kudryavtsev1a (947413), страница 93
Текст из файла (страница 93)
28.3. ИНТКГРИРУКИОСТЬ ИУСОЧПО-НКПРКРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ Обобщим теперь теорему 3 предыдущего параграфа об интегрируемости непрерывных функций на так называемые кусочно- непрерывные функции. Определение 1. Функция 1, определенная на отрезке [а, Ь1, называется кусочно-непрерывной на нем, если сугцествует такое Разбиение т=(хг)';=о этого отРезка, что фУнкЦиЯ 1' непРеРывна на каждом интервале (хг „х;) и сугцествуюгп конечные пределы 1(хг г.+ О) = Нтп 1(х) и х-х, ге о [(хг — О)= Нщ 1(х), 1=1, 2..., й. к х,.— о Короче, функция кусочно-непрерывна на отрезке, если она имеет на нем только конечное число точек Рис. 108 разрыва и притом только первого рода (рис.
108). Лемма 1. Пусть функции 1" и цг определены на оогрезке [а, Ь1 и 1(х) =Ф(х) на инпгервале (а, Ь). Тогда если функция 1" интггегрируема на [а, Ь1, то и функция ср интегрируема на [а, Ь1 и ь ь ~ ср (х) г(х = ~ 1 (х) с(х. а а Иначе говоря, изменение значений функции на концах отрезка не влияет ни на интегрируемость функции, ни на значение интеграла, если функция интегрируема.
Аналогичное утверждение, конечно, 4Б4 у 28. Свойства интегрируемых функинй справедливо при изменении значений функции в любом конечном числе точек. Доказательство леммы. Функция Г интегрируема и, следовательно, ограничена: ~г(х) ~ М, для всех хан[а, Ь).
Пусть Ме=п!ах [М, <р(а), гр(Ь)). Рассмотрим какое-либо разбиение т = = (х!)[:о отрезка [а, Ь1 и составим интегральные суммы Римана ст,(г) и о,(гр), выбирая одни и те же -точки $! ен[х! „х!). Пусть, как всегда, Лхг=х! — х! „! =1, 2, ..., й. Поскольку 1((~!) Лх! ~ =-Маб„~~(~») бх» ~ ~ М,б„ !тра!) !-'! ~ Меб, и ~гр(Ь )Лх ! М„б„ то 11пт 1 (ч!) Лх! = 1(пт [($») Лх» = 1ип гр (в!) Лхг аа 1пп <р Я») Лх» = О. а о ьт в -о ь -о т Поэтому » » — 1 1пп а, (<р) = 1(пт,У', гр ($!) Лх! = )пп Я !р ($!) Лх! = ьт-о ь -о! ьт О!=а » — 1 » ь = 1!!и ~', [ Д!) Лх! = 1пп 'У', [($!) Лх! = [ [(х) !(х. ь о! ог=! а Следовательно, интеграл ) гр(х) г(х существует и равен ~~(х)г(х. [1 а а У и р а ж не н и е 1.
Доказать, что изменение значения функции в конечном числе точек не влияет ни на интегрируемость функции, ни на значение интеграла, если он существует. Теорема 2. Функция Г, кусочно-непрерывная на отрезке [а, Ь), интегрируема на нем. Доказательство. Пусть функция г кусочно-непрерывна на отрезке [а, Ь1 и т= [хг",;=в — его разбиение, указанное в определении 1. Положим г(х) при х;,«х! «хг, (г(х)= — [(х! т+О) при х=х; „ гх(х! — О) при х =хи На каждом из отрезков [х; „х;1 функция отличается от непрерывной функции 1!, быть может, только на концах этого отрезка.
Следовательно, по лемме, функция г интегрируема на [х! г, хг) и х! [(х) г(х = ~ ~! (х) г(х, ! = 1, 2, ..., й. "!-! 2ВА'. Интегральнме неравенство Гельдерн и Минковского ббб Применяя свойство 3' интегралов, получим, что функция Г интегрируема на отрезке 1а, Ь! и что ь а е! ~ 1(х) с(х = ~ ~ гг(х) с(х.
( ) (28.41) к. х. 1-1 Е-1 Замечание, В п. 44.5 будет доказано более общее достаточное условие интегрируемости (см. теорему 10 в п. 44.5 и замечание 2 в п. 44.7), из которого в частности следует, что всякая ограниченная па отрезке функция, непрерывная на ием всюду, кроме конечного числа точек, интегрируема.
Тем самым условие наличия у функции 1 только конечного числа точек разрыва первого рода не является существенным в теореме 2: они могут быть и второго рода — утверждение теоремы остается верным. 28.4». ИНТГГРАЛЫ4ЫВ НВРАВЕНСТВА ГЕЛЬДГьРАь' И МИНКОВСКОГО «*' Пусть функции ) и д определены и интегрируемы на отрезке [п, Ь], 1 =р -'+со, а число д определяется равенством -'-+ -'- =1 (см. (20.49), (20.51) и (20.52)).
