kudryavtsev1a (947413), страница 77
Текст из файла (страница 77)
(20,54) д дт дх дд Из (20.51) следует, что при х =0 и У~О уравнения д- -=О (20.55) х — дт-'=О (20.56) равносильны. Таким образом, точки (х, д), удовлетворяющие как др дл условию (х, у)= — О, так н условию (х, д)=-0 лежат на кридх дд вой (20.55) или, что то же, на кривои (20.56). В силу (20.49) и (20.52) вдоль кривой (20.55) имеем: х~л ие Е(х, хл-') =хл — — -— ч хл хе ( ! ! ! =хл — - — — ---=хл 1 — — — — ! =О. ч 1- ч) (20.57) Обозначим теперь через 6" множество всех точек, расположеннык выше кривой (20.55), включая саму кривую: 6' е'! ((х, у): у: — хл-', х=-О), а через 6- — множество всех точек первой координатной четверти (вканочая ось х-ов), лежащих ниже этой кривой: 6- =" ((х, у); О ~ д = хе-', х =- О).
Это устанавливается непосредственной проверкой. Для доказательства неравенства (20,50) рассмотрим функцию удл Частные проивводные высших порядков Согласно формулам (20.54) при (х, у) ен 6', уть х»-' имеем †. (х, у) >О, а при (х, у) ен 6-, уФ х»-, соответственно — (х, д) > 0 дР ду дх ду (здесь использована эквивалентность уравнений (20.55) и (20.55)). Поэтому вдоль любого отрезка, лежагдего во множестве 6" и параллельного оси х-ов (рис. 93) функция г (х, у) строго возрастает. Следовательно, если (х, у) я 6+, у~ьх» ', то (см. (20.57)) у.х»' Р(х, р)(г (х, х~ х) =О.
Аналогично, на любом отрезке, лежащем во множестве 6- и параллельном оси к а у-ов функция Е(х, у) также строго возра- Рб стает. Поэтому, если (х, у) ~6 и у~ ~х»-', то опять Р (х, у) ~ г (х, х»-') = О. рис. уа Таким образом, если узах»-', х.:-.О, у~О, то всегда Р(х, у) <:О. Итак, вспоминая вид функции г (см. (20.53)), имеем: если а==-О, Ь= О, то а» ае аЬ ( — - + — пр и Ь ~ а» -', у и» Ьв аЬ = — —.
+ --- при Ь= а»-с. Тем самым неравенство (20.50) доказано. з 2Е ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 2! Л. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Пусть задана функция 7(х, у). Тогда каждая из ее частных производных (если они, конечно, существуют) — ' и д) (х, н) д! (х, и) дх ду которые называются также частными производными первого порядка, снова является функцией независимых переменных х, у и может, следовательно, также иметь частные производные.
Частная производная — ( — ) обозначается через —., или )'„х, оЧ д /д(1 д'"'~ а — ( — ) через — или 7х . Таким образом, ду (дх) ду дх д д)) дЧ д (д(1 д'-~ дх ) дх! дх' )х" ду ),дх/ дудх и, аналогично, Зуа у уй Частные производные и дифференциалы высших порядков и покажем, что Действительно, (21.2) Лава = Л„(Лв() = Л. [((х„Уо+ ЛУ) — 7 (х„Уо))=- =У(хо+Лх, уо+ Лу) — 1(хо+ Лх, уо)1— — У(хо уо+Лу) — [(хо уоН' (21 3) *' Частной производной нулевого порядка для удобства обозначений считается сама функция. '*' Для всякой функции с (х, у) имеем: Ь с (хз, уз) =с (хгг+Ьх, уз) — с (Хг. уз), Лвс (х, у„) =ге (х, у„+Езу) — р(хы уз). Производные [, ухв, 7 и гвв называются навозными производными второго порядка.
Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка: дз1 дз( дз) дз( дхз ' дудхз ' ди'дх ' дхдудх н ™ Аналогично определяются частные производные произвольного порядка и для функций любого числа переменных. Определение 1. Частная производная (по любой из независимых переменных) от частной производной порядка т — 1, т=1, 2„... ..., *' называется частнон" производной порядка т.
Частная производная, полученная дифференцированием по различным переменным, называется смешанной частной производной. Частная вке производная, полученная дифференцированием только по одной перелгенной, называется чистой частной прогпводнои. Число различных частных производных прн увеличении гп, очевидно, возрастает, однако оказывается, что при определенных предположениях многие из них совпадают, а именно смешанные частные производные по одним и тем же переменным не зависят от порядка дифференцирования.
