kudryavtsev1a (947413), страница 74
Текст из файла (страница 74)
( у Аналогично, если в точке (иа, о,) существуют частные производные и, то у сложной функции а==у(х(и, о), у(и, о)) дх ду ди' слществует в точке (иа, о,) частная производная по о и для нее справедлива формула дг дг дх дг ду до дхдо+ оудо' ду '~~ дг, дхг дб ~мдх; оц' г=о (20.2бу Заметим, что если прн сделанных предположениях частные ду дхг производные - — и — ', г'= 1, 2, ..., и, у =-1, 2, ..., п, непрерывны дх; дгу ' соответственно в точках х'"г и Угаг, то в силу формулы (20.25) частные производные сложной функции у=-у(х(у)) также будут гх Куараанеа Л. д.
е. г Рассмотрим общий п-мерный случай. Луусть в акре "тноети точки х'а'=(х,", ..., х'„"') задана функция у=у(хг, .', х„), а на некотором множесгпсе Егс: геа — функции х; =хе(У„..., Уа), = 1, 2, ..., и, пюкие, что х;(У',а', ..., Уге)=хг"'.
Если функция у = у(х) =- у (х,„..., ха) дифференцируема в точке л'м и если в гпочке Уои =-(У,", ..., Уха') сугцествуюпг частные производньи дгг ' у= 1, 2, ..., й, г = 1, 2, ..., и, то слохсная фггнкцая у(х(У)1 и,я ет в тонко уг'г частные производные —, у'=1, 2, ..., й, причем ду дуг ' Ит У 20. Частные производные. Дифференцируемость непрерывными в точке йв>, и, следовательно, она будет дифференцируемой в этой точке (см. теорему 3 п. 20.2). В следующем пункте будет доказана дифференцируемость композиций функций при более слабых предположениях.
20.4. ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ВЫБОРА ПЕРЕМЕННЫХ. ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ Теорема 6. Пусп!ь функция 7'(х), х=(х„..., хл), определена в некоторой окрестности точки х!'!=(х!", ..., х„'"'), а функции х! — — х;(1), 1=((т, ..., 1ь), !'=1, 2, ..., и, определены в некоторой окресп!ности точки (!ь!=((Г', ..., (е"') и пусть х,'"=хе(Р'!), ! = =-1,2,...,п. Тогда, если функция )'(х) дифференцируел!а в точке х!о', а функции л; =-хе(1), ! = — 1, 2,..., и, дифференцируемы в точке 1!в>, то сложная функция ) (х(1)) =) (х! (1), ..., х„(1)) определена в некоторой окрестности точки РР! и дифференцируема в этой точке. При этом дифференциал й7 функции 1(х(1)) в точке 1!ь! может быть записан в следующих двух видах: ~~! д) (х (!'ь~)) (20.27) д!! «=1 Ф= ~ д„с(х!. !де с(х! =е(х! (1) 1! !~а~ (20.23) 1=! Доказательство. Поскольку функции хе(1), !=1, 2,..., и, определены в некоторой окрестности точки ра! и поскольку из дифференцируемости функций следует их непрерывность, то сложная функция ! (х(1)) определена в некоторой окрестности точки Рв! (см.
замечание к теореме 2 п. 19.4). Зафиксируем какие-либо два числа 6 ) 0 и т) ) 0 так, чтобы функция 1"(х) была бы определена на т)-окрестности точки х!'!, функции х;(1), ! = = 1, 2, ..., и, на 6-окрестности точки йа! и чтобы (х,(1), ... ..., х„(1)) ен(7(х!ь!; т1) при (ен У(с!ь!; 6).
Тогда на окрестности У(г!м; 6) определена сложная функция 1(х(1)). Возможность выбора таких чисел 6 и т) (очевидно 6 зависит от выбора и) была показана в п. 19.4. Функция 1'(х) дифференцируема в точке х!'!; л поэтому при «=1,У~ йх) (т) имеем ! — ! й) — ! (х! + ЛХ!р,, у хл + ~~ха) ! (х! ... хл ) л Ах! + е«, (20. 29) с=! 20Х е!ивариаитиоеть формы первого дифференциала Зоо где а= а(Лх„..., Лх„) таково, что 1ппа =О. Положим а(0,..., 0)= о =-О. )!оопределенная таким образом функция е является непрерывной в точке (О, ..., 0).
В силу диффереицируемости функцил х; =х! (1), ! =1, 2,, л, « ...,=1/~ео !'== ! Лх!=хг(1!"'+Л(т, ..., Гй'+Л(е) — х;(1!"', ..., Уие') = =,,~ — 'д! — Л(г+е!Р, г=1, 2, ..., и, (20.30) з=! где 1!гп е; = О, !'= — 1, 2, ..., п. а --о Подставив значения Лх; из (20.30) в (20,29), получим г=! т=! где и чз д1(х' ') т — ' — е;р+ ег, дх; 1=! (20.32) Переставив порядок суммирования в (20.31), будем иметь ы= ~ ! г,' и',*,'"! '"")ее~-е, аглз! т=! е=-! 11гп а = О.
о-о (20.34) Из (20.32) имеем: у д)(х,е,) т и дх, ' и ! =. ! (20. 35) Теперь, для того чтобы доказать, что сложная функция р(х (1)) дифференцируема в точке 1!", надо показать, что р =о(р) при р-т. О. В силу непрерывности функций х; (1), !'=1, 2, ..., и в точке Ро! имеем 11!и Лх; = 0 и, следовательно, 1! гп г = О.
