kudryavtsev1a (947413), страница 89
Текст из файла (страница 89)
С подобным обстоятельством мы уже встретились при рассмотрении интеграла от дифференциального бинома: в этом случае подынтегральная функция — элементарная (иррациональная), а интеграл от нее, как отмечалось, вычисляется далеко не всегда. Можно показать, что интегралы ~ — „а(х, ~ . ~„е(х, ~ — „дх (и — натуральное число) также не выражаются через элементарные функции.
Имеется ряд интегралов от элементарных функций, не выражающихся через элементарные функции и играющих большую роль как в самом математическом анализе, так и в его разнообразных приложениях. К таким интегралам относится, напри- 26.6. Замечания об интегралах мер, интеграл ~ е — к' т(х а также так называемые эллипптичггкие инп)егралы ~ й [х, 7 Р (х))т(х, где Р (х) — многочлен третьей или четвертой степени. В общем случае эти интегралы не выража!отея через элементарные функ- ции. Особенно часто встречаются интегралы и [ )г(1 — хе) (1 — йтхе) 3 )' (1 — хе) (! — йе-е) 0<1<1, которые подстановкой х=з(пер приводятся к линейным комби- нациям интегралов ° [ тт=е ° ю ет; они называются соответственно эллиптическими интегралами пер- вого и впюраго рода в форме Лежандра "'.
У и р а ж н е н и я. Вмчислкть интегралы. 1. ) )х!'а'х. 2х'-1- хе -1-5х -1-! 2. ) (2х — 5)тих. ,) (хе-сз) (х' — х+1) !8. Г 3. [Мп'хвх. .с 4. ~ (2хе — Зх+ — ~ ~1х. 1! 4ха — 8х Г асссоех (' хт ах 2О. ([ —.—. ,т! хтс+! ' )' 1 — хе 6, ) хе Гч 2Ы вЂ” 1 с(х.
с с е' с(х ' .! соя х +, . с!х. ) х (1+ тех) 8. ) с(и х с(х. с(х 23, 9, ) хе "а'х. 3 ф (2+х) (2 — х)ь 10. [ !их с(х. [ 1 — )' 1+х+хе 24. ( ' — с!х. 11. [ атс!их с(х. х )' 1+х+.с' 25. ) т'х(! — хе) с!.т. )З. [Рт,а+Зле, 25[(+ ) 1' — хе+ Зх — 2 14. ) )' хе — 1 ах. 15. ',) ( — 1)а )' '+ 2 +4' х' (х — !) (х ! 1)с 29. [ а!п'хе)х. '~ А. Лежандр (1752 — 1833)-французский математик. 6 27, Определенный интеграл 36.
яи х — 2 сь х' 37, ~ хз! пз х йх. 38. )хе" яю хах. 39 (1+х ) дх 40. ипя х+ сояя х Г я1пз х ЗО. ~ — дх. З сонях ЗЗ. ) я1п Зхсоз5х дх. 34, ) ятссоязх йх. 35. )хе ется!азх их. й 27. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 27Л. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО РИМАНУ Напомним (см. и. 16.5), что разбиением т отрезка (а, Ь|называется любая конечная система его точек хо 1=0, 1, 2, ..., я, такая, что а=х, -х,(...(хз т(хя=Ь. При этом пишется т=(х;)',.=яо. Каждый нз отрезков (хт т, хт1, 1= 1, 2, ..., lг, называется отрезком разбиения т, его длина обозначается через Ахь Ахя =-хг — хг и 1=1, 2, ..., й. Величину б, = гпах Ахя я=и 2, ...,я назовем мелкостью разбиения т.
Разбиение т' отрезка 1а, Ь1 называется следующим за разбиением т (или продолжающим разбиение т) того же отрезка, а также вписанным в разбиение т, если каждая точка разбиения т является и точкой разбиения т', иначе говоря, если каждый отрезок разбиения т' содержится в некотором отрезке разбиения т (говорят еще, что т' — измельчение разбиения т). В этом случае пишут т'Ь- т, или, что тоже, т -~т'. Совокупность всех разбиений данного отрезка обладает следующими свойствами.
