kudryavtsev1a (947413), страница 79
Текст из файла (страница 79)
1. Найти частные производные первого порядка фуикх ции г=1п 1я ° у 2. Найгн полный дифференциал функции и=еле. 3. Найти псе частные производные второго порядка функции я =к 3!и (х+у)+усов (х+у). 4. Найти дзг, если г=--!п (хе+у ). 1 у 5. Найти производные первых двух порядков от функции и=/(и, о) где и=ха+уз о=ху. ГЛАВА ТРЕТЬЯ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПКРКМЕННОЙ $22. ОНРЕДКЛЕНИЕ И СВОЙСТВА НЕОПРЕДКЛЕННОГО ИНТЕ ГРАЛА 22Д. ПКРБООБРАЗНАЯ И НКОПРЕДКЛКННЫИ ИНТЕГРАЛ В этом параграфе рассматривается задача отыскания функции, для которой заданная функция является производной.
Определение 1. Пусть функция )' определена на некотором конечном или бесконечном промежутке А числовой оси л(, т. е. на интервале, полуинтервале или отрезке*'. Функция Р, определенная на ртом же промежутке, называется первообразной функцией (или просто персообразной) функции 1' на А, если 1) функция Р непрерывна на пром жутке А; 2) во всех внутренних точках х промежутка А функция г имеет производную и г"'(х) =1'(х). Иногда вместо «первообразная данной функции» говорят «первообразная для данной функцииж Таким образом, если а — конец промежутка А и а ее А, то в точке а первообразная с обязательно непрерывна, При х = а она может иметь или не иметь одностороннюю производную, которая, если она существует, может и не совпадать со значением функции ) в точке а.
Пример. Пусть 1 при О =х==1, 1(х) = О при х= О. Тогда функция Р (х) = х, О ==. х =- 1, является лервообразной для 1, так как оба условия определения 1 очевидно выполняются, Отметим, что функция г (х) =х, О ==х«=!, является и первообразной для функции )т(х) =1, О==х(1. На этом примере видно, что одна и та же функция может быть первообразной для разных функций, однако они могут отли- "' Если рассматриваемый иромежуток является отрезком, то само собой разумеется, что ои может быть только коиечиыы. 22лп Первообразнан и неопределенный интеграл г79 чаться друг от друга только на концах промежутка Л, так как во всех внутренних точках в силу условия 2) определении 1 указанные функции совпадают. Очевидно, что если Р— первообразная функции ) на промежутке Л, т.
е. функция Р непрерывна на Л и во всех внутренних точках х промежутка Л выполняется условие Р'(х)=7(х), то для любой постоянной С функция Р(х)+С также непрерывна на Л и во внутренних точках х имеем [Р (х) + С)' = Р' (х) + С' = 7 (х), т, е. функция Р(х)+С тоже является первообразной функции 7 на Л. С другой стороны, в силу следствия 2 теоремы 3 п. 11.2, если Р и Ф -две первообразные для функции 1 на Л, т. е. если Р и Ф вЂ” непрерывны на Л и во всех внутренних точках х промежутка Л выполняются равенства Р' (х) =) (х), Ф' (х) =с (х), н, следовательно„ [Р (х) — Ф (х)1' = О, то рассматриваемые первообразные отличаются на Л на некоторую постоянную С: Ф(х) =Р(х)+С, хе= Л. (22.1) Итак, если функция Р является какой-либо первообразной функции 7 на промежутке Л, то всякая функция Ф вида (22,1) также является первообразнои функции 7, и всякая первообразная функции ) представима в виде Р(х)+С. Определение 2.
Совокупность всек первпобразнык функции спределеннык на некотором промежутке Л, назьсвается неопределенным интегралом от функции С' на этол промежутке и обозначается через ~7'(х) с1х. Символ [ называется знаколс интеграла, 1(х) — подынтегральной функцией.
Если Р— какая-либо первообразная функции 7 на Е, то пишут ~7" (х) дх= Р(х)+С, (22.3) хотя было бы правильнее писать ~ 7 (х) дх = [Р (х) + С[. (22. 4) Мы, как обычно принято, будем употреблять запись (22.3). Тем самым один и тот же символ )7(х) дх будет обозначать как всю совокупность первообразных функции 7", так и любой элемент этого множества, т. е.
какую-то первообразную функции 1. ввв у га Определение и свопства неопределенного интегрпла Следует, однако, иметь в виду, что всяког равенство, в обеих частях которого сгноят неопределеннепе интегралы, есть равенство между множествами. Под знаком интеграла пишут для удобства не саму функцию), а ее произведение на дифференциал г(х. Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется пер- вообразная. Например, хгг е хгг дх = —. +С, ~ х'г дг = — -+ С; й здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна х'г, но ее неопределенные интегралы в рассмотренных случаях оказы- ваются различными; в первом случае она рассматривается как функция от переменной х во втором — как функция от г. Другие удобства, вытекающие из употребления записи ~) (») г(», будут указаны в дальнейшем (см.
