kudryavtsev1a (947413), страница 100
Текст из файла (страница 100)
теорему 3), 1! п! го (б„у) = О (см. теоо,-о о,-о рему 5 в п. 19.6) и 0~1, -3. Поэтому !пп (сгг — Ь,) =О, а поь,-о скольку 1!гпос=2л)у(э)сЬ, то и 1пп (,,=2л$ у(э)г(э. Сделав о о, в последнем интеграле замену переменного э=э(1) и вспоминая, что сЬ='г' х'е+у'эс(г, получим: ь= 2л~ у У х" +у'" с(г'. а ь Е= 2л )уУ 1+у' Ух.
а (32.23) Вспоминая, что (см. п. 16.4) )г 1+у' г(х=г(э, формулу (32.23) можем переписать в виде Е=2л ) уг(э. о Предложенный вывод формулы (32.20) имеет некоторый недостаток, так как в этом выводе по ходу дела уже использовалось понятие площади поверхности н ее аддитнвность, правда, лишь в простейшем случае — для поверхностей усеченного конуса и их объединений.
Можно ввести общее понятие площади поверхности, не используя понятие площади поверхности для каких-либо элементарных поверхностей, и получить ее необходимые свойства. Эти вопросы будут рассмотрены в дальнейшем в и. 50.5. Если кривая у задана явным уравнением у=~(х), аа-х~яЬ, то формула для площади поверхности, образованнои вращением графика функции 1 вокруг оси Ох, имеет внд З2.б. Работа еилм 507 Примеры. 1.
Найдем площадь 5 сферы радиуса г. Указанная сфера может быть получена вращением полуокружности у=!» г' — х', — г--х= «, вокруг оси Ох. Однако это явное представление полуокружности не является непрерывно дифференци- х руемым: производная у'= — обращается в бесконечность Ьггь — хь при х=-+.г. Гораздо удобнее взять параметрическое представление полуокружиости х=гсоэг, д=«5!пг, 0~1~и. Тогда х'= — ге!п1, у'=« сох 1; поэтому площадь 5 поверхности сферы радиуса г легко вычисляется по формуле (32.20): о = ~ у 'г' х' + у' Ш = 2лг' ~ а (п 1 Й = 4лг'.
о о 2. Найдем площадь Я поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги цепной линии (см. рис. 107) у=ас)т —, — Ь~х(Ь (эта поверхность называется катеноидом). По формуле (32.23) имеем: ь о = 2ла ~ с)1 — "- 1»7 ! + э)1ь — »(х = а « о — 'ь ь ь = 2ла ~ с)1' -е(х=ла ~ (1+с)1 — ', Их=па(2Ь+аз!1--).
— ь — ь 32Д. РАБОТА СИЛЫ Пусть материальная точка М движется по непрерывно дифференцируемой кривой Г = (г = «(э)), где э — переменная длина дуги, О~э ~8. Пусть на рассматриваемую материальную точку, находящуюся в положении г(э), действует сила Р(э), «(91) г«11) направленная по касательной к траектории в направлении дви- «(и-») жения. Возьмем какое-либо разбиение т=(э»)';.=ьо отрезка (О, Я. г(т») г(ь„») «(т» Ему соответствует разбиение «(ь») траектории Г на части «(»») Гь=(г(э), э»,(э=-э), Рис.
!29 Выберем произвольно по точке с» ~ 1э, „эД, ! = 1, 2, „й (рис. 129). Величина Р($») Лэ„Аа» е ໠— э» 1, 1=1, 2, ..., й называется эле- Вбв в За Геометрические и рягпчегкпг приложения интеграла и, следовательно, Ит = ~ Р (в) йв. о (32.24) Если положение точки на траектории ее движения описывается с помощью какого-либо другого параметра ~ (например, времени) и если величина пройденного пути в=в(!), ак.1-..=..б, является непрерывно дифференцируемой функцией, то из формулы (32.24) получим: ь %'= ~Р(в(~))в'(1) йб а 32.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ МОМЕНТОВ И ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ КРИВОЙ Пусть т)4 — мачериальная точка массы от с координатами х и у. Произведения ту н отх называются ее моменпгами соответственно отпносительно осей Ох и Оу. Пусть Г == (т (в), О -= з = 5) — спрямляемая кривая, где в — переменная длина дуги.
Будем считать, что кривая Г имеет массу и что масса ее дуги прямо пропорциональна длине дуги; если йп — масса дуги длиной Лв, то Лт =- РЛв, где р — некоторая постоянная, называемая линейнол плотностью кривой Г. Такие Ьт кривые в механике называются однородными. Поскольку р== Ач то плотность равна массе длины дуги кривой, приходящейся на единицу длины дуги. Будем считать для простоты, что р =!, т, е. что масса части кривой длины Лв также равна Лв, в частности, что масса всей кривой численно равна о.
