kudryavtsev1a (947413), страница 82
Текст из файла (страница 82)
е. первоначальное определение. Определение 3, Если г„=-О(иг,) и гол=О(г„), то будем говорить, что последовательноспги (г„) и (иг„) одного порядка и писать гл игл. Определение 4. Буделг говорить, чпго последовательнсспгь (г„) является бесконечно малой гго сравнению с последовательностью (вл) и писать г„=о(иг„), если суи(ествует бесконечно малая последовательность (ал) такая, что г„=-а,иг„, и=1, 2, .... Определение 5.
Последовательноспггг (г„) и (ш„) называются эквивалентными, или асимггтотггчески раень ми, если суи(ествуегп гпакая последовотегьность (ел), что и г„ = елпгл, и = 1, 2, ..., 1птг ел=1 л со В этом случае пишется г„иг„, п=1, 2, .... Упражнения. !. Локазатгч что для того чтобы гл вл, необходимо и достаточно, чтобы г„=зел+е(в„), а=1, 2, .... 2, Доказать: если гл=свл+о(вл), н=1, 2, .„, то ге=О(вл). Можно рассматривать и функции комплексного аргумента.
Например, 1(г)=~г!, ((г)=г'. Обе эти функции определены на множестве всех комплексных чисел, первая из них принимает только неотрицательные действительные значения, вторая и существенно комплексные. л' Иногда к этому добавляют: при л-ьоо. Эаа в 28. Некоторые еееаеаия о камалекених чилах и мвегочленах Геометрически, если функции 2(г) определена на некотором множестве Е н-мерного евклидова пространства Я" и принимает комплексные значения, то она задает отображение множества Е н нлоскасть Например, фаикнни ев=~а) отображает плоскость иа иолуирамую, а фуикнии иь=га впа плоскость ва всю плоскость„как говорят, двукратным абразам — в данкам случае это означает, что при отображении ш=г' каждая точка образа, кроме нуля, имеет прообраз, састоягиий из двух тачек. Если множество Е, на канарам задана некоторая функция, лежит на плоскости л(', то его можно рассматривать всегда при фиксированной системе координат как множество комплексных чисел, а заданную функцию кик функцию комплексного аргумента.
Для комплекспозначных функций, определенных на множестве Е и-мерного пространства гг., можно ввести многие иэ понятий, введенных ранее для действительнозначных функций (предел, непрерывность„частные производиьге, дафферемнируемость, интеграл и др.). В ближайияхх параграфах иам придется встретиться лишь с понятием ограниченности и непрерывности комплексиозначиых функций. Комплексыозначная функция ~(Р), Р еи Е, называется ограниченной на множестве Е, если на этом множестве ограничена функция ~~(Р)(,.
хаким образом, понятие ограни генности комплекснозначной функции Г сводится к иоиятию ограниченности действительнозначной функции ~) ~. Определение 6, пусть комплекснозначная функция Г определена на множестве Е~Е и пусть Р„еыЕ. функция 1" называется неп рерывной в тачке Р„, если для любого а ) 0 суи1ествуелк 6=6(в) )О такое, что для всех точек Р ~ Е, удовлетворяюи1их условию р(Р, Ре)(6, выполняется неравенства Л(Р) — 3(РМ = .
Мы видим, чта по форме это определение полностью совпадает с определением непрерывности для действительнозначных функций (ср. с п. 19.3). В случае, когда Š— плоское множество и, стало быть, его точки можно рассматривать как комплексные числа г, определение непрерывности примет ни~~ функция ~(г) непрерывна в точке г, еи Е, есин дии лаабого а» б существует Ь = Ь(в) ) Ь такое, что для всех геиЕ, удовлетворяющих условию ~г — г„1(6, выполниегси неравенство И(г) — 'г(г)~, =е Кампогеикнозначнан функции, непрерывная и каждой точке некоторого множества, называется непрерывной на этом множестве.
В силу определения непрерывности функции и неравенства О(Р) ~-~М )((=-(ж-ПМ.. 2а4. Риеложение ииоаочлеиоо ии множители очевидно, что если функция 1(Р), определенная на множестве Е с)ти, непрерывна в какой-то точке Р,этого множества: Р,епЕ, то и действительнозначная функция ЯР)( непрерывна на этом множестве. Поэтому, если комплекснозначная функция Г непрерывна иа компакте Е с еси, то, согласно сказанному, функция 1~~ также непрерывна, а следовательно, и ограничена на этом коМ- пакте. Это, по данному выше определению ограниченности фуякцин, означает ограниченность и самой функции 1".
Таким образом, для непрерывных комплекснозначных функций справедлив аналог первого утверждения теоремы Вейерштрасса (см. теорему 3 в и. 19.4): функция, непрерывная на компакте, ограничена иа нем. Переносятся на комплекснозначные функции и теоремы о том, что если две функции ( и д, определенные на некотором множестве Е с Я", непрерывны в точке Р„е= Е, то и функции ~+И, )д, а если а(Р,)~О„то н ~/д иецрерывнй в этой точке. Из этоЛ и теоремы следует, например, что любой многочлен Р„(г) = г', а„г" и.—.— о с комплексными коэффициентами ат А=О, 1, ..., п непрерывен в любой точке гоепС (ср.
с п. 7,1). 23Д, РАЗЛОЖИНИЕ МНОГОЧЛВНОВ Но МНОЖИТЕЛИ Пусть р (г) А го+А -1го '+ ° +А1г+Ао (236) — многочлен с комплексными в общем случае коэффициентами А,, 1=0, 1, ..., и. Если АоФО, то число и называетсЯ стененью многочлена.
