kudryavtsev1a (947413), страница 69
Текст из файла (страница 69)
( ) Чтобы получить утверждение следствия достаточно применить лемму к функции д(х) ~='-~) (х) — с. Совершенно аналогично случаю п=1 доказывается, что, если функции ( и д непрерывны в точке хг" множества Е, пго функции р+у, с) (с — постоянная), )у, а если д(хгог) ФО, тп и р/д также непрерывны в тачке х"'. Для функций р (х„..., х„), п ) 1, наряду с их непрерывностью в вышеопределенном смысле, которую называют также непрерыв- ностью по совокупности переменных хг,..., х„, можно рассматри- вать и непрерывность по отдельным переменным хп Функция 1(х„..., х„), определенная в некоторой окрестности точки х" =(х',",...., х'„о'), называется непрерывной в точке хио по переменной хг, если функция Ф(хг) ="~(хг"', ..., х,'"' г, хг, х)"'~„..., х„'"') одной переменной хг непрерывна в точке х';"'.
Отметим, что из непрерывности функции по всем переменным в отдельности не следует ее непрерывность по совокупности. На- пример, функция хуг(хо+ух), если хо+ух)0, г ( У) О если х у О непрерывна по каждой переменной х и у в отдельности в каждой точке плоскости, но не непрерывна по их совокупности в точке (О, О), так как не имеет в этой точке даже предела (проверьте это). 19ли НЕПРЕРЫВНОСТЬ КОМПОЗИЦИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ Пусть на некотором множестве Е, с: Я» задана система п функций цгг(г), цго(г), ..., цо„((), г=(г'„..., г») енЕ» н пусть на некотором множестве Е с.—. гхи задана функция р(х), х=(х„..., х„) ен я Е,. Если (ерг(1), ~рг(1), ..., ер„(()) яЕ„для любой точки 1я Е„ то имеет смысл говорить о сложной функции г (гр„..., цг„), т.
е. функции, ставящей в соответствие каждой точке г е= Е, тула Непрерывность композиции непрерывных функц««й вз« число 1(«р,(1), ..., «р„(1)). Функция р(«р„..., «р„) называется также композицией функций ) и р„..., «р„. Теорема 2. Пусть имеет смысл сложная функция р(ц««,..., «р„). Если функ«хии «р„..., «р„непрерывнь«в точ«е («е«е Е«с )«и по множеству Е„а функ«(ия р непрерывна в точке х«м = = («р, (Ро'),..., «р„(1««ч)) е= Е с У по множеству Е„, тпо сложная функция )'(ц««, ..., ц«„) непрерывна в точке (««о по множеству Е«.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу непрерывности функции Г в точке х'"'=(х«", ..., х'„") по множеству Е, для любого е>0 су«цествует т)=Ч(е))0 такое, что ( х ) «( х «о «) ( ( (19.У) для всех точек х ~ Р (х«ед т)) П Ех *«, т. е. для всех точек х = = (хт, ..., х„) ~ Ех, для которых )х« — х,'"((«1, «'=1, 2, ..., и. (19.8) В силу же непрерывности по множеству Е, в точке 1««о каждой из функций «р;, «=-1, 2, ..., и, для указанного т()0 существуют такие б, = б; (т)) ) О, что для всех 1 ~ Е, П У (1«"; 6«) выполняется неравенство ! Ч (1) — цц (1«") ~ < Ч. (19.9) Обозначим через 6 наименьшее из чисел 6«, «=1, 2, ..., и.
Тогда для всех ген Е, П У(г«ь«; 6) и всех « =1, 2, ..., и выполняется неравенство (19.9), т. е. неравенство (19.8), где х, (1) хм > (««ь«) ь 1 2 По условиям теоремы имеет смысл сложная функции г(ц«„..., «р„), т. е. при (енЕ, выполняется включение («р,(1), ..., «р,(«))ен ~Е„, а следовательно, в силу (19.9) при 1е.=Е,ПУ(1«ь«; 6)— включение («рт(1), ..., «р„(1)) е Р(х«е«; т))()Ех Поэтому для всех 1~Е,ПУ(1«ь«; 6) выполняется условие ~~(х) — ) (х«о«) ~ Се, где х=(«р,(1), ..., ц«„(1)), х«о«=(«р«(т«й«)... «р„(1«ь«)). Это и означает непрерывность сложной функции Г(«р„..., «р,) в точке Г«м.
д Как видно из проведенных рассуждений, доказательство теоремы 2 по идее повторяет доказательство соответствующей теоремы для п=1 (см. п. 5.2). Замечание. Если функции «р,(1), ..., «р,(1), определенные на множестве Е, с:)ть, непрерывны по этому множеству Е, в точ.
ке 1«е' я Е«с )«ь, а функция ) определена в некоторой окрестности точки х«" = («р, (р"), ..., «р„(г«")), то существует такая окрест- *' Здесь удобнее воспользоваться кубической окрестностью Р (х'ь', Ч), чем сферической. Зэг у г9. Предел и непрерывность функций лпогпх переменных ность (г'(уь~) точки 1", что для всех ( ен(э'(Рь~) (1 Е, имеет смысл композиция )(грь ..., цп). В силу этого, когда функция ( определена на множестве, содержащем некоторую окрестность точки х~", то требование существования композиции ~(цм ..., Ф„) в условиях теоремы 2 можно отбросить.
