kudryavtsev1a (947413), страница 71
Текст из файла (страница 71)
(19.16) р Ьк', кп < 6 Часто для краткости вместо 6«(б; г'; Е) пишется просто ь«(6; 7) или даже со(б). Нетрудно убедиться, что зцр Д(х') — )(х")~= зцр ~~(х") — 7(х')~, х'епЕ, х" =Е р«Е, ко<6 р(кц ко<6 т. е. в правой части равенства (19.16) под знаком верхней грани можно писать илн не писать знак абсолютной величины, отчего величина указанной верхней грани не меняется. Очевидно, также, что со(б) ~0.
338 й !9. Предел и непрерывность функяий многих переменных Далее, если 0 ~ б, ( б„то у:у=-7(хе) — 7'(х'), р(х', х") = 6,] с: ~ (у:у=у(х") — 7(х'), р(х', х"):=6,), откуда ьар [7 (х") — 1(х')1 =- знр [7 (х") — )'(х')1 оо'. ло(ог (так как при расширении числового множества его верхняя грань может только возрастать), т.
е. со (6,) ~1 со (бс), иначе говоря, мооуль нспрсрмнноспти ябля'гпся моноп1онно боз~йстпрлошай функтлией. Задача 17. Пусть С вЂ” область в Йв. Локааать, что если !пп ' ' =О, ы(6; й П) о-о то 1 — постоянная функция. Пр и меры 1. Найдем ы(6) для функцииу=-х', — оо(х С+со. Для любого 6~0 и произвольного фиксированного х, имеем: от (б; х') = ьир [х" — х' ) =- хе — (х — б)' = 2х„б — ба. (19.17) Это неравенство верно для всех х„и так как при любом фиксированном б имеем Пгп (2х,б — б')= к +ге =+сов то из (19.17) получаем аг( (б; х')=+, — < <+ Найдем теперь модуль непрерывности функции у = ха на отрезке [О; 11.
Интуитивно ясно, что поскольку модуль непрерывности от(б) описывает согласно определению наибольший рост функции на отрезке Рис. 87 длины б, то чтобы получить модуль непрерывности функции в данном случае следует взять отрезок [! — б, 61, на котором функция 7" (х) =-х", 0==:х=.=-!, растет наиболее быстро: модуль непрерывности совпадает с приращением функции на этом отрезке (рис. 67); ы (6) = !'(1) — [(! — 6) =- 1 — (1 — 6)' = 26 — б'. Аналитически это проверяется следующшл образом. Пусть О==.х" — б==. х'==хны-.!, то~да, в силу неравенства х" — х' =-х" — (х" — б)е = 2х"б — б'-.= 26 — б', получим от(б; х ) = зпр [х" — х') ( 26 — ба„(19.!6) Ьт — х' ~ <о тихи Равномерная непрерывность 4сннцнй. Модуль непрерывности 839 но если взять х'=1 — 6, х"=1, то пт (6; х') = зир (х" — х' ) =- 1 — (1 — 6)' = 26 — 6'.
(19.19) 1х" — к'~ ( б Из оц нок (19.!8) и (19.19) следует, что на отрезке 10; 11 имеем от(6; х') = 26 — бь. 1 2. Рассмотрим функцию у = з!и, хчьО. С одной стороны 11 1 . 1 . 1 со~6; з!и — = зпр ~з!п-- — з!и, ~.«= х) 1„"„, б( хе х' ( зпр ((з!и-к~+(в1п-;!)~ зир 2=2. С другой стороны, выбрав х,"=1~: --+2лп), х„'=11 --л+2л!!) н зафиксировав и так, что !'х„'! =. 6!2, ! х," ! =:-6!2, н поэтому )х„' — х„'(-=(х„")+)х„" )к-..б, будем иметь со 6; з!и — -) ==в!и — — з!и —,=1+1=2. 11, 1 . 1 х) хв хн Из полученных оценок следует, что со (6; з!и- -) = 2. 11 х) 3. Рассмотрим функцию у= — на интервале (О; 1), 1 х При любом фиксированном 6, 0(6 с!, имеем озяб; ~)= зир ~~ — -~)= зпр (»г — ~)= 1 1, 6 ь1 -ь+со при хь-~+О. хь хо+6 хь (хь+ б) 10п от(6; г; Е) =О.
б-+о (19. 20) Доказательство. Пусть функциями равномерно непрерывна на множестве Е, т. е. выполнены условия (19.10) — (19.!1); тогда для любого з -> 0 существует такое бв ) О, что если х' е-=. Е, х" вн Е, р(х', х")(б„то !Г(х") — ~(х') !(г!2. Отсюда явствует, что для " Здесь х, таково, что 0(хе~1 — 6. Таким образом, со (6; ! (х) = + оп. В терминах модуля непрерывности равномерная непрерывность может быть выражена следующим образом. Теорема 6. Для того чтобы функция !', определенная на множесптве Е, была равномерно непрерывной на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы 840 р И Предел и непрерывность функций многих переменных любого 6(6, выполняется неравенство 2 р(х', х"1 <Ь т.
