kudryavtsev1a (947413), страница 114
Текст из файла (страница 114)
(х) — 1 (х) 1 ( м , а потому и неравенство 1д(х) г'„(х) — д(х)1(х)1=1о(х)1! )„(х) — 1(х)1(е. Это и означает, что ф„:-д). ( ) ввг э" гб. Функциональные последовательности и ряди Зал. РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Для рядов, естественно, также можно ввести понятие равномерной сходимости. Определение. 6. Ряд ~ и„(х), « =- 1 (36,16) (здесь, как всегда в„(х) — частичная сумма порядка п ряда (36.16), и=1, 2, ...).
Поскольку из (36.1?) следует, что в«(х)-+в(х) на Е, то в(х) является суммой ряда (36.16). Положим г„(х) = ~ иь (х). ь=«+1 Тогда в(х) — в«(х) =г«(х) и условие (36.17) для сходящегося на множестве Е ряда можно переписать в эквивалентной форме: г«(х) =О, (36.18) откуда в силу эквивалентности определения 5 равномерной сходимости последовательности функций и условия (36.10) следует, что, для того чтобы сходящийся на Е ряд (36.16) равномерно сходился на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы 1пп знр ~г«(х) ( =О.
(36.19) «»»кмв Таким образом, из равномерной сходимости ряда, в частности, вытекает, что начиная с некоторого номера верхние грани знр ! г«(х) ) «сев конечны, а условие (36.19) сводит понятие равномерной сходи- мости ряда к стремлению к нулю числовой последовательности этих верхних граней. Укажем существенное свойство равномерно сходящихся рядов. Теорема 3 (необходимое условие равномерной сходимости ряда). Если ряд (36.16) равномерно сходится на множестве Е, то по- члены которого являются функциями, определенными на множестве Е, называ.тся равномерно сходящимся на этом множестве, если последовательность его частичных сумм равномерно сходится на Е.
Таким образом, равномерная сходимость ряда (36.16) означает существование такой функции в(х), что в„ (х) = э (х) (36.17) ЗВ.З. Равномерна сходящиеся ряды следовательнссть его членов и„(х), и=1, 2, ..., равномерно стремится к нулю на множестве Е, т. е. ия (х) —.= О. Коротко это свойство выражается следуюгпим образом: у равномерно сходяи!егося ряда общий член равномерно стремится к нулю.
Доказательство. Пусть ряд (36.16) равномерно сходится на множестве Е. Ооозначим его частичные суммы, как обычно, через в„(х), а его сумму — через в(х), хек Е. Тогда для любого г) 0 существует такой номер и„что для всех и=-- п, и всех х е= =Е выполняется неравенство )в» (х) — в (х) ~ (г/2. Поэтому для всех игл и, и всех х ~ Е справедливо также неравенство ! гг„., (х) ! = ~ .„, (х) — в„(х) ! = = ~ [в„яг (х) — в (х)1+ [в (х) — з„(х)! ! == -,в„„(х) — з(х) (+',з,(х) — з(х))( + =е. Это и означает равномерную (на множестве Е) сходимость к нулю последовательности членов равномерно сходящегося на этом множестве ряда. [ ) Отметим, что в силу условия (36.10) равномерное стремление к нулю общего члена ряда (36.16) означает, что !'пп зир ~ и„(х) ~ =О. о со кыг С помощью теоремы 3 иногда удается установить, что рассматриваемый ряд не сходится равномерно.
Так, ряд, члены которого образуют геометрическую прогрессию, ~ х" не схоя=ь дится равномерно на интервале (О, 1), ибо, как это было показано в и. 36.2 (см, пример 2) последовательность х", п = .=- О, 1, 2, ..., членов этого ряда не сходится равномерно к нулю на этом интервале. Отсюда, кстати, следует, что ряд ~ч ', г" где я.—.— О г — комплексное число, также не сходится равномерно в единичном круге , 'г~(1, ибо он не сходится равномерно уже на подмножестве (О, 1) это~о круга. Часто бывает полезным следующий достаточный признак равномерной сходимости.
Теорема 4 (признак Вейерштрасса). Пусть даны два ряда: функциональный (36.!6), членами которого являются функции бв4 й Зб. Функциональные лоследоеогельносги и ряды ил(х), определенные на множестве Е, и числовой ;5' а„ л — г ал=-.-О, гг=1, 2, (36.20) Если ряд (36.20) сходится и для любого х е:— Е выполняется неравенство !ил(х)((а„, п=1, 2, ..., (36.21) ! в (х) — вл (х) , '= ~ гл (х) ~ =1 ~ и (х) 1-..= ~ ! и„(х) ! ~ 'У'„а ( в. ! т=л т=л т=л Это и означает согласно определению 5 равномерную сходнмость ряда (36.16) на множестве Е, ( ) Отметим, что ряд (26.20) называется рядом, мажорирующнм ряд (36.!6). В качестве примера возьмем снова ряд ~ гл, члены которого л= о образуют геометрическую прогрессию. Рассмотрим его в круге радиуса г: !е!~г, где 0(г«1.
