) Для всякой точки плоскости существует по крайней мере один квадрат каждого ранга, содержащий эту точку. Пусть () квадрат ранга т„содержащий точку Р. В силу неравенства (31.4) бы,с:У(Р; е), значит, (),с:6 и, следовательно, 9„,с с в„„, но Р яЯоч, поэтому Р сне, (рис. 1!3). ( ) Если открытое множество 6 ограничено, то всегда шезб( < +со.
В самом деле, если 6 ограничено, то существует зам- Согласно определению предела последовательности элементов расширенной числовой прямой )с (см. п. 3.2) последовательность элементов а„п=1, 2, ..., принадлежащих расширенному множеству действительных чисел 4, таких, что начиная с некоторого номера они все равны +ж, имеет своим пределом +ос: 1пп а„=+ оо. Используя это понятие, оба рассмотренных выше л о случая можно объединить в один.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
