kudryavtsev1a (947413), страница 107
Текст из файла (страница 107)
Монотонная же последовательность сходится в том и только том случае, когда сходится хотя бы одна ее подпоследовательность (см. замечание после теоремы 3 в и. 3 5). ( ) Лемма 2. Для того апобы ряд (35.1) с пестри>(ательными членами сходился, необходимо, чтобы последнии>пельность его частичных сумм была ограниченной сверху и достаточно, ч>пабы была ограниченной сверху хотя бы одна пддпоследоватсльность (в„е) э ЗЗ.
Числовые реди последовательюсгпи (з„) ега чаапичлах сумм, причем если то з являепь".я суммой ряда (35.1). В самом деле, сходимость ряда означает сходимость последовательности его частичных сумм, а всякая сходящаяся последовательность ограничена, в частности, ограничена сверху. Таким образом, первая часть леммы справедлива и без предположения неотрицательности членов ряда. Однако, в общем случае условие ограниченности даже всех частичных сумм ряда (а не только некоторой их подпоследовательности) не является достаточным для сходимости ряда, как это показывает, например, пример 3, разобранный в и.
35.1. Поэтому условие неотрицательностн членов ряда существенно для справедливости второй части леммы 2. Докажем ее. Из неотрицательности членов ряда, как мы убедились при доказательстве предыдущей теоремы, следует, что последовательность его частичных сумм — неубывающая. Поэтому, если существует ограниченная сверху подпоследовательность ~з„„~ последовательности частичных сумм (з„) рассматриваемого ряда, то она тоже не убывает (как всякая подпоследовательность неубывающей последовательности) и, следовательно (см. теорему 3 в п, 3.5) сходится, причем з = зпр (з„,) = Дт з„. в в со Согласно предыдущей лемме из сходимости подпоследовательности частичных сумм ~з„„Д следует сходимость ряда, т. е. существование конечного предела 1пп зсо и поскольку предел о со сходящейся последовательности совпадает с пределом любой ее подпоследовательности, то Вгп з„= 1пп з„„=з.
(1 о со о со Из леммы 2 следует, что если ряд с неотрицательными членами расходится, то последовательность его частичных сумм ие ограничена сверху и в силу ее монотонности 1пп з„=+ со. Поэтому для расходящихся рядов с неотрицательными членами, согласно сделанному в п. 35.1 соглашению, пишут о=1 Зб.5. Признак сравнения рядов с неотричательньти членами до» ЗЗЛ. ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ ДЛЯ РЯДОВ С НЕОТР1ЩАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ ЧЛЕНА РЯДА Перейдем теперь к признакам сравнения для рядов, также по своей форме весьма напоминающих соответствующие признаки сходимости несобственных интегралов.
Теорема 6 (признак сравнения). л7усть и„)О, о„=О, л=1, 2, ..., (35.15) (35.16) и„=О(о„) в>. Тогда, если ряд »»л и= ! (35.17) сходится, то сходил»ся и ряд «О ип« (35.18) в=! а если ряд (35.18) расходится, то расходится и ряд (35.17). До к аз а тельство. Пусть выполнено условие (35.16). Тогда существует такое с- О, что ив~со„я=1, 2, (35.19) Если теперь ряд (35.17) сходится, то, согласно лемме 2, после- довательность (и„) его частичных сумм ограничена, т.
е. сущест- вует такая постоянная М =» О, что з„= ~ч'„ой ( М, л = 1, 2, й=! (35.20) Обозначим через о„частичную сумму ряда (35.18). Тогда в силу неравенств (35.19) и (35.201 о„= ~ ий = с ~ ой = сз„= сМ, й=- ! й=. ! л=1, 2, *' В частности, и„ ~ о„. Объяснение обозначения «0» си. в п. 23.3, Доказанные леммы по своей формулировке внешне напоминают соответствующие утверждения для несобственных интегралов (см. п. 33.3). Между сходимостью рядов с неотрицательными членами и сходимостью несобственных интегралов от неотрицательных функций можно иногда установить и более непосредственную связь. Для убывающих функций это будет сделано в п, 35.7.
Э Ю. Улелввие ряди Согласно лемме 2, из ограниченности сверху частичных сумм ряда (35.18) следует его сходимость. Итак, если ряд (35.17) сходится, то ряд (35.18) также сходится. Если же ряд (35.18) расходится, то и ряд (35.17) расходится, так как если бы он сходился, то, по доказанному, сходился бы и ряд (35.18), что противоречит условию. ( ) Следствие.
Пусть о»ФО, и=1, 2, ..., и !пп — "=я, в (35.21) пюгда 1) если ряд (35.17) сходится и 0.=)в<+со, то ряд (35.18) также сходится', 2) если ряд (35.17) расходится и 0<(в =+оо, то ряд (35.18) также расходип1ся. В чистнасти, если ил ал (ил и ол вквивилентны, см. и. 23.3, то ряды (35.17) и (35.18) сходятся или расходятся одновременно. Из выполнения условия (35.21) для 0(А<+со следует существование такого пв, что если п~и„то ",—я <)в+1, т. е. и„<((в+1)пл„ а это означает, что ил =- О (ол).
Поэтому утверждение 1 следствия непосредственно вытекает из утверждения 1 теоремы. Из выполнения условия (35.21) для 0<1(+оо следует, что если зафиксировать такое )е', что 0<я'<)1, то существует номер ив=ив()е'), обладающий тем свойством, что если п~п„то — ")/г', т. е. ол<;и„, "л а это означает, что о„= О (ил). непосредственно вытекает Поэтому утверждение 2 следствия из утверждения 2 теоремы. 1' ) йпя ля Примеры. 1. Пусть ил= Тогда О.=.- и„=-- „-, п=1, 2, ..., и 1 дится (см..п. 35.1), то сходится и ряд так как ряд -„- схо- »=1 мп ли 2» л=-1 Зв.5. Признак сравнения рядов с неотрицательными членами овт 2.