замену переменного в инте- грале, п. 22.3). Если Р— первообразная функции г на промежутке Л, то со- гласно определению 2 в формуле (22.2) под знаком интеграла стоит дифференциал функции Р во внутренних точках проме- жутка Л: дР (х) = Р' (.») дх = 1 (х) дх. Будем считать по определению, что этот дифференциал под знаком интеграла можно записывать в любом из указанных видов, т. е. согласно этому соглашению ~ )' (х) дх = ~ Р' (») с(х = ~ дР (х). (22.5) Основные свойства неопределенного интеграла Будем предполагать, что все рассматриваемые функции определены на одном н том же конечном или бесконечном промежутке Л. 1'.
Пусть функиич Р непрерывна на промежутке Л и диффсргнг(ируема в его внупсренних точках; пюгда ~ дР(х) =Р(х)+С, пли, что пго же (см. (22.5)): ~Р'(х) с(х=Р(х)+С. Справедливость этого равенства вытекает из определения неопределенного интеграла как совокупности всех функций, непрерывных на данном промежутке Л, дифференциал которых (во внутренних точках х е: — Л) стоит под знаком интеграла (см. (22.5)), и общего вида (22.1) всех первообразных данной функции. 22.1. Первообравная а неонределенньга интеграл 2'. )7усть функция р' имеет первообразную на промежутке Л; тоеда для любой внупгренней точки промежутка Л имеет места равенство г(~7" (х) дх =р(х) йх.
В данной формуле под интегралом ))(х)ггх понимается любая первообразная Р функции р. Справедливость этой формулы очевидна в силу определения -первообразной. 3'. Если функции )г и )я имеют гмрвообразные на Л, то и функция )г+)я также имеет первообразную на Л, причем ~ (7г (х) + (я (х)1 г(х = ~ )г (х) с(х+ ~ 7я (х) дх. (22.б) Это равенство выражает собой совпадение двух множеств функций н означает, что сумма каких-либо первообразных для функций )г и ~я является первообразной для функции рг+)я и что наоборот, всякая первообразная для функции рг+ря является суммой некоторых первообразных для функций рг н ря.
Свойство интеграла, выражаемое формулой (22.б) называется аддитивностыо интеграла относительно функций. Пусть )рг(х)с(х=рг(х)+С„)ря(х)ггх=ря(х)+С„и, следовательно, функции Р, и Р, непрерывны на промежутке Л и во всех его внутренних точках х справедливы равенства Р', (х) = рг (х), Ря(х) =)я(х). Положим Р=Р,+Рть Тогда функция Р непрерывна на промежутке Л, как сумма непрерывных функций Р, и Р, и для любой внутренней точки х промежутка Л Р'(х)=(Рг(х)+Р,(х))'=Р,'(х)+Р.;(х) =)г(х)+ря(х).
Это означает, что Р является первообразной для функции )г+)я на Л, а поэтому ~ [г г (х) + г'е (х)) йх = Р (х) + С = Р, (х) + Р, (х) + С. Таким образом, левая часть формулы (22.6) состоит из функций вида Р,(х)+Ря(х)+С, правая — нз функций вида Р,(х)+ -г-С,+Р,(х)+С,. Ввиду произвольности постоянных С, С, и С, эти совокупности совпадают. 4'. Если функция ) имеет пеовооброзную на промежутке Л и я — число, то функция ггр' также имеет на Л первооброзную, причем при А~ О справедливо равенство ~ йр(х) г(х=й ~р(х) г(х. (22.7) Действительно, пусть ~р(х) г(х= Р(х)+С, т. е.
Р— непрерывна на Л и во внутренних точках х промежутка Л выполняется условие Р'(х) =~(х). ТогдафункциянР также непрерывна на этом 282 б 22. Определение о свойство неопределенного интеграле промежутке и в его внутренних точках х имеет место равенство РгР(хН'=(гР'(х)=йу" (х).
Это означает, что функция ФР является первообразной для Ф(, а поэтому ) иу(х) с(х=)гР(х)+Се Таким образом левая часть формулы (22.7) представляет собой совокупность функций вида яР(х)+С,, а правая состоит из функций вида й'1Р (х)+С) = ггР (х)+ йС. Ввиду произвольности постоянных С и С, при условии 24=0 обе совокупности совпадают. Вопрос о существовании первообразной будет изучаться несколько позже (см. и. 29.2), а теперь рассмотрим простейшие методы вычисления первообразных для элементарных функций. У яр а мнение 1.
Доказать, что для функции Мин х не существует такой функции Г, что для всех х ы 22 выполнялось бы равенство Р' (х) =Мйц к. 22.2. ТАБЛИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Операция нахсждения неопределенного интеграла от данной функции, называемая интегрированием, является действием, обратным дифференцированию, т. е. операции нахождения по данной функции ее производной (см.
свойства 1 и 2 неопределенного интеграла в п. 22.1). Поэтому всякая формула, выражающая производную той или иной функпии, т. е. формула вида Р'(х) = = у (х), может быть обращена (записана в виде интегралшюй формулы): ') р(х) с(х= Р(х)+С. Используя это соображение, напишем таблицу значений ряда неопределенных интегралов, получающуюся непосредственно из соответствующей таблицы производных элементарных функций (см. 2 9) хоз з 1, ~х" с(х= +С, х)0, аФ вЂ” 1. х+1 Если число сс таково, что степень х" имеет смысл и для всех х=-О, то формула 1 справедлива на любом промежутке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
