kudryavtsev1a (947413), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Предел и непрерывность функций многих переменных отрезке <а, р1. Так как <(х(а)).=а, Г(х(р))=-Ь и а с(Ь, то согласно теореме Коцп< (см. и. 6.2), существует точка |о ~ (а, 6) такая, что ((х (<о)) = с. Полагая х'о' =х (<о), имеем х<сп ен 6 и у (к<о<) = с. ( ) Следствие. Функция у, определенная и непрерывная в замкнутой области б, принимал какие-либо два значения, принимает в 6 и любое промежуточное. Доказательство. Пусть 6 — область, функция у определена и непрерывна на ее замыкании б, хцн ен б, х<м ~ б, ((х<м) = =-а, |(х<з<) =Ь и пусть для определенности а Сс(Ь, Докажем, что существует точка ь ен6, такая, что ((<.) =с.
Возьмем число в) О, определяемое равенством в=ппп(с — а, Ь вЂ” с). В силу непрерывности функции | в точке х«о существует такое 6=6(е))0, что если хе <у(х<т'; 6) Пб, то <<<(х) — у(х<м) <(в и, значит, <г(х) — а,<с — а в частности, у(х)<с. Точка х<" ен6„ т. е. точка х<м является точкой прикосновения множества 6, поэтому в окрестности (У (х<тй 6) заведомо существует точка, принадлежащая 6; обозначим ее у<». Таким образом„у" < ~ я(г(х<м; 6) Пб, и поэтому |(у"') <с. Аналогичным методом доказывается существование точки у<'> енб, такой, что у(у<а<))с.
Из существования в области 6 точек у<» и у<'< с указанным свойством в силу теоремы 4 вытекает существование в 6 точки ь такой, что у(ь)=с. П Отметим, что ни при доказательстве самой теоремы 4, ни при доказательстве ее следствия не использовалось то, что множество 6 открыто. Использовалось лишь то, что любые две его точки можно соединить кривой, принадлежащей самому множеству, т. е. что оно линейно связно. У и р аж пение 4. Пусть функция < непрерывна и принимает значения разных знаков на открытом множестве. г<оказать, что множество точек, в которых ( чь О является открытым множеством, но не является областью.
Задача |6. Построить пример области 6, в замыкании 6 которой не существуют две точки, не соединяемые в б непрерывной кривой. |9.6. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. МОДУЛЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ Наряду с понятием непрерывности функции в точке в математическом анализе большую роль играет так называемое понятие равномерной непрерывности функции на множестве. Определение 9. Функция | (х), определенная на множестве Е с: Кн, называется равномерно непрерывной на Е, если для любого в)0 существует такое 6=6(з)) О, что для любых двух точек 1у В Равномерная непрерывность функций.
Модуль непрерывности Звв хе= Е, х' е Е, удовлетворяющих условшо р(х, х') <6, (19.10) выполняется неравенство !) (Х) — г (х') ~ < з. (19.11) Отметим, что если функция Г равномерно непрерывна на множестве Е, то она и просто непрерывна на Е, т. е. непрерывна в каждой точке хнп в=Е. Чтобы в этом убедиться, достаточно, например, в (19.10) и (19.1!) положить х'==х'". Если же функция )' непрерывна в каждой точке х~Е, то для любюго а)0 существует лишь 6=6(е; х) такое, что для всех х' еп Е, удовлетворяющих условию р (х, х') < 6, выполняется неравенство ~~(х) — )(х) ~ <е. В этом случае. выбор 6 зависит не только от е, но, вообще говоря, и от точки х.
Подчеркнем, что в случае, когда функция Г равномерно непрерывна на множестве Е, выбор, соответствующего 6 зависит только от е и не зависит от выбора рассматриваемых точек множества Е, Оказанное хорошо видно при записи указанных определений с помощью логических символов. Условие непрерывности функции г на множестве Е имеет вид ( за > 0) ( ух еп Е) (36 ) 0) (раух' е Е, р (х', х) < 6): / ) (х) — Г (х) / <з„ а условие ее равномерной непрерывности на Š— вид (Фв - 0) (36 ) 0) (тех е= Е, ух' ~ Е, р (х', х) < 6): ~ ) (х) — ) (х) / < в.
Примеры 1. Функция )(х)=х равномерно непрерывна на всей числовой оси, ибо„если задано е~О, достаточно взять 6=в, тогда если )х — х'! -6, то в силу равенств г(х) =х, 1 (х') = х' получим ~ Г' (х) — ) (х') ~ < е. 1 2. Функция )(х)=з!п —, к~=О, не будет равномерно непрерывной на своей области определения, т.
