kudryavtsev1a (947413), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Если х=О, то при уФО считается, что агй г = — яйп у, а при х =у =О агй г не определен. Пусть ~г~=г, Агиг=ср, тогда (рис. 94) х=-гсоз ср, у=г эйнар, и поэтому г = х+ су = г (сов ср + ю' ей и ср). Правая часть этого равенства называется тригонолсеспрической формой комплексного числа г. Комплексные числа х,+у,с и х,+ус( считаются равными тогда и только тогда, когда хе=хи и у,=у,. По определению полагают также х+Ос=х, О+ус'=ус, О+Ос= О.
л,З.!. Комплексные кисли Сумма двух комплексных чисел г,=х,+(дт и г,=х,+!уи определяется согласно формуле г,+г,=(хг+х,)+!'(у,+уи). (23.1) Иначе говоря, действительная и мнимая части суммы г,+г, равны суммам соответственно действительных и мнимых частей г, и ге. Разнесть комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению, т.
е. разность г =г, — г, является таким числом г, что г,+г=г,. Следовательно, если г=х+!у, то х,+х+ +!(у,+у) =х,+!уп Отсюда х=х,— х„у=у, — у„т. е. действительная и мнимая части разности гт — г, равны разностям соответственно действительных и мнимых частей чисел гт и г,. Рис. Уб Рис. йб Поскольку геометрически действительная и мнимая части комплексного числа являются его координатами и при сложении (вычитании) координат векторов сами векторы также складываются (вычитаются), то формула (23.1) означает, что геометрически комплексные числа складываются и вычитаются как векторы (рис. 95 и 96). 1троизведеиае двух комплексных чисел г,=х,+(ус и г,=х,+ + (уе определяется по формуле г,г, = (х, + !ул) (х, + !д,) = (х,х, — у,де)+1(х,у, +у,х,). (23.2) Найдем формулы умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.
Если гг= Гс(созфс+! з!п фс), ге — — Ги (соя фи+ ! Б1п фД, то гсг, = г,ге 1(соз ф, сов ф, — з1 и ф, з 1и ф,) + +((созф,з1пф,+3!пф,созфе)]= г,г,(сов(фт+ф,)+райн (ф,+ ф)] ЗЯ2 4' У и Некоторые сввоенин о комплексных числах и многочленох и, таким образом, 1г,г,(=~г,! (гз~, Агд(г, гз)=Агдг,+Агяг,*1. (23.3) Методом математической индукции легко показать, что ~ гзгз . ° 2л ~ =12з1'122 ~ 12л ~~ Агд (г,г, ... гл) = Агя гз + Агй ге +... + Агй гл. ОтСЮДа, ПОЛаГаЯ г,=г,=...=гл=г, ДЛЯ СТЕПЕНИ г, П = = 1, 2, 3, ..., комплексного числа г имеем 1гл1=1'г~", Агягл=лАгяг+2)сп, 72=0, сь1, -+.2, ..., ч*1 в частности, при ( г ~ = 1, т.
е. когда г = сов тр + 1 з1 и ~р, (23.4) (соз ср+ т' з1п ф)л = соз щ+)гйп птр. Это соотношение называется формулой Муавра. а**1 Леление -'- комплексного числа г, на комплексное число гзФ хз ФО определяется как операция, обратная умножению, т. е. число хт г=- — НаЗЫВаЕтСЯ Ч СГЛНЫ24 ОГЛ двдеиия г, На гщ ЕСЛИ г,=г,г. хз Поэтому ( гт1=1гз и г ( и Агд гт = Агн ге+ Аги г, откуда 12(=( -'- = —,'', Агнг=Агй г=Агйгт — Агягз. (23.5) хл Формулами (23.5) комплексное число г= — '- при заданных г, хз и геныч очевидно, определено однозначно. Ряд других свойств комплексных чисел, как, например, коммутативность и ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения и другие свойства, непосредственно следуют из формул, с помощью которых определены зти операции для комплексных чисел, и из соответствующих свойств действительных чисел.
