kudryavtsev1a (947413), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Выберем теперь число А таким образом, чтобы число а было корнем многочлена Р (х) — Аее»т(х) и, следовательно, чащобы этог миогочлен делился на. х — а. Иначе говоря, определим А из словия У Р (а) — АЯ» (а) = О; поскольку, по условию, (сх (а) Ф О, то отсюда А = —. При таком Р (а) Я,(а)' выборе А второе слагаемое правой части в формуле (23.25) можно сократить на х — а, в результате получим дробь вида Р; (х) (х — а)н-х яе (х)' Поскольку она получена сокращением правильной рациональной дроби с действительными коэффициентами на множитель х — а, 40В,В гв.
Некоторые сведения о комплексных числах и мноеочленах где а действительно, то и сама она является также правильной рациональной дробью с действительными коэффициентами. П Лемма 2. Пусть — — правильная рациональная дробь. Если Р (х) Ю (х) комплексное число г,=а+Ы (а и Ь действительны, ЬФО) является корнем кратности р=-1 многочгена (Е'(х), т.
е. я (х) = (х'+ рх+ г))а (~г (х), где (',)г(г,) ФО, а х'+рх-)-д=(х — г,) (х — гг), то суи(ествугот дей- ствите гьные числа М, У и многочлен Р (х) с действительными коэффициенпгами такие, что Р (л) Мх+ Н Р, (х) О(х) (хе+ рх+д)а (хг+ рх+д) '(),(х) ' где дробь, „( также является правильной. Р, (х) (хг+Рх+д(ч гЯг (х) Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любых действительных М и гт' имеем Р (х) Р (х) О(х) (х'+рх+д)айаг(х) Мх+Н ) Р(х) Мх+Н (хе+ рх+ д) р ) (хе+ рх+ д) а ссг (х) (хе+ рх+ д)а ~ Мх-гн Р (х) — (Мх+Н) Нг(х) (23 2б) (хе+ рх+ д)а (хг+ рх+ д)а 9г (х) причем второе слагаемое правой части равенства (23.26) является, как нетрудно видеть, правильной дробью.
Постараемся теперь подобрать М и Лг так, чтобы числитель этой дроби делился на х'+ рх+ у =- (х — г,) (х — гг). Для это~о достаточно выбрать М и У так, чтобы г, было корнем много- члена Р(х) — (Мх+У)(ег(х). Действительно, тогда, согласно ска- занному в и. 23.3, число г„сопряженное с г„также будет являться корнем указанного многочлена.
Отсюда и следует, что этот многочлен в силу существования его разложения вида (23.10) делится на хя+рх+с). Итак, пусть Р (г,) — (Мг, + У) Яг (г,) = О. (23.27) Если это имеет место, то Мгг+ У =, , где, по условию, Р (гд ()г (г,)' !',(г (г,) =ф О. Пусть г,==а+Ы, Р(гг)Я(гг) =А+ВО тогда А + гВ = Мг, + й( = М (а+ Ы) + Ф. Отсюда, приравнивая действительные и мнимые части, получим уравнения Ма+У=А и МЬ=В и следовательно, ь и У=А †-(,-В. ха.б. Раалохт.
правильных рацион. дробей на элементарные ВОЗ При этих значениях М и УУ многочлен Р (х) — (Мх+ У) (;)1 (х) будет делиться на многочлен х'+ рх+>у. Сокрагцая второе ела. гаемое правой части равенства (23.26) на хэ+рх+д, получим дрсбь вида Р, (х) (хэ+рх+В)а г гу,(х) Поскольку она получена сокращением правильной рациональной дроби с действительными коэффициентами на многочлен с действительнымн коэффициентами, то и сама она является также правильной рациональной дробью с действительными коэффициентами.
