kudryavtsev1a (947413), страница 78
Текст из файла (страница 78)
чункция, имеющая в некоторой точке (или, соответственно, на некотором открытом множестве) непрерывные частные производные всех порядков до'некоторого порядка и включительно, называется т раз непрерывно дифференцирувяой в этой точке (на этом множестве). Л.2. Дифференциалы высших порядков Заметим, что, для того чтобы функция имела в точке (на открытом множестве) непрерывные частные производные всех порядков до некоторого порядка т включительно, достаточно, чтобы она имела в этой точке (на этом множестве) непрерывные частные производные порядка т. Действительно, из непрерывности всех частных производных порядка т в точке (на открытом множестве), согласно следствию из теоремы 3 в п.
20.2, вытекает непрерывность всех частных производных порядка т — 1 в рассматриваемой точке (на рассматриваемом множестве). Из непрерывности же частных производных порядка т — 1 вытекает (в случае т~1) непрерывность частных производных порядка т — 2ит.д. 202. ДИФФЕРВИЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Функция от 2п переменных х,, ..., х„у,, ..., у„, нли, что то же, от упорядоченной пары точек п.мерного пространства х=(х„..., х„), у=(у„., у„) вида А (х, у) = А (х,, ..., х„; у„..., у„)= ~ амх;уы с ь=! гле ам — заданные числа (1', й=-1, 2, ..., и), называется билинеинои формой от х и у.
Это название объясняется тем, что если одну из точек х или у зафиксировать, то функция будет линейной относительно координат оставшейся точки. Функция А (х, х) называется квадратичной формой, соответствующей данной билинейной форме А(х, у): я А(х, х)=А(х„..., х„', х,, ..., хь)= Я амх,хь.
и *=! В случае, когда ам = ам, 1, й =-1, 2, ..., и, билинейная форма А (», у) и соответствующая ей квадратичная форма А (х, х) называются симметричными. Например, скалярное произведение двух векторов х =- = (х„х,, ..., х,) и у=(у„уе, ..., уь) и-мерного евклидова пространства »»" ху =- х,у, + х»ув+... + х,,у„ является симметричной билинейной Формой точек х=-(х„х,, ... ..., хе) и у==(иь уе.....
уя), а квад:ат длины вектора )х~— соответствующей ей квадратичной: ~ х ~' = х(+ х)+... + х;",. В дальнейшем для удобства изложения будем обозначать дифференциалы не только символом й, но и символом 6, напри- ауе у гг частные нроиэводнвсе и дифференциилвс высотах ворвдхов Поскольку, согласно сделанным предположениям, частные дг дг производные — - и — имеют на открытом множестве непрерывдх ду ные частные производные д дг дэг д дг дег д дг дег и дх (дх) дхг ' ду (дх) дудх ' дх (ду) дхду ~(Ф) =-',г дг дг то в силу теоремы 3 из п. 20.2 — и — также дифференцируемы дх ду на множестве 6. Поэтому дифференциал дг, рассматриваемый как функция только переменных х и у, в свою очередь является дифференцируемой на множестве 6 функцией.
Вычислим дифференциал от первого дифференциала дг, считая дх и ду фиксированными, а точку (х, у) — принадлежащей области 6: (х, у) е-:6, при этом новое дифференцирование обозначим символом б: 6(дг)=6(дхдх+ д — ' ду) = (6 дх)дх+ (бт)ду= дгг д'г дгг дхг дхбх+ дхд (дхбу+бхду)+ д дубу. Обратим внимание на то, что непрерывность вторых производных была использована не только для того, чтобы проведенные вычисления имели смысл (т.
е. для того чтобы во всех расдг дгц сматриваемых точках существовали дифференциалы 6 — и 6--) дх дугт мер, писать не только дг дг дг дг дг= — — дх+ — ду, но и бг= — бх+ — бу, дх ду дх ду причем дифференциал какой-либо функции будем называть также и ее первым дифференциалом. Пусть функция г=г(х, у) имеет непрерывные первые и вторые частные производные на некотором открытом плоском множестве 6 (такие функции, согласно определению предыдущего пункта, называются дважды непрерывно дифференцируемыми на множестве 6).
Из непрерывности на множестве 6 частных произдг дг водных — — и — — следует, как мы знаем (см. теорему 3 в п. 20.2) дх ду дифференцируемость самой функции г(х, у) в каждой точке этого множества. Таким образом, для всех точек (х, у) ен6 определен дифференциал дг(х, у), дг(х, у) г= дх х+ ду У. 262. Дифференциалы высших порядков 275 ио и для того, чтобы в процессе вычислений ие обращать виимания иа порядок дифференцирования. Действительно, было показаио (см.
п. 21.1), что в случае непрерывности смешанных дгг дгг частных производных — и — оии совпадают, поэтому для деду ду дг их обозначения может быть использовав один и тот же символ, что и было сделано при указанных вычислениях. В результате получилась симметричная билинейная форма переменных йх, иу, бг, бу. Полагая бх=йх, бу=ду, получим соответствующую ей квадратичную форму, которая и называется вторым дифференциалом функции г=г(х, у) в данной точке (х, у) ~ б и обозначается г(гг.