Тогда имеетп (28.42) ь ~ /) (х)д(х) /с(х~ ~$ !)(х),'р !(х~ ~$ ~И(х),!ее(х~, (28.43) а а а (неравенство Гельдера) ! Ив !ь !па 1ь !!тр Г)Д(х)лоц(х)~нс(х~ и-=~~ !((х)!" с(х~ +~~~И(х)!Рс(х~, (28.44) а а а (неравенство Минковского). Докажем этн неравенства. Введем для краткости обозначения 1ь !па !ь !па Щр=" ~~ (~(х) )ее(х~, !!д Ц = — '- ~~!д(х) !е!(х~ . (28.45) а а В неравенстве (20.53) ар ьв аЬ ==. — + --, а =- О, Ь =- О, р ч "' О.
Л. Гель де р (!869 — !937) — немецкий математик *" Г. Минковский (!864 — !906! — родился н России, работал в Швейцарии и Германии. 4бй Э гВ. Свойства интегрируемых фунхиий положим о= —,', 6=,, хе=!а, Ь). 1 ( (х) ~ ~ д (х) ! ~Пр ' (а)» Тогда для любого х вн !а, Ь) ~~(х) ) /д(х) ~ 1 / 1(х) ~р 1 ~Л(х) Ьт Проинтегрировав это неравенство по отрезку (а, Ь] и использовав (28.45) и (28.42), найдем '1 )~(х)8(х) (с(х —. ()(а (й)е о ь ь 3 ~«)~.~+ — ! ~й'())'~ = — + — =~ 1 1' 1 ! ч(я)еа, Р Ч Поэтому ~ ( ~ (х) ст (х) ! с(х ( Ц (р(о. )4, а т, е. неравенство (28,44) доказано. Локажем неравенство (28.44).
Легко убедиться в справедли- вости неравенства ~~)(х)+д(х))ас(х=~ ~)(х)+д(х) ~~((х)+д(х)~р-'с(х~ ~ ~~г(х) ~~Р(х)+д(х) < -'с(х+$~8(х) ~ ~ ~(х)+8(х) ~ 'с(х. а а Применив к каждому из полученных интегралов неравенство Гельдера и заметив, что д(р — 1)=р (см. (28.42)), получим: ь 1 на (ь )ьч ~Лх)+а(х) "с( - ~М(х) ~" с(х~ ~~~ах)+8 (х) ~ "-' с(х~ + а 1оа (ь )на + ~~ ~ й(х),'ас(х~ ~~ ~ ~(х)+8(х) ~~(р-мс(х~ а а =((1)п и'и~ -';(1)е(атг*~ )~1)п н-е~ ~тг ~ .
ага!в> Если левая часть этого неравенства равна нулю, то неравенство (28.44) очевидно справедливо, если же она не равна нулю, то, сократив обе части неравенства (28.46) на множитель ! ь )на ~ ~ ~(х)+д(х) ~жс(х~, в силу соотношения (28 42), получим нера- венство Минковского. ( ) духи нвпрерьгвность интеграла по верхнему пределу еьх Отметим важный частный случай неравенства Гельдера. При р=о=2 имеем ь Гь т ь ~~~(х)д(х))г(х "-юг ~(~(х))г(хф~ ~)д(х);,'г(х. (28.47) а а а (неравенство Л оиги). 5 29. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ С ПКРКМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРКДКЛОМ 29Л. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ИНТЕГРАЛА ПО ВЕРХНЕМУ ПРЕДЕЛУ Пусть функция 1(х) она интегрируема и на интегрируема на отрезке (а, Ь1.
Тогда любом отрезке 1а, х)„где а(х~Ь, к Ь1 имеет смысл интеграл ~1(1) й. а т. е. для любого х ~ (а, Рассмотрим функцию х Е (х) = 1 Р (1) й. (29. 1) поэтому (рис. 109) Лр=р(к+ах) — Е(х) = к+кх 1(1) (Е (29.2) Рис. 109 к Поскольку функция 1 интегрируема на отрезке (а, Ь1 она ограничена на этом отрезке, т. е. существует такая постоянная М~О, что ~)(х) (~.Ч для всех х а (а, Ь~.
