kudryavtsev1a (947413), страница 110
Текст из файла (страница 110)
2 ( 1)л ! и =1п ~1+в л )2 откуда следует абсолютная сходимость ряда 2. Рассмотрим ряд с общим членом Было бы ошибкой, однако, считать, что метод выделения главной части годится лишь в случае рядов с действительными членами, имею!цими один и тот же знак. Метод выделения главной части может с успехом применяться для выяснения сходимости любых рядов. Суть этого метода в рассматриваемом случае основана на следующем замечании: пусть дан ряд ~ и„. Если предо.— — ! ставить его члены в виде ил= ол+шл, где ряд ~х, 'шл сходится, л=- ! со сл то ряд ~ ил сходится и расходится одновременно с рядом ~х ил л= ! л= ! (почему)у В силу этого для исследования сходимости ряда '5,'ил е= ! целесообразно попытаться представить его члены, например, в виде 1 ил = ил+ шл, так чтобы ш„=- О ( — ) при а ) 1, тогда поскольку 1л«1 ряд ~х~ шл сходится (и даже абсолютно), то сходимость данного 35.!Ь Прианани Далил!бери и Коши дяя лролввояьнв!х рядов д77 Псскольку (см.
замечание в и. 1З.З) 1п(1+к)=х — — +О(х'), то и„=, — — — +О1 —,,, яе в ( — !]н!! ! / 1 2 1' л 2л ! лв!е,' !)н.! ! ! Положим он= — — и ш„=ин — о„. Тогда н!„=Π—,,;1. )л 2л '!л у Ряд У, 'о„расходится как ряд, являющийся разностью сходян=- ! Нгн ( !)нн! уцегося (согласно признаку Лейбница) ряда 7 —,. и расхоКл н= ! Ъ1 дящегося 7 -- (отличающегося от гармонического ряда лишь 42! н=! множителем 1!2). Ряд же 7; ео„, согласно теореме 9, абсолютно и= 1 сходится.
Таким образом, данный ряд,5; и„расходится, хотя его «главе=! нс! ( !)н'! иая часты 7 и представляет собой сходящийся ряд. 1 л л=! Тем самым эти ряды дают еще один пример двух рядов, члены которых образуют эквивалентные последовательности и из которых один сходится, а другой расходится. ЗЗЛ !. ПРИЗНАКИ ДАЛАМБЕРА И КО1ПИ ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ , .и„., ! ! ин ! (35.6О) или эу' ,сс„/ =э- .1 (35.61) то по признакам Даламбера и Коши можно лишь утверждать, что в этом случае ряд из абсолютных величин членов ряда (35.1), !9 Хуярявцев л. д.
т. ! Если в случае числового рида (35.1) и, че О, ин ен С, и = 1, 2, существует такое !у, О ( д < 1, и такой номер л„, что для всех п == и, выполняется неравенство ' ил .у! — "" -.=-!) или э/,и„!«!у, ,и„ то согласно признаку Даламбера, соответственно Коши (см.
п. 35.6) данный ряд сходится и притом абсолютно. Если же существует такой номер л„что для всех исоа, имеет место неравенство В Зб. Числовые у!лзы т. е. ряд У„'~и„~ расходится, что лишь означает, что заданный л=-! ряд не сходится абсолютно. На самом деле из (35.60) и из (35.61) следует, что данный ряд (35.1) вообще расходится. Действительно, как видно из доказательства признака Даламбера, соответственно признака Коши, применительно к ряду ~Ч~ (и„~ (см, теоремы 8 и 9 в п.
35.6) л=! при выполнении каждого из условий (35.60) и (35.61) в отдельности последовательность (',и„)) не стремится к нулю, следовательно не стремится к нулю и последовательность (ил), т. е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Полученные признаки расходимости ряда также обычно называются приэнаксши Даламбера и Коши. 2532. СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ, НЕ СХОДЯЩИЕСЯ АБСОЛЮТНО. ТЕОРЕМА РИМАНА Если ряд сходится, но не абсолютно, то, как ниже будет показано, уже нельзя утверждать, что, переставив его члены в другом порядке, получим сходящийся к той же сумме ряд. Парадокс в конце п.