1 ° Если тт ~тз, а тз -~тз то т, -~ге. 2'. Для любых т, и т, существует такое т, что т(- т, и т1-тя В самом деле, первое свойство следует просто из того, что в силу условия туг- т, каждый отрезок разбиения т, содержится в некотором отрезке разбиения т,, который в свою очередь, согласно условию тя1- т„содержится в каком-то отрезке разбиения т,', таким образом, всякий отрезок разбиения тя лежит на определенном отрезке разбиения т,, а это и означает, что тяЬ вЂ” т,. Для доказательства второго свойства разбиений заметим лишь, что если заданы два разбиения т, и т„то разбиение т, состоя- 27.Б Определение интеграла но Риману щее из всех точек, входящих как в разбиение т„так н в разбиение т„ очевидно, будет следовать за т, и за т,.
Пусть теперь на отрезке (а, Ь) определена функция 7' и пусть (=а т = (х();= а — некоторое разбиение этого отрезка, Лх(=-х( — х( „(=1, 2, ..., /г, а ᫠— мелкость этого разбиения. Зафиксируем произвольным образом точки $( ея "(х( „х(1, 1=1, 2, ..., й, и составим сумму о(()' и "' ~»)=Х1й~б- (=) СУммы виДа от(1; $„..., а») называютсЯ интегРальными сУммами Римана *) функции (' (рис. 101). Иногда для краткости мы будем их осозначать через о,(7), ((т (ь(, . 6») илн даже про то через о;.
Геометрически в случае, когда функция 7 неотрицательна (рис. 101) каждое слагаемое интегральной суммы Римана о, равно площади прямоугольника с основанием длины Лх( и с высотой 7" Я(). Вся же сумма о, равна площади «ступенчатой фигуры», получающейся объединением всех указанных прямоугольников. Определение 1. Функция 1' называет- , )О( ся интегрируемой (по Риману) на отрезке (а, ()1, если существует такое число А, что для любой последовательности разбиений отрезка 1а, ()1 т (х(лц(= л и=1 2 л у которой 1пп б,а =О, и для любого выбора точек аь(л) е= «1х)л) х(л)~ ('= 1, 2 ° " лилю и = 1 2 существует предел последовательности интегральных сумм о; (7; $),"), ..., $а")) и он равен А: ал ! пп " , '7" ®")) Лх(л' = А, (27,1) где Лх( =х( — х( (', (=1, 2, ..., й„; и=1, 2, (л) (л) (л) "' Б.
Р и м а и (1826 — 1866) — немецкий математик. у 27. Определенный интеграл При выполнении этих условий число А называется (римановым) определенным интегралом функции 7' на отрезке !а, Ь'1 и обоэнаь чается через г) )'(х) йх. а Выражение ~ 7" (х) йх читается «интеграл от а до Ь 7" (х) йх; х на« зывается переменной интегрирования, 7" — подынтагральной функ- цией, а — нижним, а Ь вЂ” верхним пределом интеграла; отрезок !а, Ь| называется промежутком интегрирования. Таким образом, ')7(х) йх= 1!гп о, (7; $',"з, . „, бь"!), где последовательность т„ такая, что !пп б, = О. а аа Для краткости записи будем в этом случае просто писать ь ~!(х) йх=!пп о,()).
а о,-о Подобно тому как определение предела функции можно сформулировать двумя эквивалентными способами с помощью пределов последовательностей и с помощью «(в — 6)-языка», так и определение интеграла можно сформулировать иначе. Овределение 2. Чис,го А называется определенным интегралом функции 7" на отрезке !а, Ь1, если для любого е)0 существуегл такое 6=6(е)~0, что каково бы ни было разбиение т=(х!),':=ее отрезка !а, Ь), мелкость которого меныие 6: б,~б, и каковы бы ни были оючки яг ен[х! „х!), выполняется неравенство ~, 7'(С!) Лх! — А (в, !=! Лхг = х! — х! „ ! = 1, 2, ..., й, Уп р аж не н не 1, Доказать, что два данных выше определения опры деленного интеграла эквивалентны. Из определения 1 следует, что для неотрицательных функций определенный интеграл )7(х) г(х является пределом, при 6,— »О, а последовательности площадей соответствующих ступенчатых фигур; поэтому он, естественно, оказывается связанным с понятием площади, а именно он равен площади фигуры "! (называемой "' Привычный из элементарной геометрии термин «фигура» употребляется здесь всюду в смысле «плоское множество».