Ряд т = расходится, ибо =~=, р= 1, 2...,, 1 1 а 1+ т' л 1+Ул 2 Рсл а ряд т =, как мы видели (см. исследование ряда (35.13), ъч 1 л= ! расходится. Эффективность использования критерия сравнения для исследования сходимости ряда зависит, конечно, от запаса «рядов сравнения», т. е. рядов, о которых мы уже знаем, сходятся ли оин или расходятся, и которые мы тем самым можем пытаться использовать для исследования сходимости данного ряда. ~1 1 Если в качестве «ряда сравнения» (35.17) взять ряд р — „, л= ! о котором мы уже знаем, при каких а ои сходится, то из теоремы 6 непосредственно следует справедливость следующей теоремы.
Теорема 7. Пусть ил=О, и=1, 2, .... Тогда если и„=О( — л! т!! и а)1, то ряд (35.22) л= ! сходится; если з!се — „=0(ил) и а~1, то ряд (35.22) расходится. 1 Следствие. Пусть 1пп и'и„=й, тогда 1) если а) 1 и О ='й~+со, то ряд (35.22) сходится', 2) если а = 1 и 0( lг =+ оо, пю ряд (35.22) расходится. В частности, если ил -„, то ряд (35.22) сходится при а)1 1 и расходится при а~1.
Если члены ил ряда (35,22) заданы с помощью формулы, представляющей собой функцию от и, которая имеет смысл для всех действительных достаточно больших неотрицательных значений переменной и н, более того, является «достаточно гладкой» функцией этой переменной, то для практического применения теоремы 7 обычно бывает целесообразно разложить член и„с помощью формулы Тейлора по степеням 1!и. Если главный член получившегося разложения будет иметь вид 1!па, то, беря в качестве ряда сравнения ряд 7 -„- и прил= ! менив теорему 7, можно определить, сходится ли данный ряд или расходится. 55.5.
Привиаки Даламбера и Коши из признака сравнения, если в качестве ряда сравнения взять соответствующим образом выбранную геометрическую прогрессию. Теорема 8 (признак Даламбера). Пусп1ь дан ряд с положительными членами ~х ', и„, и„~ О, п = 1; 2, .... (35.23) и=! Тогда 1) если существуют такое число д, 0(д(1, итакой номер и„ что для всех и» и, выполняется неравенство ии.д — ~(д, ии то данный ряд сходится; 2) если суи(ествует такой номер пь, что для всех п)п, выполняется неравенство "и ! ии то данный ряд расходится. Доказательство. Пусть О~у(1 такой номер п„что при п»пь н пусть существует — =-а, т. е.
и„+, -аи„. ииы ии Тогда ии,+1 -.ии,!7, и~.+2 ~ и„,+19~ и„,у, ь и„,+и — и„,+Р 1у=...~и„,д, Р а значит, и исходный ряд (35.23). Если же существует такое п„что для всех п» по выполняется неравенство — """ »1, то ии ии,+1= и„„ и„г и» и„,+!» и„„ и так как, по предположению, ии, >О, топ-й член ряда, будучи ограничен снизу положительной постоянной, ие стремится к нулю. и так как ряд и„,у+и„,де+...+и„,др+... сходится, являясь суммой бесконечной убывающей геометрической прогрессии со знаменателем д(0(д 1), то по признаку сравнения сходится и ряд и +!+ил,ч г+...+и„,+и+..., в' Ф.
Числовые ряды Следовательно, не выполняется необходимое условие сходимости ряда (см. теорему 1 этого параграфа), и потому ряд (35.23) рас- ХОДИТСЯ. ( ) Следствие. Пусть существует 1пп — ""=й Тогда если 1 -'1, я- »» ~я то ряд (35.23) сходится, а если 1~1, то ряд (35.23) расходится. Это вытекает непосредственно из доказанной теоремы. %! 1 В качестве примера рассмотрим ряд хя я=! Здесь и„= —, и 1пп — = 1!гп — =О, поэтому, согласно 1 . и„,! . 1 я.' „, яя я, я+! следствию теоремы 10, данный ряд сходится. Его сходимость, конечно, можно установить и сравнив его, например со сходя%~ 1 щимся рядом я 1 Более содержательные примеры на применение признака Даламбера будут даны в дальнейшем (см., например, п. 36.1). Теорема 9 (признак Коши). Пусть дан ряд и„, и ~0, п=1,2, ....
(35.24) я=- 1 Тогда 1) если существуют такое д, 0 =д 1, и такое п, что для всех и = и, выполняется неравенство то данный ряд сходится; 2) если существует такой номер п„что для всех п)п, выполняется неравенство у й~1, то данный ряд расходится. Доказательство. Если прн и ~ля у ия ~д, т. е. ия=-а", то по признаку сравнения ряд (35.24) сходится, нбо ряд ~ч; д," и= ! при 0(у(1 сходится. Если же з»и„1, и ) и„ то и„'-"-1, и, значит, ряд (35.24) расходится (см. теорему 1). Д 55,7. Интегральный признак екодиыоети рядов 55т' Следствие, Пусть суи1еслтвует 1пп Р'ил =Е л со Тогда если 1 =1, то ряд (35.24) сходится, а если 1)1, он расходится. Доказательство следствия очевидно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