Таким образом, мы пришли к следующему определению. Определение 2. Вторым дифференциалом Рг функции г = =Г(х, у) в данной точке назлвается квадратичная форма от дифференциилов йх и йу независимых переменных, соответствую- и!ая билинейной форме дифференциала от первого дифференциала, т. е. г(гг = — йх' -1- 2 йхйу+ . — дуг. д-'г Уг д'г дхг ' дг ду ду' (2!.8) На практике при конкретном вычислении дифференциалов обычно совмещаются оба шага — вычисление дифференциала от диффереициала 6(йг) и приравииваиие диффереициалов аргументов при последовательных дифференцированиях: бх =-йх, бу = г(у. Например, пусть г=к'соз'у и требуется найти игг.
Последовательно имеем: у=о (21.9) г(г = — Зх' соз' у йх — х' з 1п 2у йу, йгг = бх созг д йхг — Зхгз(п 2у ах ду — Зх' з1п 2у йх г(у— — 2х' соз 2у дуг = бх созе у йх' — бх' з ! и 2у дх йу — 2х' созе 2у дуг. Аналогичным образом при непрерывности частных производных третьего порядка можно вычислить и дифференциал от второго дифференциала 6(дгг), после чего, полагая бх=дх и бу=йу, мы получим по определению третий дифференциал. По индукции определяется и дифференциал (т+ 1)-го порядка й "г, т=1, 2, .... Именно, чтобы в предположении иепрерывности у рассматриваемой функции г(х, у) всех ее частных производиых до порядка т+1 включительно иа некотором открытом множестве получить ее дифференциал й"+'г, надо взять диффереициал от дифференциала й г порядка т: 6(а г) и положить бх=с(х, бу=йу.
При этом для дифференциалов порядка т= =1, 2, ... справедлива формула 876 21.2. Дифферепциахы вв1еших порядков ее обычно символически записывают в следующем виде, более удобном для запоминания: г( г= ( — 1(х+ -д-Ф) !'(х, у). (21. 10) Докажем формулу (21.9) по индукции. При т=1 она, очевидно, верна. Пусть она справедлива при некотором т, покажем ее справедливость при т+1. Имеем 6 (1(ыг) К1 я / ды+'г д~+!г 7 С,„д, х„~ я бхе(х -'Йу" + д яд я.— !!(х"- буг(У"). о=о Положим бх=г(х и 6у=о(у; тогда я=-о дыег + ~о С'" дхт -ядерно !1~ е!(У~ и=о Заменим во второй сумме индекс суммирования р на А — 1 и заметим, что С" +С" ' =С" +,', окончательно получим: 11 "г = — ~ С о(х "+11(УЯ+ т д.ы-яе!д! я яч ю+1 ды "гг + ~~, ы дяы я,д„я Х" "1О(У"= о=! ы -!- 1 ды"' — ~, С +1, д и Йх '«г(у".
~ я=-о Замечание, Следует иметь в виду, что если имеется сложная функция г= — г" (х, у), где х=х(и, о), у=у(и, о), то второй дифференциал функции ), записанный через дифференциалы переменных х и у, уже не будет, вообще говоря, иметь вид (21.8), а будет, как правило, выглядеть сложнее. Таким образом, в случае дифференциала высшего порядка (т.
е. порядка, большего или равного двум) не имеет места инвариаитиость формы дифференциала относительно выбора перемйнных. Чтобы в этом убедиться,- вычислим в рассматриваемом случае второй дифференциал функции г=((х, у), где х=х(и, о), у=-у(и, и). В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем о(г = — г(х+ — 1(у. дг дг дх др 21.2. Дифференцпалзг аысогих порядков 377 Далее вычислим дифференциал 6(г(г), считая, что би =с(и, бп=е(п. Использовав инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных и заметив, что дифференциал 6(г(х) есть дифференциал функции и, значит, вообще говоря, не ноль, получим 6(г(г) "=.
„=6(д т(х+ д М) 1' дг дг '( дх ду дх / ~ду) дх + ~Юг 1 +дг г+ дг з +дг дхг дхду дуг дх ду На практике и в этом случае обе операции: вычисление диффереициалов и приравнивание дифференциалов би = с(и, бп =с(п— производятся одновременно, т. е. запись 6(с(г)(з, „„ считается (аз=ее равноправной записи Й(с(г). Все сказанное, в частности определение дифференциалов высших порядков, естественным образом переносится на функции большего числа переменных. Отметим, что дифференциал пьго порядка от функций а переменных у =у(х„ ..., х„) имеет вид с("у=~д,.— ~(хт+" +д-,.— «хл) у(хы ..., х„). (21.11) l д д т(ы1 Доказывается эта формула аналогично формуле (21.10). Уп р аж не ни я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