лгд. Определение интеграла по Роману «криволннейной трапецией»), границей которой является график функции ~, отрезок [а, Ь) оси х-ов и, быть может, отрезки прямых х=а и х=Ь, ординаты точек которых меняются соответственно от нуля до 1(а) и до 1'(Ь) (рис. 102). Лля того чтобы это доказать, надо прежде всего уточнить само понятие площади рассматриваемых фигур. Все это будет сделано ниже, в з 31. Заметим, что введенное здесь понятие предела интегральных сумм Римана является новым понятием, не укладывающимся ни в понятие предела последовательности, нн в понятие предела функции. В дальнейшем придется использовать аналогичное понятие предела не только для интегральных сумм Римана, но и для других объектов. Поэтому сформулируем общее определение предела этого вида.
Определение 3. Рассмотрим множество ч. = (т) всех разбиений отрезка [а, Ь'1. Пусть на зпюм множестве определена числовая, вооби1е говоря, многозначная функция Ф (т), т еи ч.. Будем говорить, что функция Ф(т) при 6,— +-0 имеет предел„равный А, и будем писать 1|п1 Ф(т) = А, ь,-о Рис. 102 если для любой последовательности разбиений т„~ ч., и = 1, 2, ..., такой, что 1пп б, =О, при любом выборе значений Ф(т„) числовая последовательность Ф(тн) сходится к числу А, т.
е. Игп Ф(гн)= А. и аи Это понятие предела определено с помощью понятия предела последовательности, поэтому для него оказываются справедливыми многие свойства, аналогичные соответствующим свойствам предела последовательности. С соответствующими примерами мы встретимся в дальнейшем. Как и в случае предела интегральных сумм Римана, понятие этогб предела можно сформулировать иа «(е — б)-языке», что предоставляется читателю.
Заметим в заключение, что многозначность фуш)ции Ф, о которой идет речь в определекпн 3 в случае интегральных сумм Римана, связана с различным способом выбора тсчек $; еи[х; и х1, 1=1, 2, ..., й. Э 27. Определенный интеграл 27.2. ОГРАНИЧЕННОСТЬ ИНТЕГРИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ Установим прежде всего необходимое условие, которому удовлетворяют интегрируемые функции — их ограниченность. Теорема 1. Если финкцил интегрируема на некотором отрезке, то она ограничена на этом отрезке. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть функция Г не ограничена на отрезке [а, Ь] и пусть фиксировано некоторое разбпение т= =[х „'=ао этого отрезка. В силу неограниченности функции Г на всем отрезке [а, Ь] она не ограничена по крайней мере на одном отрезке разбиения т. Пусть для определенности функция ) не ограничена на отрезке [хсо хт]. Тогда на этом отрезке существует последовательность йг1"' ~ [хе, х,], а=1, 2, ..., такая, чточ' 1! ш ) [й[ ~) = со. (27,2) Зафнкснруем теперь каким-либо образом точки $; ~ [х; м хг], 1=2, 3, ..., й. Тогда сумма ~ )(рг)Лхг г=ч будет иметь вполне определенное значение.
Поэтому в силу (27.2) !пи а„(); $["[, Р„..., са)=!пи~~®"!)Лхт+~~~)Яг)Лхг =оо л со со С г=в и, значит, каково бы ни было число М з. О, всегда можно подобрать такой номер и„ что если на первом отрезке [хе, хт] взять точку с)"', то ~о,([; Ц",$„..., 2ь).;')М. Отсюда следует, что суммы о, не могут стремиться ни к какому конечному пределу при б,-+.О. Действительно, если бы существовал конечный предел Вгп о,= е;о =А, то для любого в- О нашлось бы такое Ь,~О, что для всех разбиений т=[х,!';::," отрезка [а, Ь] мелкости б, с б, при любом выборе точек $; ей [хе „хг], а=1, 2, ..., а, выполнялось бы неравенство [о,— А!(и и, следовательно, ™ !а,[=[(бт — А)+А[([п,— А;+! А [(и+! А!. *' действительно, в силу неограниченности функции г на отрезке [ха, хг[, например для любого натурального л=[, 2, ..., существует такая точка 2[ю т [ха, хй, что ~ [(Ц) ~ ) и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