35.9 и объясняется этим обстоятельством: получившийся там ряд (35,45) отличается порядком членов от данного сходящегося, но не абсолютно, ряда (35.42), и потому нельзя было утверждать, что его сумма также равна о. Более того, получившееся противоречие показывает, что это заведомо не так. Итак, сумма ряда зависит от порядка слагаемых, т. е. коммутативный закон сложения не имеет места для неабсолютно сходящихся рядов.
Если в данном ряде сгруппировать каким-либо образом его члены, не нарушая их порядка„ и сложить, то последовательность частичных сумм получившегося ряда будет являться подпоследовательностью частичных сумм исходного ряда. Поэтому, если исходный ряд сходится, то будет сходиться и вновь полученный, причем суммы обоих рядов будут одинаковы. Однакг,если данный ряд расходится, то второй ряд может сходиться.
Например, ряд 1' — 1+1 — 1+1 — 1+... расходится. Объединив же попарно его члены: (1 — 1)+(1 — 1)+(1 — 1)+..., получим сходшцийся ряд. Таким образом, вообще говоря, для рядов неверен и ассоциативный закон сложения. Рассмотрим некоторые свойства сходящихся, но не абсолютно, рядов с действительными членами. Пусть дан ряд у' ,ил. (35.62) л=! Зба2, Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно б79 Обозначим через и!, ие, ..., и„", ... его неотрицательные члены: и+=-' О, а через — и!, — их! ..., — и„, ... его отрицательные члены: и„~О, взятые в том же порядке, в каком они расположены в ряде (35.56).
Рассмотрим ряды ~~ и+, (35,63) л.= ! '~ й. (35.64) л=! Отметим, что если ряд (35.63) содержит лишь конечное число членов, отличных от нуля, или ряд (35.64), все члены которого по определению отличны' от нуля, состоит лишь из конечного числа членов, то начиная с некоторого номера, все члены исходного ряда (35.62) имеют один и тот же знак, и, следовательно, его сходимость равносильна абсолютной сходимости. Лемма 3. Если ряд (35,62) сходится, но не абсолютно, пю оба ряда (35.63) и (35.64) расходятся.
Локазательство. Пусть ряд (35.62) сходится, т. е. существует конечный предел (35.65) 1!ш зл, л сл где з„— его частичные суммы, и=1, 2, ... Обозначим через е, т=-1, 2, ... частичную сумму порядка т ряда (35.63), а через зе, /г=1, 2, ..., — частичную сумму порядка Й ряда (35.64). Для удобства положим еще зло =ау=0. Тогда для любого натурального п существуют такие неотрицательные целые т = т(п) и й=й(п), что з„=з+ — зя, п=т+й; (35.66) при этом поскольку ряд (35.62) сходится не абсолютно, то оба ряда' (35.63) и (35.64) содержат бесконечно много членов, отличных от нуля, и, следовательно, 1пп т(п) = 1пп й(п)=+со л со л Ол Обозначим теперь через зл частичную сумму порядка п ряда (35.68) Тогда, очевидно, зл =зщ+зя.
(35.69) Поскольку данный ряд (35.62) не сходится абсолютно, т. е. поскольку расходится ряд (35.68), то ! пп зл = + со. (35.70) В ЗБ. Числовые ряды Оба слагаемых правой части равенства (35.69) неотрицательны, поэтому 'нз (35.70) и (35.67) следует, что хоть одно из указанных слагаемых стремится к бесконечности, когда и — оо. Возвращаясь теперь к равенству (35.66), видим что левая часть этого равенства имеет конечный предел (см. (35.65)), а одна из сумм э,ь и эл, по доказанному, стремится к бесконечности при и-~ оо. Это возможно лишь прн условии, что вторая из рассматриваемых сумм также стремится к бесконечности при и- оо. Итак, оба ряда (35.63) и (35.64) расходятся.