е. если 0 -6(б„то ю(6) (и. Это и означает, что !пню(6)=0. о-о Н:обходимость условия (19.20) доказана, Докажем достаточность условия (19.20). Выполнение условия (19.20) означает, что для любого е э О существует такое бе)0, что если 0 6(б„то ю(6; 1; Е) .,в. Выберем какое-либо нз указанных 6. Тогда при р(х', х«)(6, х' я Е, х" он Е, будем иметь (см. (19.16)): ]1(х") — Г(х')]<а(6, Г, Е) (в, т. е. функ- ция ) равномерно непрерывна на Е. [ ] Мы видели выше, что на отрезке [О, 1]ю(6; х')=26 — бз, поэтому 1'цп ю(6; х') =О, и, следовательно, функция х' равное-ч о мерно непрерывна на этом отрезке, как и должно быть согласно теореме б. Модуль непрерывности той же функции х', но уже рассматриваемой на всей вещественной осн, так же как и модули непрерывности оз(6; з]п — ), хчьО, и в~6; —, 0(х(1, не стрех)' ' (' х/' мятся к нулю при 6- +0 и поэтому все эти функции не являются равномерно непрерывными на соответствующих множе- ствах.
У п р аж не н и а. 5. Доказать теорему Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на компанте, с помощью лемью1 Гейне — Бореля (см. теорему «в п. 18.3 и замечание после нее). б. Непрерывная на отрезке [о, Ь) функция [(х) называется кусочно линейной, если существует такое разбиение отрезка [и, Ь1 на конечное число отрезков [х; „х;], и = хе < хт « ... х; «... х„г < х„= Ь, что уннция [(х) линейна на каждолг отрезке [х;.„хей 1=1, 2, ..., и — !. оказать, что всякая непрерывнаи на отрезке [и, Ь! функция Р (х) может быть с любой степенью точности аппроксимирована кусочно линейной функ- дней, т.
е. для любого е ) О существует такал кусочно лииейнан функция [(хн что для всех х ~и [а, Ь! выполняется неравенство ]Е (х) — [(х) ] < е. Введем теперь еще некоторые понятия, полезные для дальнейшего. Определение 11. Пусть Е ~ Я«. Число (конечное или бесконечное) с[ = зцр р(х', х") назьгвается диаметром множества Е х' ые, х" ее и обозначается через г[(Е). Уп р аж нани н 7. Пусть Я" — л-мерный шар с центром в некоторой точке х о' н радиусом г: Я« =О (х е>, г), тогда й (Я«) =-2г. Локазать, что множество Е ограничено тогда и только тогда, когда й(Е)<+со. Определение 12.
Пусть фунгсг[ия [ определена на множестве Е; тогда значение модуля непрерывности оз(6; 1"; Е) при б, равном диаметру множества Е, т. е. от(г[(Е); 1; Е) назьаается колеба- гдд Частно~е нроизеодные и частные дифференциалы Вч1 наем 4ункции (' на множестве Е и обозначается через от(("; Е) или просто оэ ()). Очевидно, что в силу (19.16) от ((; Е) = знр [) (х") — ((х')1. к'ее, кое Замечание. Из сказанного в этом и предыдущем параграфах, в частности, видно, что в ряде вопросов, относящихся к функциям многих переменных, всю их специфику можно в достаточной мере усмотреть уже в двумерном или трехмерном случае.
Благодаря удачно выбранным определениям и обозначениям доказательства теорем автоматически переносятся со случая п= 2 на произвольный и-мерный случай иногда лишь приводя к некоторому техническому усложнению записи. Случай же и=-2 имеет преимущество геометрической наглядности и более простой записи, когда в ней участвуют координаты точек. Поэтому для большей ясности и простоты изложения мы, как правило, будем подробно рассматривать лишь случаи и =- 2 или п = 3, а в случае произвольного п — лишь формулировать соответствующие результаты илн даже только отмечать возможность их обобщения на случай произвольного и.
Если же при рассмотрении какого-либо вопроса при и )3 возника1от какие-либо специфические трудности, то этот вопрос будет детально рассматриваться в общем случае. й 20. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 20.1. ЧАСТНЫЕ НРО113ВОДНЫК И ЧАСТНЫК ДИФФКРКННИАЛЫ Рассмотрим сначала случай функций трех переменных.
Определение 1. Пусть в некоторой окрестности точки (х„у„го) задана 4ункция и=и(х, у, г). Фиксируя пепеменные у и г: у=-у,, г=г,, получим 4ункцию одного переменного к: и=и(х, уо, г,). Обычная производная (см. п. 9.1) этой 4ункиии в точке х=-х, называется частной производной 4ункции и (х, у, г) в птоцке (х„уо, г,) пс х и обозначаетсл через дх Таким образом, ди (Хк РЫ ге) ЕО1ди(Х, рни г„) / дк дх (к к, Заметим, что обозначение частной производной по перемен- ной к через — '" ' ' традиционно. Правильнее было бы писать ди(хк, ио г) дх ди ди ох ' ' о' — (х„у„г,), так как является единым символом, обозначаюдх щпм новую функцию, значение которой и рассматривается в точке (хо уо го). дуг .Е гц Частно»е производные. Дифференцируемоото Если вспомнить определение обычной производной — (сл!.
п. 9.1) . ди дх то, согласно атому определению, можно написать ди(хо, уо, го) .. и (х,+Лх, уо, го) — и (хо, уо, г„) "' = !!гп Лх или, если ввести обозначение и(х,+Ах, уо г,) — и(хо уо го)=Л„и, (Л,и — приращение функции по переменной х), ди . Ли —, = !пп —. д. „о Лх' Аналогично вводятся частные производные по у и г: ди(хо уп, г„) ди(хо у го) ! ди(хо, у„го)»(и(хо. Уо г) ! дг дг или ди Лои ди Л,и — = 1нп о, —.= 1!оп— ду ло-о Лу' дг ' л» о дг ' где Л„и и Л,и — приращения функции соответственно по переменным' у н г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
