kudryavtsev1a (947413), страница 111
Текст из файла (страница 111)
+ а„Ь„, (35.78) где аь Ь;, 1'=1, 2, ..., и — комплексные числа. Положим В,=-Ь„В,=Ь,+Ь„..., Вч — — Ь,+Ьа+...+Ь„, тогда Ь,=-В„Ь,=В,— В„..., Ьл=„— Вл, и В = а,В, + а, (Ве — В,) +... + аа („— Вл,). Раскрыв скобки и группируя по-новому члены, получим равенство В = (а, — ав) В, + (а, — а,) Ве+...
+ (а„, — ал) В„, + алВ„. Таким образом, окончательно имеем: ~к~ а Ь; = ~ (а; — аие) В;+ а„Вл. (35.79) Докажем с помощью преобразования Абеля лемму. Лемма 4 (неравенство Абеля). Если а,-- а;.ы 1=1, 2, ..., и — 1, (35.80) а;=-аччы 1=1, 2, ..., и — 1*"1 (35.81) /Ьь+...+Ь;/~В, Ьг в=С, т'=1, 2, ..., п, (3512) ! л ~~ а, Ь; ~ В (~ а,1+ 2 ) а, 1). (35.83) ~=-1 " Н. А и е л ь (1302 — 1329) — нервежский математик.
«ч' Иэ этих неравенств следует, что числа аь 1=-1, 2, ..., л, действительны. Это преобразование сумм вида (35.78) называется преобразоеанаем Абеля еь1 оно является в известном смысле аналогом иптегрирования по частям. Эта аналогия особенно бросается в глаза, если формулу (35.79) записать в виде и и†~ чи а; (В; — В, ч) =(аа„— а,В,) — р, (а;,д — ач) Вт. с — е 1 =-! Зб.И. Преобреввввяие Абеля ! л я — 1 ~', асЬс~~ ~ч~ !ас — ас„!((Вс(+!а„!!В„(«= !'=1 !=! г !л — ! ~В~ ~ ')~~ (ас — а;„) +(а„! =В[( а,— а„(+~ а„[1(В[~а!!+2(а„!).Д ! =! Существенно обратить внимание на то, что в неравенстве Абеля оценка рассматриваемой суммы дается через первый и последний ее члены и не зависит от числа слагаемых в этой сумме.
Теорема 18 (признак Дирихле). Пусть дан ряд )~~ а„Ь„ е=! (35.84) такой, что последовательность (а„) монотонно стремится и нулю, а последовательность частичных сумм (В„) ряда ~ч~ ~Ь„, Ь, е= С, и =- 1, 2, Я=1 ограничена, тогда ряд (35.78) сходится. Доказательство. В силу ограниченности последовательности (В„) существует такое число В) О, что )В„1(В для всех и =1, 2,,... Отсюда следует, что для любого и= 2, 3, ... и любого целого р'=-0 ! я+ р Ьс =(В„,р — В„!(е-.(В„~р(+('В„1~:.
2В (35.85) С=я Пусть задано е)0. Из условия 1!гп а„=О следует существо- и со ванне такого номера п„что для всех п~п, выполняется неравенство (35.86) л+р Теперь, применив неравенство Абеля (35.83) к сумме ~Ч~~ а,Ьс, С== е где п~п„и приняв во внимание неравенства (33.85) и (35.85), получим: ! е+ р ~" асЬс ==2В(~а„(+2)а„,р !) =е, С=я Действительно, согласно условиям (35.80) или (37.81), все разности ас — ас„в формуле (35.79) одного знака, и поэтому в силу формулы (35.79) и условия (35.82) имеем: ф ло.
Числовые ряды ол4 отсюда, согласно критерию Коши, и следует, что ряд (35.84) сходится. ( ) В качестве примера рассмотрим ряд (35.87) Прежде всего, если аФ2псп, т=О, + 1, .+-2, ..., то л Б!и 2 яп Йа э!пйа = а Я=! 2 яп '~1~ ~~~(а !) — ~~/А+ 1 ~ ~~ — сов~и+-) а Я=! 2 в!ив . а 2 а 2 Я'и л+1 . л яп — аяп . а 2 2 а яп— 2 и поэтомч ! л ~~ э!Пйа ~ —.
~л!п Если же а=2ппс, и!=О, -+.1, ~-2, ..., то все члены сумм ~Ч, 'з!пйа равны нулю, поэтому эти суммы при любом и равны А=- ! нулю и, следовательно, ограничены. Таким образом при всех и суммы ~, з(пйа ограничены. Ф=- ! С другой стороны, последовательность (1/и) монотонно убывает и стремится к нулю, поэтому по признаку Дирихле ряд (35.87) сходится при любом а. Заметим, что признак Лейбница (см. и.