( ) Теорема !7 (Риман). Если ряд (35.62) сходится, но не абсолютно, то, какосо бы ни было число А, можно так переспгавить члены этого ряда, что сумма иолучивсиегося ряда будет равной А. Док аз а тельство. Снова рассмотрим ряды (35.63) и (35.64). Согласно лемме, сс~ = + схг, (35.71) лг= г (35,72) Пусть для определенности А == О. Выберем число и, так, чтобы иг +ил+...+и,;,-.» А, (35. 73) причем в случае, когда номер пг==! не удовлетворяет этому условию, выбор пг произведем еще таким образом, чтобы при этом выполнялось также и неравенство сс;+и,+...+иг, г А.
(35.74) Существование номеров сг„для которых выполняется условие (35.73), следует из условия (35.71); для того, чтобы при этом выполнялось и условие (35.74), надо взять наименьший из этих номеров и,. Далее, выберем из ряда (35.64) п, первых членов так, чтобы иг+...+и„',— иг —...— й„,(А, причем в случае, когда номер и, = 1 не удовлетворяет этому условию, то выбор и, произведем таким образом, чтобы при этом выполнялось еще и неравенство иг'+...+и„, г — иг —...— и„, г---А. Существование такого номера п, доказывается, исходя из (35.72), аналогично существованию номера и,.
Снова выберем позряд нз ряда (35.63) члены до некоторого номера и, так, чтобы выполнялось неравенство иг +... + и,'„— иг —... — и„, + и'„+ г +... + и„', ) А Вб,!2. Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно 55! Иш и„- =О. а- а+' Поэтому из (35.76) следует, что а со (35.77) Если теперь взять любую частичную сумму зл ряда (35.75), то в силу конструкции этого ряда всегда можно найти такой номер й=й(л), что будет иметь место либо неравенство Зл +л ~за Зл +л ь ает ма~ либо неравенство аль+ л „~ зл -~ зл +л а потому из (35.77) следует, что и и Упражнение 12. Доказать, что если ряд(35.62) сходится, но не абсолютно, то можно так переставить его члены, что полученный ряд бчдет расходиться. И частности, можно сделать так, чтобы его сумма равнялась +со, — со, а также и так, чтобы последовательность его частичных сумм не имела бы нн конечного, ни бесконечного предела.
и (при па) их+1) — неравенство и|+..:+и+, — и) —...— ил.+ил",.е~ +...+и+, ~ ~ А. Продолжая этот процесс дальше, получим ряд и';+...+и„",— и, —...— и...+ и„,+,+...+и,",,— — и„,.ь, —...— и„,+.... (35.75) Для последовательности его частичных сумм зло зл,+лм чщ+лм" 1 зла+ля„, ", й=1, 2,." ° в силу построения выполняются неравенства зл,>А, з„,.р„,< А, зл,+„„> А, ..., причем отклонение от числа А каждой из указанных частичных сумм В„.е, не превышает ее последнего члена: я лмх .4- )А и +л„ (35.76) Здесь через и„-я обозначена абсолютная величина члена ряда л»ьт (35.75) с номером пасы наверху у него в ряде (35.75) стоит индекс «+» или « — ». В силу сходнмости исходного ряда (35.62) имеем 1пп ил=О, л са и так как при й-ьоо номер члена й„, в ряде (35.62) также стремится к со, то д 35.
Числовые ряды 33.13. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АБЕЛЯ. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ДИРИХЛЕ И АБЕЛЯ В этом пункте будут доказаны достаточные признаки сходи- мости числовых рядов, пригодные и для рядов с комплексными членами. Предварительно рассмотрим одно преобразование сумм вида В = а, Ь, + а„.,Ь, +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