Более точно имеет место следующая теорема, Теорема 1, Пусть функция ) (х, у) определена вместе со своими частными производными ('„, (в, [„, и г'в в некоторой окрестности точки (хо, уо), причем )'„„и гв непрерывны в втой точке; тогда ззхн (Хоз уо) =гзвх (Хо уо). (21.1) Доказательство. Пусть функция 7" (х, у) определена вместе с пРоизводными ух, )в, 7 „и ув в 6-окРестности точки (х„у,) и пусть Лх и Лу фиксированы так, что Лх'+Луз(бз. Будем обозначать, как и раньше (см. и. 20.1), символом Л„, соответственно Л„, приращение функций 7 по аргументу х, соответственно у, в точке (х„у,) **'. Введем обозначения Л.в[= Л. (Л,0, Лв.[= Ли(Л.[) 2ЬД Чаозвыв ороизводные высозвз оорядвов 877 аналогично, Л„Г=Л„(М)= — У(хо+Лх, уо+Лд) — Пхо, до+Лу)]— — [[(хо+ Лх, уо) — [(хо уо)1 (21 4) Сравнивая (21.3) и (21.4), убеждаемся в справедливости соотношения (21.2). Положим теперь Ч (х) = — Пх до+ Лу) — 1(х уо)' тогда (21.3) можно переписать в виде Л.„!'= р (хо+ Лх) — р (хо) В силу того, что в рассматриваемой окрестности точки (х„уо) существует частная производная )„функция ~р(х) днфференци- руема на отрезке с концами в точках х, и х,+Лх.
Из теоремы Лагранжа о конечных приращениях следует, что Л.„(= р'(х,+В,Лх) Лх, О<8,<1. Но ср'(х) =),(х, д,+Лу) — )о(х, У,), а поэтому Л.„[= [1„(хо+ В,Лх, у,+ Лу) — 1„(хо+ ВзЛх, уо)1 Лх. Применяя еще раз ту же теорему о конечных приращениях, ио теперь уже по переменной у, будем иметь Ловг=7,о(х+ В,Лх, уо+ВзЛу) ЛхЛу О < В, < 1, О < В, < 1. (21.5) Совершенно аналогично, полагая ф(у) =Р(хо+ Лх, У) — Р(хо, У) имеем Ло,~ = ф (до+ Лу) — Р (до) =- Р' (до+ ВзЛУ) Лд= =[)в (хо+ Лх Уо+ ВзЛУ) Ро (хо~ Уо+ ВзЛУ)1 Лд = =)о~(хо+ВоЛх, Уз+ ВзЛУ) ЛхЛУ, О <аз < 1 О < Во < 1.
(21.6) Согласно (21.2), левые части равенства (21.5) и (21.6) равны между собой, значит', равны и правые; приравнивая их и сокра- щая на ЛхЛд при Лх~О и ЛУ~О, получим )вв (хо+ ВзЛх, Уз+ ВзЛУ) =)вв (хо+ ВоЛх, уз+ ВзЛУ), 0<8; <1, 1=1, 2, 3, 4. (21,7) В силУ непРеРывности частных пРоизводных гов и гоо в точке х„у„, переходя в (21.7) к пределу прн Лх- О, Лд-~*0, получаем (21.1). [ ) Замечание 1. Из доказанной теоремы по индукции легко следует, что если у функции н переменных смешанные частные производные пз-го порядка непрерывны в некоторой точке, то они не зависят от порядка дифференцирования.
372 д 21. Частныв производные и дифференциалы вьмших порядков Это следует из того, что любые две последовательности дифференцирования, отличающиеся только порядком дифференцирования (т. е. такие, что по каждому фиксированному аргументу они содержат одно и то же суммарное число дифференцирований), можно перевести одну в другую конечным числом шагов, при каждом из которых меняется порядок дифференцирования только по двум переменным, а другие остаются при этом фиксированными. Таким образом, при каждом шаге фактически рассматривается изменение порядка дифференцирования у функции лишь двух переменных, т. е.
в этом случае мы находимся в условиях вышедоказанной теоремы. Тем самым общий случай и сводится к случаю функций двух переменных. Поясним это на примере. Докажем, например, что тххх 1хух. Согласно вышесказанному, имеем последовательно З кух ()к)ух — (тх)гу — ()кх)у ()хх)у — (Уху — (~х)ух — 1 ук Замечание 2. В заключение этого пункта отметим, что, на первый взгляд, доказанная теорема может показаться не очень содержательной: для того чтобы судить о том, имеет лн место Равенство 1„у =)у„ надо, согласно этой теоРеме, пРовеРить непРеРывность фУнкцйхй 1„у и гу„, а дла этого надо как бУдто бы их знать, но если мы их уже знаем, то без всякой теоремы можем выяснить, равны они или нет, Тем не менее теорема 1 все-таки содержательна.
Дело в том, что о непрерывности функции можно иногда судить на основании некоторых общих теорем, не прибегая к конкретному вычислению и исследованию самой функции. Так, мы знаем, что все элементарные функции многих переменных непрерывны в своей области определения (см. п. 19.4).
С другой стороны, частные производные элементарных функций сами являются элементарными, поэтому если, например, частная производная некоторой элементарной функции определена иа некоторой окрестности какой-либо точки, то эта производная и непрерывна в каждой точке указанной окрестности. Задача 18. Докажите, что если функция 1(х, У) определена вместе со своими частными производнымн )х, 1у и 1ху в некоторой окрестности точки (хз, Уз), причем частная производная )ху пейрерывна в точке (хр, ур), то в этой точке существует частная производная )ух и )ух (хо Уз) = !ху (ха. Уз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