35,9) следует из признака Дирихле. Действительно, если в ряде ~, ( — 1)лая, (35.88) л=! где ал тл а,„п О, положить Ьл = ( — 1)", то, очевидно, суммы о!+" +Ьл, п=1. 2, ..., равны нулю или единице и потому 35.13. Преобразование Л беля ! е ь,.,!< — а «Ь,)4-2! „,!ь< . е=о В силу критерия Коши сходнмостн рядов это означает, что ряд (35.84) сходится. ( ) П р им е р. Исследуем сходнмость ряда вьи «у, сов и 1и 1и и (35.89) ь — е чь яи иа Заметим, что ряд ~~ сходятся согласно признаку Дн«г Э 1 рнхле: последовательность — монотонно стремится к нулю, !и1иы а последовательность частичных сумм ряда ~х~ э!ппа ограничена л =- ь (см.
предыдущий пример). Последовательность же сов, и = 2, 3, ..., монотоннна, поэтому по признаку Абеля ряд (35.$9) сходятся прн всех а. ограпнчены и, значат, по признаку Днрнхле ряд (35.88) сходится. Из неравенства Абеля (35.83) можно получить еще один признак сходнмостн ряда. Теорема 19 (прнзнак Абеля). Если последоеаоьельноеть (а„) монотонна и о рзничена, а ряд ~х ', Ь«, Ь„~ С, и =1, 2, ..., схол=! дитея, то ряд (35.78) также сходится.
Доказательство. В силу ограннченностн последовательности (а„) существует такое число М)0, что для всех п=1, 2, ... выполняется неравенство,а„! ~ М. Пусть теперь задано е)0. Из сходнмостн ряда ~ Ь„еле«=! дует существование такого номера п„что для всех номеров и == л »и, н всех целых р»0 выполняется неравенство 7 Ь«,е я=а ( —. Поэтому для всех номеров и:. и, и всех целых р»0, зм ' согласно лемме 4, справедлнво неравенство 886 Э 88, ссасловые ряды ЗЗ.МО. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ, ОСТАТКОВ СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ И РОСТА 11АСТНЧНЫХ СУММ НЕКОТОРЫХ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ Подобно несобственным интегралам для рядов бывает нужно выяснить не только вопрос об их сходимости, но в случае сходимости ряда оценить ее скорость, а в случае расходимости выяснить характер поведения его частичных сумм прн возрастании их номера. В случае рядов вида Л=! где 7 — неотрицательная убывающая функция, на подобные воп.
росы иногда удается получить ответы с помощью метода, примененного при доказательстве интегрального признака сходимости рядов (см. п. 35.7). Действительно, если ряд ~Ч ', )'(и) сходится, Л=! а следовательно, сходится и интеграл ~ 7(х)е(х, то, обозначив, ! как обычно, через г„остаток рассматриваемого ряда, получим неравенство СО СО Я +СО )'(Й) =. ~~ ~~ )'(х)е(х= ~ )(х)!(х. (35,90) А=О+1 Л = сс-!- ! Л вЂ” ! Л Это и есть искомая оценка остатка ряда, показывающая, что при +СО и-О со этот остаток убывает не медленнее, чем интеграл ) )(х)!Ь.
Л Аналогично получается и оценка снизу для остатка ряда: со Я-!- ! СО 7((е)) ~ч„~ 7(х) !(х= ~ г(х)е(х. (35.91) Й= Л+1 я=с+! Л Л+! Если же ряд ~ч"„7" (и) расходится, а следовательно, расходится Л=! и интеграл ~ ! (х)!(х, то, заметив, что ! 8+1 0 = 7 ((е) — ~ 7 (х) !(х ( 7 ()!) — ) (я+ 1) и просуммировав этн неравенства по Се от 1 до п, получим: Л Л+! ~', ) (й) — ~ ~(х) е(х~~(1) — )(п+1) ~~(1).