Из алгебры известно, что если степень т многочлена йе (х) не превышает степени п многочлена Р„(х), то существуют такие многочлены Яи(х) степени й и 1(,(х) степени 1, что п=т+й, О:.1 т, н многочлен Р„(х) представим в виде Р„(х)= Яи (х) 1е„(х) + И~ (х), Прн этом такое представление единственно. Операция нахождения многочленов Яи(х) и Р,(х) по заданным многочленам Р„(х) и Я (х) называется делением многочлена Р„(х) на 9„(х), многочлен Р„(х) — делимым, Я„(х) — делителем, Яи (х)— частным, Р,(х) — остатком от деления Р„(х) на Я (х). Отметим, что из т=1 следует, что (=О, т. е.
в этом случае остаток от деления является константой. Комплексное число г, такое, что Ро(г,) =-О, называется корнем данного многочлена (23.6). 400 з Ж Некоторые сведения о комнлекснык чнслах и мноеочленох Если многочлен Р„(г) степени п=.-1 разделить на г — ь, где ь — какое-либо комплексное число, то получим Рл (г) = (г — Ь) Я„ я (г) + г, где яе„я(г) — многочлен степени и 1, а остаток г — постоянная. Отсюда непосредственно следует, что число г, является корнем многочлена Р„(г) тогда и только тогда, когда многочлен Р„(г) делится без остатка на г — г„ (теорема Безу *я). Если многочлен Рл(г) делится на (г — г„)» (й — положительное целое) и не делится на (г — г,)", то число я называется крат- носпяью корня ге Таким образом, если комплексное число г, является корнем кратности я многочлена Р„(г), то Ра (г) = (г — га)» Яе„ » (г), где Ол»(г) — такой многочлен степени и — Я, что Я,Я„»(ге) ~ О.
В курсе алгебры доказывается, что всякий ляногочлен Р (г) степени п ==1 имеет по крайней мере один корень г,. Если его кратность равна )е„то, как отмечалось, справедливо разложение Рл(г) =(г гя) 'Як-»,(г) Йл-»,(гя) Ф О, где степень многочлена Я„м(г) меньше и. Многочлен Я„»,(г), если его степень больше 1, также имеет' хотя бы один корень га Если кратность этого корня равна я„то Р„(г) =(г — г,)» (г — г,)" Ол», », (г), Ян», » (г,) ФО, Я„», »,(г,) ~0, Продолжая этот процесс дальше, через конечное число т шагов получи»я многочлен нулевой степени Р„», » (г) = Ал и, сле- довательно, для многочлена Р„(г) справедливо следующее разло- жение на множители: Р„(г) = А„(г — гя)~1 (г — га)"а ... (г — г„)», (23.7) где )ея+яа+... +77 =и, откуда следует, что каждый многочлен степени пзь! имеет в точности и корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.
Для многочлена (33.6) обозначим через Р„(г) многочлен, коэффициенты которого являются комплексными числами, сопряженными коэффициентам многочлена Р„(г): Р„(г) = А„г" +А„,гл-'+ ... +А,г+А,. Многочлеи Р„(г) называется мпогочленом, сопряженным много- члену Рл(г). *' 3. Б е з у (Я730 — 1783) — французский ма~ем»тик. гдг. Разложение зногочленое не множители 401 В силу свойств сопряженных комплексных чисел имеем Р, ( )=- Р„(г).
Действительно, Рн(г) =- Анг" + Ам тгн-т+ ... + Анг+ А« —— =Англ+Ан тг"-'+ ... +Атг+Ае=-рн(г). Очевидно также, что Р(г) = Р(г). Покажем, что если число г, является корнем многочлена Р„(г) кратности й, то сопряженное ему число г„является корнем сопряженного многочлена Рн(г) н притом той же кратности. В самом деле, переходя в формулах Р„(г) =(г — ге) тг -«(г) Я~-«(ге) ~0, к сопряженным выражениям, получим Р„ (г) = (т — ге)' с)н « ( ), с)„ « (ге) Ф О. Полагая для наглядности 1=в (=, как н г — произвольные комплексные числа), перепишем-полученные формулы в виде Р„ (ь) = (й — де)«(7н « (Ь), Ч н « (ге) ~ О.
Это и означает, что число г, является корнем кратности й.для многочлена Р„(г). Пусть теперь все коэффипиенты многочлена Рн(г) суть действительные числа. В этом случае сопряженный многочлеи Р„(г), очевидно, совпадает с самим многочленом Р„(г). Поэтому иэ доказанного следует, что если комплексное число г, является корнем кратности Ь многочлена Р„(г) с действительными коэффициентами, то и сопряженное ему число ге также является корнем кратности Ь этого многочлепа. Отметим далее, что произведение (г — ге) (г — г„) всегда является многочленом (относительно г) с действительными коэффициентами. Действительно, пусть г,=а+И, где а и Ь действительны. Тогда ге = а — И, и поэтому (г — ге) (г — гн) = (г — а — И) (г — а+ И) .= =(г — а)т+Ье=ге — 2аг+а'+Ь'= ел-рг-~-(т, (2з,й) где положено р=- — 2а и д=-а'+Ье; очевидно, р и д действи~е тельны. Отметим, что -- — д=-= — Ь', поэтому при Ь =~О, т.
е. 4 тогда, когда корень г„яглястся существенно комплексным числом, выгстп~ ется неравенство — — — д < О. пч 4 (23.9) 40л д лд. Некоторые сведения о комплексных числах и мноеочленах Обратим внимание и на справедливость обратного утверждения: если выполнено неравенство (23.9), то корни трехчлена хе+ рг+с) (р и т1 действительны) — существенно комплексные числа. Из сказанного следует, что для всякого многочлена степени и с действительными коэффициентами справедливо разложение на множители вида Р„(х) = А„(х — ат)"т ... (х — рт)"т(х'+ ртх+дт)~' ... ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