ментарной работой силы Р на участке Г; и принимается за приближенное значение работы, которую производит сила г, воздействующая на материальную точку, когда последняя проходит кривую Гь Сумма всех элементарных работ ~, г ($ч) Лвч является 1 интегральной суммой Римана функции г (ч). Определение 2. т(р дел, к которому стремится сумма ~ч , 'Р (~д Лв; всех злементарньчх работ, когда мелкость б, разбиеч=1 нил т стремится к нулю, называется работой силы г вдоль кривой Г. Таким образом, если обозначить эту работу буквой йг, то в силу данного определения )т'=!нп ~Х~ Р($ДЛзч ь,-о; Л2.6.
Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой ЕОУ М, =- ~ х йв. (32.27) о Определение 4. Точка плоскости Р=(хо, уо), обладаю!цап тем свойством, что если в нее поместить материальную точку массы, равной массе кривой (в рассматриваемом нами случае массы 5), пго зта точка относительно любой координатной оси имеет статический момент, численно равный статическому моменту кривой относительно той же оси, называется центром тяжести данной кривой. Таким образом, 5хо ™д 5уо ™х. откуда в силу формул (32.2б) и (32.27) для координат центра тяжести получаем формулы 1 ! 1 С хо= о 1 хйв Уо= — Уйз.
В~ о (32.28) Пусть теперь т=(вг[,'.=,'— какое-либо разбиение отрезка [О, 5], Лв= в! — з! „!.— -1, 2, ..., я. Разбиению т соответствует разбиение кривой Г на части Г;=(г(в), вг,~в~в!). Выберем по какой-либо точке $! ~ [в! „вс] и положим хо =х($!), у, = у Я!), ! = 1, 2... й, Величины угЛв! при любом выборе указанных точек С! назы- ваются злементарнылси статическими моментами части Г! кри- вой Г относительно оси Ох.
Очевидно, элементарный статический момент Г! численно равен моменту материальной точки массы Лв с ординатой уи т. е. мы как бы заменили данную непрерывную кривую Гй материальными точками. Определение 3. Предел, к которому стремится сумма ч', у! Лвс (32.25) ! =- ! всех ллелсентарных лсол!енпгпв, ковда мелкость разбиения т стре- мится к нулю, называется моментом Мх кривои Г относительно оси Ох. Этот предел всегда существует, ибо, по определению кривой, функция г=г(з), а значит, и координатные функции х=х(в), у=у(з) непрерывны на отрезке [О, 5]; сумма гке (32.25) является интегральной суммой Римана функции у(в) и потому при б- 0 стремится к интегралу ~у(з) йв.
Таким образом, о М = — ~ усЬ. (32.26) о Аналогично определяется и вычисляется момент М» кривой Г относительно оси Ох: В!О Э В2. Геометрические и физические приложения интеграла Сравнивая формулы для ординаты центра тяжести кривой уоЯ=~ ус(в и для площади Е поверхности, полученной от врао щения этой кривой вокруг некоторой осн Е=2п~уйв, получим о интересное соотношение Е=2пуоЯ (здесь под кривой понимается непрерывно дифферепцируемая кривая без особых точек), составляющее содержание так называемой первой теоремы Г ульди на*'.
Теорема 5 (Гульдин). Плошадь поверхноспш, полученной от вращения кривой около некоторой не пересекающей ее оси, равна длине этой кривои, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести этой кривой. В случае, когда известно положение центра тяжести кривой, теорема Гульдина позволяет просто находить площадь соответствующей поверхности вращения. Например, площадь поверхности, полученной от врац1ения окружности (х — а)'+у'=г', 0(г(а, вокруг оси Оу (такая поверхность называется тором) легко вычисляется указанным способом: Е=2па 2пг=4яааг, так как центр тяжести окружности совпадает с ее центром. В качестве примера вычисления центра тяжести кривой по формуле (32.28) найдем центр тяжести цепной линии у=асй--, в Ь =-х ~ Ь. В силу симметрии цепной линии относительно оси Оу имеем М, =О. Действительно, выбирая за начало отсчета дуг точку цепной линии, лежащую на оси Оу, и обозначив длину всей цепной линии через 25, получим М =- ~ х(э) йэ=О, ибо х(в) — нечетная функция.
Из равенства М =О в силу формулы (32.28) следует, что х,=О. Далее, М„= ~ ус(в. Как отмечалось выше, 2пМл= — Е„, где Ел — площадь поверхности, образованной вращением цепной линии вокруг осн Ох, и, следовательно (см. п. 32.4), Е =па(2Ь+азп — — ), поэтому М„=---(2Ь+азй — ). 2Ь1 а 2Ь '1 а )' 2(, ' а) ч~ П. Гулькин (1577 — 1643) — нсвейнарский математик. 83.1. Определение несобственных интегралов б)1 С другой стороны, заметив„что длина 23 цепной линии легко вычисляется по формуле (32.15): ь ь +и ~ р< + а — ь — 'ь ь = ~ сЬ вЂ” "- бх = а з)т — ~ = 2а Й вЂ”; — 'ь в силу формулы (32.28) получим уа — — (25+ а з)т — )/4 з)г —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