е=-! 1 8Б.И". Асимтотичеслое поведение остатков и части«ли« сумм 667 Из приведенных неравенств следует, что последовательность «+1 ~~ )(й) — ~ ~(х)йх, п=1, 2, ..., монотонно возрастает и ограничена сверху, а потому стремится к конечному пределу., Иначе говоря, существует такая постоян- ная с, что л «+1 !!-1Е 1а1- ! 1а!ч*~ =' л оо Л 1 1 (35.92) Это равенство можно переписать в виде л л -1- ! ~ ~(й)= ~ ~(х)йх+с+вл, п=!, 2, ..., (35.93) 1+ в-+ з-+... + — =1п(и+1)+С+в«, и=1, 2, ..., где 1пп е«=0. Эта постоянная С называется постоянной Эйлера. л- !.,о" Замечая, что 1п(п+1) — 1пп = !и ! 1-1- — )-эО при л-л.со, в полу« ченной формуле можно заменить 1п(п+1) на !пп (при этом, конечно, изменится и последовательность зл, но она останется бесконечно малой последовательностью): 1+-в-+ — +...+ — =1Пп+С+в«, п=1, 2, ....
(35.94) 1 1 1 где !пп з„=О. Оно показывает„что с точностью до бесконечно л оо малой последовательности частные суммы расходящегося ряда о л -!- 1 ~~ ', Г(п) растут так же, как ~ 1(х) с(х+с, где с — некоторая «=1 1 постоянная. л %1 1 Примеры. 1. Рассмотрим гармонический ряд ~~ —, который «=.1 полагая 1(х) =--, х=-1т запишем в виде ~ 1(п). 1 л=! 1 Функция Г(х) =.-„-, х-,-о1, удовлетворяет условиям теоремы 10, л+ 1 дх и поскольку ~ — = 1п(п + 1), то из доказанного следует, что 1 существует такая постоянная С, что 888 8 38.
Члеяоеые ряды Любопытно заметить, что до сих пор не удается выяснить природу эйлеровой постоянной в том смысле, что неизвестно даже, является ли она рациональным числом или пет. Из формулы (35.94) очевидно следует асимптотическое равенство 1+ - +... + — 1п л, л -я. оо. 1 1 2 ''' л ъя 1 2. Рассмотрим ряд ~ -;, 0<-а(1. л=! В этом случае возьмем функцию )(х) =- —, х=-1, тогда 1 л+ ! дя (л+ 1)!-" — 1 ха ! — а ! Из (35.92) и (35.93) для данного случая следует, что существует такая постоянная с„, что где 1пп а„=0. Отсюда получаем асимптотическое равенство 1 1 !па 1+ —.+...+--- —. 2и ''' ла ! а' ъ~ 1 3.
Рассмотрим сходящийся ряд т — -„-, а 1. л=! Взяв снова в качестве функции ) функцию 1/х и замечая, что 1 яа (а — 0 ля ~ л в силу формул (35.90) н (35.91) получим: ! У 1 1 (а — 1) (л+1)л ' е',ы л" (а — 1) лл-! ' «=л откуда — — - ° 1 1 л" (а — !) л" !' 4. Рассмотрим ряд (35.95) Зд.!Б. О суммируемости рядов методом средних арифметических дур Оценим его остаток: 0 =г„=- ~ А=л 1 1(1 1 1 (а+!)! (л+1)! ( л+2 (л+2)(л+3) + '''~ 1 ) ! ! )! ь (а-1-1)! ! ' л-1-2 + (л-1-2>'-' ' ''') 1 ! а+2 ! (л+ 1)! ! (л+ 1)я л! л!л ' а-, '2 В дальнейшем будет показано, что сумма ряда (35.95) равна числу е (см. (37АО) в п. 37.6). Следовательно, если в„— частичная сумма ряда (35.95) порядка и, то е=-з„+г„, г„~О, откуда 0 ==в — е„< —.
1 л!а ' Таким образом, число е можно приближенно вычислять в виде суммы 1 ! ! + 1! + 2! + '' '+ л! причем полученная оценка указывает точность получающихся приближений. 35Л5. О СУММИРУЕМОСТИ РЯДОВ МЕТОДОМ СРЕДНИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ и,+и,+...+и„+...
з„=и!+и,+...+иео а=(, 2, ..., и пусть Иногда представляет интерес изучение расходящихся рядов т. е. рядов, частичные суммы которых не стремятся к конечному пределу. Как мы уже видели, подобные ряды дают возможность получать асимптотические формулы (см. п. 35.14 *, а также п. 37.10*). Изучение расходящихся рядов целесообразно, в частности, в том случае, когда для них удается определить надлежащим способом понятие суммы. Различные методы определения сумм рядов называются методами суммирования рядов. Метод суммирования ряда называется регулярным, 'если для сходящегося ряда его сумма, определенная по этому методу, совпадает с обычной его суммой (в этом случае говорят: регулярный метод суммирует сходящийся ряд к его сумме). Рассмотрим так называемый метод суммирования ряда средними арифметическими его частичных сумм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
