kudryavtsev1a (947413), страница 103

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 103)

Если, в частности, )(х)-=.а(х) для всех хеи(а, (т), то говорят также, что !(х) мажорируется функцией д(х) илн что а(х) служит леажорантпой для !(х). Эффективность использования критерия сравнения для реше- ния вопроса о сходимостн интеграла зависит, конечно, от запаса функций сравнения, о которых известно, сходится или расхо- дится несобственный интеграл от них, взятый по рассматривае- мому промежутку, и которые, тем самым, можно пытаться исполь- зовать для исследования сходимости данного интеграла. Заметим, что утверждение, аналогичное теореме 1, справедливо, конечно, и для несобственных интегралов типа (33.6), В качестве функций сравнения а(х) часто достаточно брать степенные функции.

Именно, в случае конечных промежутков (а, о) и (а, Ь! берутся, соответственно, функции д(х)= — „и 1 ь ь 1 Г бх Г Нх д(х) = „, интегралы от которых ~~ „„, 31 — сходятся при а(! н расходятся при а»1 (в этом легко убедиться, сведя указанные интегралы линейной заменой переменной к инте- 1 Г бх гралам ~ -„, рассмотренным в п. 33.1). В случае же бесконечо ных промежутков (а, +со) и ( — со, (1! за функции сравнения берутся, соответственно, д (х) =- — и а(х) = — „интегралы от 1 1 + ОЭ вЂ” 1 Г бх Г дх которых 3! - - и ~ —, сходятся при а)1 и расходятся при ха 3 1ха 1 О а -1 (см.

примеры в п. 33.1). Отметим еще, что, очевидным образом, все сформулированные признаки сходнмости и расходимости интегралов остаются в силе (с очевидными изменениями), если в них условие неотрицатель- ности функции р заменить условием ее неположительности (это ь следует из того, что интеграл ) ( — )(х)) е(х сходится тогда и а ь только тогда, когда сходится интеграл )г(х)с(х). а Пр и меры. 1. Интеграл 1 83.8. Интегралы ат неотрицательных функций о27 сходится. В самом деле, обозначая через )' подынтегральную х' функцию р(х) = „и беря в качестве функции сравнения т~! — хг 1 ! Ы(х) = —,— здесь се =--, !' ! — х имеем !!гп —" = 1!щ ~'1 -х " В ! — ой(х) х-! — о 1~1 — хе „! о )г1~ „ поэтому, согласно следствию из теоремы 1, интеграл (33.20) сходится.

1 2. Интеграл ~ ьс(х расходится. Чтобы убедиться в этом, ! ! — хь о достаточно взять в качестве функции сравнения д (х) = —, ! здесь а = 1. В рассмотренных примерах выбор показателя сь у функции сравнения можно было сделать сразу, исходя из конкретного вида заданной подынтегральной функции. Иногда, когда такой выбор сразу не ясен, приходится предварительно проделывать некоторые дополнительные исследования, например, попытаться выделить ее главную часть, прибегнув к формуле Тейлора. Рассмотрим подобные примеры. 3. Интеграл ! ~ 1и х с(х (33.21) о сходится. Действителы!о, по правилу Лопиталя при любом а~О, в частности при 0 -гх(1, имеем 11п! — = Вп! 1п х . 1/х цо ! х эо х" 1 — — Вт ха=О, Рис.

!ед х -,'-о поэтому, согласно следствию из теоремы 1 (точнее, его аналогу для неположительных функций), интеграл (33.21) сходится. Геометрически сходимость и расходимость интегралов (33.9), (33.10) и (33.21) означает конечность или бесконечность площадей соответствующих «бесконечных криволинейных трапеций», сравнительное располомсение которых изображено на рис. 133.

Э 83, Несобственнае интеграее! 4. Для выяснении вопроса о сходимости интеграла 1 Ф (33.22) (33.23) 3 сходится. Действительно, возьмем ос=- - — в, в->О. Тогда, применив снова правило Лопиталя, получим: 3 з — — е 1ип = 1!п! И1п — = !!гп — =О.