е. на числовой оси, из которой удалена точка х=О. В самом деле, если взять, например, в=1, то при любом сколь угодно малом 6->0 найдутся точки х и х', например точки вида х= 1/(з-+ 2пп) и х' = 1/(~-и+2пп) (и — достаточно большое натуральное число) такие, что ! х — х' ~ <6, а вместе с тем !Г (х) — ) (к') , '- ! . В качестве достаточного признака равномерной непрерывности функций одного переменного на интервале отметим следующий. Лемма 2.
Если функция ) (х) определена и имеет ограниченную производную на некотором интервале (а, Ь), то она равномерно непрерывна на этом интервале. ЗЗВ В ту. Предел и непрерывность функций многих нерел<еннык Действительно, если ~)'(х) ~(с (с — постоянная) на (а, Ь), то с помощью формулы конечных приращений Лагранжа (см. п. 11.2) получим !)(х') — 1 (х) ) = ) (' ($) (х' — х) ! = с / х' — х /, а < х ( Ь, а ( х' ( Ь, а < $ ( Ь. (19.12) Поэтому для в ) 0 достаточно взять 6 = — в!с; тогда если ~ х' — х,' -'6, а(к< 6, а(х' . Ь, то в силу (19.12) справедливо неравенство (~(х') — 7(х) )(е, что и означает равномерную непрерывность функции ): на (а, Ь). ( ) Аналогичный результат имеет место для любого промежутка, конечного илн бесконечного.
Обобщение этого критерия на многомерный случай будет дано в п. 39.2. Принципиальное значение имеет следующая теорема. Теорема 5 (Кантор). Функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна. Следствие. Непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна. Доказательство теоремы. Воспользуемся методом от противного. Допустим, что существует функция 1, определенная н непрерывная на некотором компакте Е с:Ян, но не равномерно непрерывная на нем. Тогда существует такое ее-» О, что для любого 6>0 найдутся точки хо ен Е и хо ен Е (индекс «6» у точек означает, что они зависят от выбора 6), для которых р(хе, хв) <6 и вместе с тем ~((хе') — г'(хв) ~ гьеь. Возьмем какую-либо последовательность чисел бьи так, чтобы 11п< 6 =О, например, 6 =11т, ь< ь т=1, 2, ....
Пусть хц"'=хе, х"< >=хо" и, значит, <и' ь< р (х'"", х"'"") ( —, ~ )(х"<ы<) — р (х'<"') ' ~ ее. (19.13) Множество Е является компактом, поэтому из последователь- ности (х'<<ь') можно выделить сходящуюся подпоследовательность (х("'«)), предел Ь которой принадлежит компакту Е, !пп х('"«) == = <, ~ Е. Точка ь является точкой прикосновения замкнутого множества Е, и поэтому ь ен Е. Рассмотрим теперь подпоследовательность (х ( «)) последова- тельности (х"<ь«), соответствующую подпоследовательности (х ( «)). Докажем, что 1<гп х ('"«)=ь. Действительно, р (х ( «1, ь) =- р (х ( «), х ( «)) + р т(х ("«), ь) ( — + р (х ( «), ь), и так каир(х ( «), ь) -»0 и - — — »О при Ь-»оо, то и р(х( «), ь)-ыО <н!< при й- со, а это и означает, что х(ы«)-»ь при й-»со.
ИБ. Равномерная ненрерььвность йууннцай. Модуль непрерывности 337 В силу непрерывности функции 7 в точке Ь е= Е имеем 7(х ( «)) — рг(Ь) и 7" (х('"«))-рг" (Ь) при /г-роо, и, следовательно, )(х( «)) — 7(х( «)) — 0 при )е- оо. (19.14) Но, по способу построения последовательностей (хц"') и (хп"') (см.
(19.13)) ()(х'( «)) )(х'( «))( (19.15) для всех )с = 1, 2, Очевидно, условия (19.14) и (19.15) противоречат друг другу. Это и доказывает теорему 5. П Справедливость следствия вытекает из того, что отрезок является компактом. Отметим, что при отказе от требования, чтобы множество, на котором рассматриваемая функция непрерывна, было компактом она может уже не оказаться равномерно непрерывной. Например, функция 7(х) =1/х определена и непрерывна на интервале (О, 1), который хотя и является ограниченным множеством, но не является замкнутым; эта функция не будет равномерно непрерывной на интервале (О; 1). Функция у=-х' определена и непрерывна на всей вещественной оси, которая хотя и является замкнутым множеством, но не является ограниченным.
Эта функция также неравномерно непрерывна на вещественной оси. Доказательство того, что функции у=1)х и у=х' неравномерно непрерывны на указанных множествах будет дано в этом пункте несколько дальше. Часто оказывается более удобным другой подход к понятию равномерной непрерывности, а именно с помощью так называемого модуля непрерывности функции, Определение 1О. Пусть функция 7' определена на лтожестве Е ~ Пк. Ее модулем непрерывности со (6; ); Е) иозываептся функция со(5; ); Е) = зпр (~(х") — ~(х')], х' я Е, х" е= Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