Поэтому не будем на них подробно останавливаться, л Корень и-й степени ги=ртг из комплексного числа г определяется как такое число ти, п-я степень которого равна подкоренному выражению: шл Если 2 =2 (соз ср+16(п р), а нт =р (соз ф+(з)п ф), *' Это равенство, как и вообще все равенства, содержащие Атй, следует понимать как равенство соответствующих множеств. **' Заметим, что АтяхлчьпАтяг, п=2, 3, .... ***' А. М у в в р (1667 — 1764) — французский математик. 23.б Комплексные чнслп то р" (соз ипа+ 1 я и иф) = г (сок ср+ с з(п ~р); л,— отсюда Здесь корень понимается в арифметическом смысле — как неотрицательное действительное число, ибо по определению модуля комплексного числа рЭ:О. Далее, иф=~р+2йя (й — целое), или ~р+ 2кп По существу различные значения аргумента получатся при значениях й=О, 1, ..., п — 1: различные в том смысле, что если обозначить этн значении аРгУмента чеРез Рп и положить ген=- = р(сов~у,+с з1пф,), то при р~ О получатся различные комплексные числа.
При всех остальных й значения ~р будут отличаться от указанных чисел пре на кратное 2п, т. е. эти значения аргумента будут приводить к одному из комплексных чисел в„, й = — — О, 1, ..., и — 1. Таким образом, корень у'г имеет при гФО в точности и значений ю„ю„..., гн„., Рис. 97 Рнс. 9а В комплексной плоскости числа в„, А=О, 1, ..., и — 1, располагаются в вершинах правильного п-угольника, вписанного в круг радиуса р с центром в начале координат. Это следует из того, что аргумент числа вп отличается от аргумента числа юе, при всех й = 1, 2, ..., и — 1 на одно я то же число 2п)п. На рис. 97 изображен случай п = б. Каждому комплексному числу г = х+ Гу соответствует число х — гу, которое называется сопрлженнылс с г и обозначается г; 2 =х — гу. Геометрически число 2 изображается вектором, симметричным с вектором г относительно оси Ох (рис. 98).
аде у 23. Некоторые сведения о нвлгнленвногх числах и л!ного«ленах Свойства сопряженных комплексных чисел 1'. )г!=! г), агпг= — агдг. гв =, г ! ° 3". г=г. гг+гг = гг+гг. г1 г2 ~1 22' 6'. г,г, = г,г,. 7'. (~г-) = —,.'-', гг Ф О. Свойство. 1 очевидно (см рис. 93). Далее, согласно правилу умножения комплексных чисел гг = тх",- гу) тх — 'у) = хь .1. уг = ! г !2. Г) Свойство. 3 также. очевидно: еслн г=к+!у, то г=х — гу и г = л — гу = х+ !'у = ьт ! ! В справедливости свойства 4 можно, убедиться геометрически., взяв параллелограмм, симметричный относительно оси Ох, с параллелограммом, построенным на векторах г, и г, как на сторо- нах !рис. 99), т.
е. параллелограмм, р натянутый на векторы гг и г2. Диагонали этих параллелограммов будут также симметричными друг другу ъ «22 ! относительно осн Ок и, следователь- но, будут соответственно. равными гг ! гт+гг и г,+г,. С другой стороны, о ер последняя диагональ, как сумма е ! векторов г, н г„равна также и г1+г2 П Свойство Б' доказывается аналоГично. Свойства 6' и 7' еледует из того, что модули и аргументы выражений, стоящих в разных частях соответствующих равенств, совпадают. Действительно, используя свойство 1, получиьг ! гггтг ! = ! гггг ! = ! а1! ' ! ав! = ! гг ! ' ! 22 ! =! -1 ' г!2 Агц г,г, = — Агцгггг= — (Агйгг+Аг гД = = — Атфгг — Ахгкгв = Лгфгт+АГЯ Йг = Атйгг«2. Д Аналогичпо доклаываетсв свейатво 7'.
89а заг *. Формальная теория комплексных чисел Для любых комплексных чисел г» и г, справедливо нерааенстсс треуго гьникса 1г,+г»~==.(г,)+(г»~ и его слеДствие ~(гт~ — (г(~ ~г,— г»(. Первое из этих неравенств геометрически означает, что длина стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других ега сторон (см. рис. 05), а второе — что разность длин двух сторон треугольника ие превосходит длины треп ей стороны (см. рис.