хт 1пх . хт ! 1пх . 1 х +со Ух'+! . !.о,Ух'+1х-! !о~ хе х-.~.«сей' 3 Выберем е)О так, чтобы -- — е)1; в 'этом случае интеграл + а~ бх — сходится, а потому, в силу следствия из теоремы 1, сходится и интеграл (33.23). 6. Исследуем сходимость интеграла +'"1и сое-- 1 р е(х. (33.24) Здесь подынтегральная функция всюду отрицательна. Очевидно, интеграл (33.24) сходится или расходится одновременно с инте- гралом + !и сое— (33.25) 1 у которого подынтегральная функция всюду положительна. Разложив функцию 1п сов — по формуле Тейлора, получим 1 х !и ~! — —,+о(- .~ ~ — !псоэх- хр заметим, что 1пх=!и[1+(х — 1)) х — 1 при х-+1, и возьмем 1 1 — х за функцию сравнения д(х) = —, (се=!).

Тогда !пп:= — 1, х — 1' !пх и, следовательно, интеграл (33.22) расходится. 5. Интеграл ЗЗМ, Критерий Коши сходимости несобственных интегралов Яэ 1 1и сы— х 1 Таким образом, — „— „при х-ь+оо и, следовательно, интеграл (33.24) сходится при 2+р~1, т. е. при р) — 1, и расходится при р« — 1. В примерах 2 и 3 сходимость рассмотренных там интегралов можно было бы установить, вычислив их по формуле Ньютона— Лейбница.

Однако, выясненне сходимости интегралов с помоцью признака сравнения обычно требует меньше вычислений, чем посредством предварительного их нахождения по формуле Ньютона — Лейбница. Важно отметить, что используя признак. сравнения, можно выяснить сходимость интегралов, конечно, и в случае, когда первообразная подынтегральной функции не является элементарной, и, следовательно, обычным приемом, с помощью формулы Ньютона — Лейбница, интеграл заведомо не вычисляется, как это было в примерах 4 и 5. Подчеркнем еще раз, что признак сравнения для выяснения вопроса о сходимости несобственного интеграла можно применять только для функций, не меняющих знака. Возникает вопрос: как выяснить, сходится или расходится несобственный интеграл в случае, когда подынтегральная функция меняет знак? В следующих пунктах мы и займемся изучением этого вопроса.

33.4. КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ь Теорема 2. Для сходииости интеграла ) р" (х)дт необход мо и достатпочно, чтобы для любого е) О суи(ествовало таксе число т1=т1(е), а«т1(Ь, что если Ч(т! (Ь, т1(т! (Ь, то ! 1!" $ )(х) т(х (е. (33.26) Доказательство. Поло- й т т жим !р (т1) = ) р (х) т(х, а «т! ( Ь « Ри . 1Зй а ь «+со. Тогда сходимость интеграла ) р'(х)г(х, т. е.

существова- а нне предела (33.1), означает существование предела 1пп !Р(ч). ч-ь В силу же критерия Коши для наличия конечного предела функции тр(т1) при т1-~Ь необходимо н достаточно, чтобы для любого е)0 существовала такая левосторонняя проколотая окрестность У (Ь; т1) = (х: т! < х < Ь) точки Ь, т. е.

существовало такое число т)„ ь" ЗЗ. Несобственные интегралы аа=.ц<Ь, что для всех ц'яУ(Ь; ц) и т~" ен У(Ь; Ч) (что равносильно условвю: ц < ц' < Ь, т? < т~е < Ь) выполнялось бы неравенство (33.27) 1Т(Ч") — Р(Ч'?1< . Поскольку ч" и тр (Ч") — ~р (и') = ~ г (х) дх — ~ р (х) дх = ~ ? (х) дх, а а Ч' то неравенство (ЗЗ'.27) равносильно условию (33.26) (рис.