Применяя это нера- Эта функция Е определена на отрезке 1а, Ь1 и называется интеералом с ггеременным верхним ггределом, Установим ее основные свойства. Теорема 1. Если функция Г интегрируема на отрезке (а, Ь], то функция (29.1) непрерывна на этом отрезке. Доказательство, Пусть х он [а, Ь1, х+гьх ~(а, Ь). Тогда из формулы (29.1) следует, что х+ Ьх Е(х+Лх)= ~ Г(1)Й = к к+ Кх =1~(1)Ж+ 1 1(1)Ж=Е(х)+ а к х+Ьх + ~ г(1) 11 к овв у 29.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом венство для оценки выражения ЧАЕ), получим (см. п. 28.1) (к+Ох ~ х+Ох ~к — ,'Ох ~ьт)=) 1 пою(~( 1 ~ьр)~а(~( ) на(~и~к ~. к х х Отсюда следует, что Игп АР=О для любого х ~ [а, Ь), а это а о означает непрерывность функции г в каждой точке хан (а, Ь). 1 ) 29.2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ИНТЕГРАЛА ПО ВЕРХНЕМУ ПРЕДЕЛоть СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ У НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ Теорема 2. Если функция т" интегрируемо на отрезке (а, Ь) и к непРеРотвна в точке хаен(а, Ь), пю фУнкЦиЯ г (х) =)) (1) с(ь дифференцируема в точке х, и г (хо)=т'(хо) Доказательство. Покажем, что АР т (хо)» о-оА" где йг"=г (хо+Ах) — г(хо), хо+Ахеи(а, 61. Для этого оценим АР модуль разности — — ((хо).
к,+а» Заметив, что — ~ с(ь = 1, и следовательно 1(хо) = 1 х» х, -~- ах 1 т'(хо) с((, будем иметь Ах » х»+ Ох 1(1) й( Ак ((хо) ~ = ' „— ~(хо) х, хь+ ах «»+ок 1(1)йс ( 1(хо)й( «жа ° ь* — . 1 оо) — ь~.па~~ х» х»+ ок ~ )л,( ~ Л(() — ) (хо) ~с((. (2й.з) х» Пусть задано е ) О. В силу непрерывности функции ( в точке х, существует такое 6 = 6 (е), что если ~ х — хо ) ( 6 и х ~ 1а, Ь), то 1((х) — ('(хо)! =е (29.4) 29.2. Дифференпируеность интеграла. Существ.
аервообразной 4бу Выберем Лх так, что ~бх(6. Тогда для значений ! на отрезке, по которому ведется интегрирование, будем иметь ~ ! — х, ~ «=- -= ~ бх ~ ~ б и, следовательно, нз неравенств (29.3) и (29А), получим х,+ах %- ° ~=:. ~ ) ")= ар а это означает, что !пп — =7" (хо).
р ЛХ В случае, когда точка х„совпадает с одним из концов отрезка [а, Ь), под Е'(х,) следует подразумевать соответствующую одностороннюю производную функции Р(х). [") Теперь можно решить вопрос о существовании первообразной для произвольной непрерывной функции.
Теорема 3. Если функция интегрируема на отрезке и непрерЫвна в его внутренних точках, то на этом отрезке существует ее первообраэная. Следствие. Непрерывная на отрезке функция имеет первообраэную. д о к а з а т е л ь с т в о. Если функция 7 интегрируема на отрезке [а, Ь) и непрерывна на интервале (а, Ь), то согласно теоремам 1 и 2 ее первообразной на отрезке [а, Ь1 является, например, функция Е(х) =)) (!) д(, а х(Ь. а В самом деле, во всех внутренних точках х отрезка [а, Ь! т. е. в точках интервала (а, Ь), согласно теореме 2 функция Р дифференцируема и Р'(х)=7(х), а на концах отрезка [а, Ь! согласно теореме 1 функция Р непрерывна. Это и означает (см.
определение 1 в п. 22.1), что Р является первообразной для 7 на [а, Ь~. [ ) Покажем справедливость следствия: если функция непрерывна на некотором отрезке, то она, согласно теореме 3 п. 27.5, интегрнруема на нем и, следовательно, удовлетворяет условиям доказанной теоремы. [ ) Таким образом, операция интегрирования с переменным верхним пределом, примененная к непрерывной функции, приводит к первообразной функции, т. е. является операцнен, обратной дифференцированию х -й,—, ~1(Г)д!=[(х), а х-=.Ь.
(29.5) Это утверждение (называемое формулой дифференцирования определенного ингпеграла по верхнему пределу) является основополагающим для дифференциального н интегрального исчисления. Из него следует, в частности, что любая первообразная функции 470 д к9. Определенный интеграл с переменным верхним пределом 1(х), непрерывной на отрезке [а, Ь1, имеет вид к )((г)с(с+С, а=.-.х ~Ь. а Действительно, согласно доказанному функция Р (х) = ~ ((() с(с а является первообразной для функции ((х), а всякая другая ее первообразная может отличаться от Р(х) лишь на постоянную (см. п. 22.1). Таким образом установлена связь между неопределенным и определенным интегралами в виде к с)[ (х) с(х = ~ (' (() т(с -1- С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