Отсюда о-о о-о в силу теоремы о суперпозиция непрерывных функций (см. п. 19.2) ддд д хд. Честные производные. Лифференцируемосгь Докажем, что отношение г/р ограничено. Использовав формулы (20.30), получим / л и н ь — ' = — ' 1// ~' йх)== — ' ~~Р" ~бх1~' ~~ ~~Р ~~ г(1 )~(~"'(+е!. !=1 г=! г=!г=! Поскольку 1ппег=О, то в некоторой окрестности точки г1е1 функ- а-о ции в; ограничены, и так как ~дг(;1/р:=1, то функция г/р ограничена в некоторой окрестности точки (1о1. Поэтому из (20.34) и (20.35) следует, что 1пп(р/р)=0, т. е.
что ()=о(р) при р-мО. а о Дифференцируемость сложной функции /(х(()) в точке /!о1 доказана. Из формулы (20.3!) имеем !е1 у д/ (х!а!) тг1! дх; (ро!) Л/ дх! С д! г=! /=! ъ~ да!(!'ь') Отсюда, замечая, что ~~ — ',! б/г —— с(х!, !'=1, 2, ..., и, мы и г /=1 получаем формулу (20.28). Формула же (20.27) является обычной формулой для дифференциала (см, (20.21)).
П Формально обе записи (20.27) и (20.28) дифференциала функции выглядят одинаково: в обеих формулах дифференциал равен сумме произведений частных производных на соответствующие дифференциалы, однако в случае формулы (20.27)г(1/ являются дифференциалами независимых переменных, а в случае формулы (20.28) с(х! суть дифференциалы функций, Это свойство называется инвириантностыо форма первого дифференциала относительно выбора переменных.
Замечание 1. Из формулы (20.33) следует, что ь / и г=-! г=! Но коэффициенты дифференциала функции при дифференциалах независимых переменных определяются однозначно и равны соответствующим частным производным, поэтому, сравнивая эту фор- н *~ Мывоспольаовалнсь неравенством )/ У.
ие ~ (и! ), которое яв- ! !.=! г=! ч / л (а ляется следствием очевидного неравенства~ и,'(! ~ !иИ ~ (см. (1В.!1)). х0,4. е>нвариантноеть формы нервого ди>рд>еренциала ад7 мулу с формулой (20.27), получим а дг у д) (х<о~) дх> (ры) дг> м',е дх; д> г=! Докажел>, например, формулу 3. Пусть х =- и/о, где дх 1 — и (х,, ..., л„), о=-о (х„..., хь). Замечая, что, = — и ди о = —,, согласно форму,пс (20.28) имеем — 8о= — — — П 1 и е ди — идо о ьа =,~ () и:= дг до При вычислении конкретных дифференциалов функций многих переменных можно широко использовать формулы, полученные нами рйньше (см. 5 9) для ди<Ксренциалов элементарных функций. Заметим для этого следую>цее: пусть функция у=у(х„..., х„) представлена в виде у=у(и), где и=и(х„..., х„). Тогда при соответствующих предположениях, согласно формуле (20.28), г(у = Р' (и) г)и, и .—.
и (х,, ..., х„). т. е. снова формулу (20.26). Правда, на этот раз она выведена при более сильных ограничениях, чем раньше; на этот раз предполагалась дифференцируемость функций х;(1), 1=1, 2, ..., и, в то время как в п. 20.3 — лишь существование у этих функций соответствующих частных производных. Замечание 2. Если функции 1(х>, ..., хн) и х;=х;(1), 1=()ы ..., гь) вишь, 1= 1, 2, ..., п, имеют непрерывные частные производные соответственно в точке (х',", ..., х„'"') ~ Ке и в точке 1>ь> еи )хь, где х,"=х>(рь>), то эти функции, согласно теореме 3 п.
20.2 (см. также замечания в конце и. 20.2 об общем случае), дифференцируемы в указанных точках и потому удовлетворяют условиям теоремы 6. Следовательно, для них справедливо утверждение этой теоремы и вытека>ощая из него формула для вычисления частной производной сложной функции (см. предыдущее замечание!. Инвариантность формы первого дифференциала широко используется при практическом вычислении дифференциалов и частных производных. Если и и о суть функции какого-то числа переменных, то с помощью формулы (20.28) легко получаются следующие: 1. >1(и+о) =г(и+г(о.
2. г((ио) =-ог(и+и г(о. (20.36) 3. Х(и>о) =-г ди а" ввв э гв. Частные нроивводные. Дифференцируеность Например, если у=э)пи, то йу=созис(и; если у=!пи, то ли аи бу= —; если у=агс1ни, то с(у= —, и т. д. (подчеркнем, что здесь везде и =и(х„..., х )). В качестве примера найдем дифференциал функции г = агс1н —.
у Вычцсления производятся в следующем порядке: с(г = б (агс(й — ) — — — т( ( — ) в —, ' Ђ ) 1 гу 1 х" хлу — упх худ — дпх х т' д' ~ х т' хе+ ув хь хе+ус 1-1-— Если требуется вычислить частные производные функции многих переменных, особенно если надо вычислить все производные, то целесообразно вычислить дифференциал этой функции, тогда искомыми частными производными будут коэффициенты при соответствующих дифференциалах. Так, в рассмотренном примере г = агс1н д, беря коэффициенты при с(х и с(у из найденного нами выражения для дифференциала, получим дх д дг х дх хе+ус ' ду хе+ уь' 3 а м е ч а н и е 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