134). П Теорема 2 называется критерием Коши сходимости интеграла, ЗЗЛ. АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЕСЯ ИНТЕГРАЛЫ Важным понятием для несобственных интегралов от функций„ меняюших знак, является понятие абсолютно сходяшегося инте- грала. ь Определение 2. Несобственный интеграл ~7(х) дх называется а ь абсолютно сходяи4имся, если сходится интеграл ~ ?~(х) (с(х. а ь Функции, для которых интеграл ) р(х) е(х абсолютно сходится а называются абсолютно интегрируемыми (в несобственном смысле) на промежутке с концами а и Ь. В случае, когда а и Ь конечны, говорят также, что функция р абсолютно ннтегрируема иа отрезке (а, Ь), Из теоремы 2 непосредственно следует критерий абсолютной сходимости интеграла. ь Теорема 3.

Для того юпобы интеграл )7(х) дх абсолютно схоа дился, необходимо и достаточно, чтобы для любого е ) О сри(ест- вовало такое т~=ц(г), что если и <Ч'<Ь и т?<т1" <Ь, то ') ! 7'(х) )е(х <е. Эта теорема называется критерием Коши абсолютной сходи- мости интеграла. Напомним, что, как всегда, здесь предполагается, что функ- пия р интегрируема по Риману иа любом отрезке (и, ц), где а=.в? <Ь, — со < а<Ь =-+со.

Признак сходимости интегралов от неотрицательных функций, очевидно, применим также и для выяснения абсолютной сходи- мости интегралов. Пусть, например, требуется выяснить: схо- 585. Абсолютно сходящиеся ангееролы 5от' дится или нет интеграл ~ — '"*»*. (33.28) ~ )Г(х) ( с(х «.е. (33.29) Поскольку ~ Г(х)с(х « ~ (~(х))с(х, то в силу неравенства (33.29) для любых указанных т)' и т1" имеем ! ~ Г (х) г(х ( е, поэтому в силу критерия Коши сходимости интегралов (см.

теоь рему 2) интеграл )Г(х) г(х сходится. 11 У п р а жнен не 1О. Если несобственный интеграл от функции, определенной на отрезке абсолютно сходится, то он и просто сходится. Интеграл Римана является частным случаем несобственного интеграла. Следовательно, если существует интеграл Римана от абсолютной величины фуннции, то существует и интеграл Римана от самой функции.

Это неверно (привести соответствующий пример0. Где ошибка в проведенном рассуждении? Существенно отметить, что интеграл может сходиться, но не сходиться абсолютно. В качестве примера рассмотрим интеграл + са ~ — с(х. в (33.30) + О» 1созк! ! ок Поскольку 1 —,~« —,, и интеграл —; сходится, то согласно + о» 1созк! признаку сравнения сходится и интеграл ~ —,~с(х, т. е. интеграл (33.28) абсолютно сходится. Важная связь между сходнмостью и абсолютной сходимостью интегралов устанавливается следующей теоремой. Теорема 4.

Если интеграл абсолютно сходится, то он и просто сходится. Доказательство. Пусть задано е)0. Если интеграл ь )Г(х)г(х абсолютно сходится, то в силу критерия Коши абсолютной сходимости интеграла (см. теорему 3) для любого е)0 существует такое т)=т)(е), что если т1(т1'(Ь, т1(т1" «Ь, то Э 8З. Несобственные интегралы ба2 Прежде всего, заметим, что поскольку Игп — =1, то подынтеМп х к в гральная функция, доопределенная единицей при х = О, будет непрерывной на полупрямой х= 0 и, значит, интегрируемой, по Риману на любом отрезке 10, Ч), в частности — на отрезке 10, Ц. Поэтому вопрос о сходимости, соответственно абсолютной сходи- мости, интеграла (33.30) эквивалентен вопросу о сходимости, соответственно абсолютной сходимости, интеграла ) — "",*г .

Характеристики

Список файлов книги