( ) Сформулируем теперь основную теорему этого пункта. Теорема 1. Пусть Р (х)У( > (х) — >1угави,гьная рациональная дробь* ), Р (х) и () (х) — мнсгочлены с дейсгпвительнылги коэц)фиг(иентахиг. Еслгг (г (х) = (х — а,) 1 ... (х — а,)" (х' + р,х + уг)а ... ... (хэ + р,х + гу,)"э, (23.29) где аг — попарно различные действительные корни многочлена (г(х) кратности аг, (=1, 2, ..., г, а х'+рух+гу; =(х — гг)(х — гу), где гу и гу — попарно различные при разных у суи(еспгвенно комплексные корни многочлена (г(х) кратности ру, 1= 1, 2,, в, пго суи(ествуюгп дейсгпвительные чис,га А';">, 1=.. 1, 2, ..., г, а = = 1, 2, ..., аг, М(") и УУ;, у =- 1, 2, ..., в, р = 1, 2, ..., ()г, такие, чпго Р (х) (н) д(г> ! лгх,) 1 Я (х) (х я )и (х а у** - ' + ' ' ' + + ' ' ' + Л 1'> Л 1 > Л(".) + '.
+ '.,+" + — '+ (х — и ) " (х — а„) ' х — а, мг>> +ун> мгг) +урга> унга')х + Л'1"'> (ха+ Р х+Ч,) 1 (хэ+Ргх+дг) э хе-)-Ргх->-Чг мг))я+ но) уигг)к+у)э) лг(а )х+уу(еэ) + а + '„,, +...+ ' ' . (23.30) (х + рэх+Чг) (х-+рэх+Вэ) хз+ ргх+Вэ эг Ееа ограничения общности можно считать, что коэффициент у старшеге члена многочлена гг(х) равен единице, так как в случае, когда ои равен какому-то другому числу (отличному от нуля), можно разделить числитель и знаменатель дроби Р (х)У(У(х) на это число, после чего у получившегося в знаменателе многочлена коэффициент у старшего члена окажется равным единице. ИО Э хе. Некоторые сееденин о комплексных числах и многочленах До к аз ате льство.. Из. разложения (23.29) имеем: (е (х) = (х — и,)" Я,' (х) Здесь (), (х) = (х — а,)"г ...
(х — пг)"г (хх+ р,х+ д,)ас... (хе+ ргх+ уг)зе и, следовательно, (~,(п,) ~0, пеэтему, согласно лемме 1, Р (х) А',о Рд (х) 0'( ) ( — )'" ( —,)"' ' 0,( ) Применяя в случае а,) 1 подобным образом ту же лемму Р, (х) к рациональной дроби '(, , получим (х — а)а' 0с (х) О (х) (х — ах)"' (х — ад~' ' (х — ас)чн гЦе (х) Продолжая этот процесс дальше, пока показатель степени у сомножителя хг — п не станет равным нулю, а затем поступая аналогичным образом~от~осительно множителей х — ап (= 2, ..., г, будем иметь и( ) Аги А( ~ Алла 0(х) (х — а )а' (х — ада' ' х — а„+' ' '+ Ап> Аич (( г) г + + г +Р*(х) (х — а,) "» (х — аг) х — а, ол (х) где „ †сно правильная рациональная дробь, причем Р*(х) 0* (х) и яч (х) суть многочлены с действительными коэффициентами и многочлен ()*(х) не имеет действительных корней, Применяя последовательно лемму 2 к дроби Р*(хЩ*(х) и к получающимся при этом выражениям, в результате получим формулу (23.30).
~ Рациональные дроби вида А Мк+М (х — а)а' (мч+ рх+д)а рх где и, р, дп Л, М к)ч' — действительные числа и — — д(0 (корни зреяч чена хх+рх+д существенна комплексные), называются зжментпрнылеи рацшныльными дробями. Таким образом, доказанная теорема утверждает, что есякпя п)чпеильнлся рпцлланальнпя дробь можегн быть разложена е сумму элементарных рациональных дробей. Ири выполнении разложения.нкдк(23.30) для конкретно заданннчь дроби обычно еиааыиаетая учебным- так называемый метод 23.6.
Раэлоэх. арааалэных рш)нон. тэ)набей на элементарные Ит' неопределенных коэффициентов. Он состоит в следующем. Для данной дроби Р(хЩ(х) пишется разложение (23,30), в котором коэффициенты А!"', М!."', Ф!1а! считаются неизвестными (! = 1, 2, ..., т, и = 1, 2, , и!, / = 1, 2, ..., е, ($ = 1, 2, ..., ()1).