Действительно, если функция ) определена в какой-то окрестности точки х'ь', то существует и прямоугольная окрестность Р(х~ьЦ т() этой точки, в которой функция ) также определена. В качестве же искомой окрестности точки Р ь~ можно взять 6-окрестность этой точки, построенную при доказательстве теоремы 2. В самом деле, если ( ен(э'(Род 6) П Е„то, согласно неравенству (19.9), получим (тр,((), ..., гь„(()) АР(х~ьц В), следовательно, сложная функция определена на (г'((~ьй 6)() Е,. ("") С помощью теоремы 2 можно легко установить непрерывность функций, большей частью встречающихся на практике, а именно так называемых элементарных функций многих переменных.
Определение 8. Функции, полуцающгися из переменных х„... ..., х„с помощью конечного числа колтозиций элсментарныхфункций одного переменнпгп, операций сложения, умножения и деления, наэь ваются элементарными функциялш переменных х,, ... ..., Хп. ку у г! и— Например, функция )(х, у) =хе "-у является элементарной функцией двух переменных х и у. Действительно, 1 (х, у) == хтв, гв = е", о = уг, г = з(п г, ( = и4, а = ху, р = х+ у.
Из теоремы 2 и сохранения непрерывности в соответствующих точках при арифметических операциях над непрерывными функциями (см. п. 19.3) следует, что всякая элелююпарная функция любого числа переменных непрерывна в каждой точке области своего оп ределения. 19.5. ТЕОРЕМЫ О ФУНКЦИЯХ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА МНОЖЕСТВАХ Функция ( называется непрерывной на множеспюе Е, если она непрерывна по этому множеству в каждой его точке. Иногда в этом случае говорят также, что функция ) непрерывна во множеспгве Е.
Докажем ряд теорем о функциях, непрерывных на множествах. Эти теоремы доказываются аналогично соответствующим теоремам для функций одного переменного. Мы рассмотрим нх при достаточно общих предположениях, это позволит более глубоко выяснить, с чем связаны рассматриваемые свойства непрерывных функций. Начнем с обобщения теоремы Вейерштрасса (см. п. б.!) на многомерный случай.
Определение ряда понятий, которые лВЬЗ. леорвл~ьл о функциях, непрерывных на множествах ЗЗЗ будут рассматриваться ниже, как, например, ограниченность функции, верхняя и нижняя грани функции и т. п. — см. в п. 4.1. Теорема 3. Всякая 4ункчия, непрерывная на компакте, ограничена на нем и достигаепт своей верхней и своей нижней грани *'. Доказательство. Пусть функция 1' непрерывна на компакте А с:)сп и пусть М =-зпр).
Выберем по аналогии с однол мерным случаем (см, доказательство теоремы 1 в п. 6.1) последовательность таких чисел а , что !пп а = М и а ( М, т = 1, ы са 2, .... Для каждого т=-1, 2, ... существует такая точка хм~ А, что )(х' ') )а„. Поскольку множество А — компакт, то из последовательности (х'">) «ложно выделить сходяшуюся подпоследовательность [х( «)), предел хоп которой лежит в А: 11гп х(™«) = =х~о~ е= А Для любого Ь = 1, 2, ... справедливо неравенство а„„< ° с.)(х( «))-=М.
Переходя в нем к пределу при )г- со, получим 1!ш 1(х('"«)) = М. В силу же непрерывности функциир в точке хип «ол по множеству А имеем 1пп 1(х(и'«)) =1(х'"), и, следовательно, М (( .~о>) Таким образом, верхняя грань функции р конечна, и поэтому функция ) ограничена сверху', кроме того, эта верхняя грань достигается в точке х~о~ ен А. Аналогично доказывается, что функция 1 ограничена снизу и что ее нижняя грань достигается в некоторой точке множества А. С] Перейдем теперь к рассмотрению обобщения теоремы Коши о промежуточных значениях (см.
п. 6.2) для случая функций многих переменных. Теорема 4. Пусть функиия 1" определена и непрерывна в области 6 с: )тп, тогда, принимая какие-либо два значения в 6, (ЬункИия 1 принимает в 6 и любое значение, заключенное между ними. Доказательство. Пусть функция р непрерывна в области 6 с Р, пусть хгм ен 6, хио ен 6, 1(х'") = а, 1(хпн) = Ь и, например, а<Ь.
Пусть далее, с — какое-либо число, такое, что а(с< Ь. Согласно определению области (см. определения 25 и 26 в п. 18.2), существует такая кривая х(1), а-=.т'-(), что х(а) = = хан х(р) = хоп и х(() а= 6 при всех л ~[а, р]. Если х(1)=(х,(г), ..., х„(()), то, по определению кривой, функции х;(г) непрерывны на отрезке [а, 6]. Согласно же теореме 2' о суперпозиции непрерывных функций многих переменных, функция 1(х(г)) =)(х,(л), ..., х„(т)) также непрерывна на *' Иначе говоря, фуикния, непрерывная на компакте, принимает на нем наибольшее н наименьшее значения. 334 у 19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