9б). 22,2*. ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ Вдумчивый читатель обратил внимание на та, что приводимая в п. 23.1 формулировка явыражения вида г=х-1-(у называются комплексными числами» не .является четким определением комплексных чисел. Множество комплексных чисел С можно определить как множество упорядоченных пар (х, у) действительных чисел, х~Я, у ~ )т, в котором введены операции сложения и умножения согласно следующему определению: (х, у)+(х', у') ='-(х+х', у+у'), (х, у) (х', у') — "'-'(хх' — уу', ху'+х'у), (х, у) е= С, (х', у') е= С. Нетрудно проверить, что в результате этого определения множества указанных пар превращается в поле, т.
е. удовлетворяет условиям 1, 11, 1П п. 2.1. Полученное таким образом поле, а также каждое изоморфное ему, называется полем комплексных чисел. Пары (х, О) обозначаются просто через х (их совокупность изоморфиа полю действительных чисел), а пара (О, 1) обозначается через й ь'~†" (О, 1).
Согласно определенной операции умножения 1»=(0, 1) (О, 1) =-( — 1, 0) =- — 1, т. е, 1»= — 1. Для любого комплексного числа (х, у) имеет место легко проверяемое тождество (х, у) =х+ьу. Действительно, (х, у) =(х, 0)+(О, у) =(х, 0)-1-(0, 1) (у, 0) =х+ту, и мы снова пришли к записи комплексных чисел, нз которой исходили в п. 23.1, Врв у га Некоторые саедення о комплексных числах и нноеочленах 23.3. НККОТОКЫК ПОНЯТИЯ АНАЛИЗА Б ОБЛАСТИ КОМПЛККСНЫХ ЧИСЕЛ 1пп у„= т). и со 1пп хн=$, и са Последовательность комплексных чисел, имеющая своим пределом ноль, называется бесконечно малой.
На последовательности комплексных чисел естественным образом переносится ряд теорем о пределах последовательностей действительных чисел, например, теорема о единственности предела, об ограниченности последовательности, имеющий предел, критерий Коши и т. п. Понятия числовой последовательности и ее предела легко обобщаются и на случай комплексных чисел. Функция, определенная на множестве натуральных чисел и имеющая своими значениями комплексные числа, называется последовательностью колшл.ксных чисел.
Как и в случае действительных чисел, комплексное число г, соответствующее натуральному числу п, снабжается индексом п: гн, и=1, 2, .... Определени 1. Пус(пь задана последовательность комплексных чисел г„=ха+ту„, п=1, 2, .... Число ь — — $+п1 называется ее пределолс, если для любого дейстп- У нательного числа е ) 0 суи(ествугт такой номер п„что при п ~п, выполняется неравенство си н 1г„— ~((е. В этом случае пишут! Оп г„= ь г н ээ и говорят, что последовательность (г„) сходится к числу ь.
Таким образом, по форме это определение совершенно такое же, в г как для предела последовательности действительных чисел. Геометрически, если обозначить через М„ конец радиус-вектора г„, т. е. точку с координатами (хсо у„), а через тч' — точку с координатами ($, т)), то равенство 1пп г„ = ~ будет иметь место в том н а~ и только том случае, когда 1!гп М„=)ч' в смысле и. 18.1. Это и сю непосредственно следует из того„что совокупность концов М = =(х, у) векторов г=-х+(у таких, что 1г — Ь1(е, образует еокрестность точки Лт=-($, Ч) (рис. 100).
Из сказанного следует (см. и. 18.1), что последовательность гн=-ха+ту„сходится к числу ь=$+ст) тогда н только тогда, когда 2В.З. Некоторые лонятил анализа е области комллекснык чисел г97 В 2 8 были введены обозначения «о» и «О» для сравнения функций. В дальнейшем понадобятся такие же обозначения и длч последовательностей. Определение 2. Будем говорить, что последовательность (г„) огра ичена относительно последовательности (иг„) и писать г„.= =- О(ил) *1, если существует постоянная с'= О, такая, что ) г„~( (с( иг„), п= 1, 2, .... Это определение в случае иг„ чь 0„ и = 1, 2, ..., эквивалентно следующему: для двух данных последовательностей (г„) и (ш„) существуют постоянная с'~О и номер п„такие, что ~ге!~с )игл! п=па, па+1, Действительно, полагая в этом случае получим )г„! с(ш„(, п=1, 2, ..., т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