После этого обе части равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты. При этом если степень многочлена 9(х) равна и, то, вообще говоря, в числителе правой части равенства (23.30) после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени и — 1, т. е. многочлен с и коэффициентами, число же неизвестных Ат!"', М,'"', Ут!"' также равняется н (см.
(23.10)): Г 5 ,), и;+ 2 ~Ч ', (12 = и. т= 1 /= 1 Таким образом, мы получаем систему и уравнений с п неизвестными. Существование у нее решения вытекает из доказанной теоремы. Отметим, что после приведения выражения (23.30) к общему знаменателю и его отбрасывания, в случае когда Я(х) имеет действительные корни, целесообразно подставить в обе части получившегося равенства последовательно эти корни, в результате получаются некоторые соотношения между искомыми коэффициентами, полезные для их окончательного определения. Примеры. 1.
Разложим дробь х1((х' — 1)(х — 2)) на элементарные дроби. Согласно (22.30), искомое разложение имеет внд х А + В + С (х' — 1) (х — 2) х — 1 х+ 1 х — 2 Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, получим х = А (х+ 1) (х — 2) + В (х — 1) (х — 2) + С (х — 1) (х+ 1). (23. 31) Мы имеем случай, когда все корни знаменателя действительны. Полагая в равенстве (23.31), согласно сказанному выше, последовательно х=1, х= — 1 и х=2, находим — 1=6В, 2=3С, 1= — 2А, откуда А= — 2, В= — —, С= 1 ! 2 6' 3' Таким образом, искомое разложение будет (Х! — 1) (х — 2) 2(х — 1) 6 (х+1) 3 (х — 2)' — + . 123.32) р 34.
Интегрирование рациональных дробей хт — ! 2. Найдем разложение на элементарные дроби для,+! т х (х'+ 1)т Общий вид разложения в этом случае х- — 1 А Вх-,'-С Ох -~-Е х (хе + !)л х (хт -т 1)е х' + 1 Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, имеем х' — 1 = А (х'+ 1)а+ (Вх+ С) х+ (0х+ Е) (хе+ 1) х. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х: — 1 = л1, О = С г- Е, 1 = 2А '- В+ О, О = Е, О = А + В, отсюда находим А= — 1, В=2, С=О, П=!, Е=О, и, поэтому, искомое разложение имеет вид .т' — 1 1 2х х ,, = — -+ —..— + —. в (хт+!)г х (хл+ 1)' х'+ 1 Следует заметить, что в отдельных случаях разложение на элементарные дроби можно получить быстрее и проще, не прибегая к методу неопределенных коэффициентов, а действуя каким- либо другим путем.
Например, для разложения дроби 1 хз (1+ хт) т на сумму элементарных проще всего дважды прибавить и вычесть в числителе хв и произвести деление так, как это указано ниже: 1 (1+хе) — хт 1 1 хт (1+,те)л хл (1+лллл лт (1+ тл) (1+ тт)т (!+хе) — хл 1 1 1 1 лл(1 1-х) (1-(-хтр хл !+хт (1-(-хл)т ' Полученное в результате разложение и является разложением данной дроби на сумму элементарных дробей. У и р а жи си ие 3. Доказать, что разложение вида (23.30) правильной рациональной дроби единственно. $24. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕН 24Л. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ В этом и следующем параграфах будут рассмотрены методы интегрирования некоторых классов элементарных функций.
При этом каждый раз, не оговаривая этого специально, будем предполагать, что речь идет о вычислении интеграла на некотором 24И. Интегрирование элементарных рациональных дробей 4)в промежутке, во всех точках которого определена подынтеграль- ная элементарная функция (иначе говоря, на котором формула, задающая подынтегральную функцшо, имеет смысл, см. об этом в и. 4.3). В предыдущем параграфе показано, что всякая рациональная дробь представима в виде суммы многочлена и элементарных рациональных дробей (см. (23. 24) и (23.
30)). Интеграл от многоч лен а вычисляется, и притом очень просто (см. п. 22,2). Рассмотрим вопрос об интегрировании элементарных рациональных дробей. Сначала рассмотрим вычисление интегралов от дробей вида А а=1, 2,..., Если а=1, то (см. формулу 2 в п. 22.2) А — е!х = А1п,'х — а)-(-С, (24.1) а если а~1, то (см. формулу 1 в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