Поскольку числовой ряд ~ гл л =. 0 с неотрицательными членами, образующими бесконечно убывающ)ю геометрическуго последовательность, сходится, а для членов данного функционального ряда справедлива оценка !ел',:г", нбо ~е~,:.-.' г, то он по признаку Вейерштрасса равномерно сходится во всяком круге ~х~==г(1. Вместе с тем, как это было показано выше, этот ряд не сходится равномерно в круге !е)(1. Признак Вейерштрасса дает только достаточные условия равномерной сходимости ряда, которые отнюдь не являются необходимымн.
Убедиться в этом для рядов, у которых с возрастанием то ряд (36.16) абсолютно и равномерно сходится на множестве Е. Абсолютная сходимость ряда (36.16) на Е в случае сходнмостн ряда (36.20) сразу следует по признаку сравнения из неравенства (36.21). Равномерная же схояимость этого ряда легко следует из теоремы 1 этого пункта. Мы, однако, приведем ее непосредственное доказательство. Пусть в(х) — сумма ряда (36.21) и в„(х) — его частичная сумма. В силу сходимостп ряда (36.20) для любо~о в ) 0 существует такой номер пе) О, что для всех я== п, выполняется неравенство (см.
(35.!0)) ~~ а . в. Но тогда для всех п= п, и всех т =- л х е- =Е для остатков гл (х) = в (х) — вл (х) ряда (36.16) (по доказанному выше ои абсолютно, а следовательно, и просто сходится, поэтому равенство гл(х)=в(х) — в,(х) имеет смысл) будем иметь Зоа а Ривномерно сяоояи!неся ряды 6та номеров членов чередуются их знаки совсем легко. Действительно, аг! ( 1)л сходящийся ряд т (как и всякий сходящийся числовой л л — -1 ряд) можно рассматривать как равномерно сходящийся, например, на всей числовой оси Л ряд: его члены на= — суть ( — !').
функции постоянные на )с. Вместе с тем всякий числовой ряд ~ аа, удовлетворяющий условию (и„~ ~ па, т. е. в данном слул =- ! 1 чае условию — ~а„, п=1, 2, ..., расходится по признаку сравнения. Таким образом, ряд ~~ ( сходится равномерно, а схо- н а=! дящегося ряда У, 'аа, удовлетворяющего условиям признака а=! Вейерштрасса, не существует. Можно показать, что более того условня признака Вейерштрасса не являются необходимыми для равномерной сходимости даже рядов, все члены которых неотрицательны. Чтобы в этом убедиться, приведем пример равномерно сходящегося на отрезке 10, 11 С я ряда ~~ иа(х) с неотрицательными чле- , на(я) а=- 1 нами, для которого тоже не существует 1 О а ! ! ! к сходящегося числового ряда ~ аа, удов- ~Я л а.= 1 Рис.
1!о летворяющего условию (36.21), Определим член ряда иа(х) следующим образом: иа(х)=-0 на отрезках (О, — ~ и ~, 1~, и (з ( — + -)) = — и функция иа (х) линейна и непрерывна на каждом из отрезков ~ —,,— ( —,+ -Л и ( 2 ( — ', + -~, ~. Ее график изображен на рис. 140. Ряд ~ иа(х) сходится равномерно на отрезке (О, 1). Дейст- л=! вительно, если га (х) = ~ ', ия (х) — остаток этого ряда, и = 1, я.= а -1-1 2, ..., то для любого х ен 10, 1) среди его членов существует не более одного, для которого и„(х) чьО, й.=а!г+!.
При этом, оче- вбб р вб, функциональные последовательности.и ряды видно, О~ил(х)==- — == +, поэтому О~г„(х)~ —. 1 1 1 й и+1' и+! и, следовательно, г„(х) ==,-0 при п-ьсо, т. е. рассматриваемый ряд равномерно сходится на отрезке (О, Ц. Если ~х, 'а, такой числовой ряд, что для всех х~ [0, Ц выл=! полняется неравенство О==.и,(х) -а„, то 1 — — = шах и„(х) (а„. 1о, !1 Поскольку гармонический ряд ~~ - - расходится, то расхо- и=! дится и ряд ~ч'„а„. Таким образом, в рассмотренном случае числ=! лового ряда, удовлетворяющего, по отношению к функциональному ряду ", 'и„(х), условиям признака Вейерштрасса, заведомо нет. Перейдем теперь к условиям равномерной сходимости ряда, являющимися одновременно необходимыми и достаточными.
Замечая, что и+в вп+р(х) -в„,(х) = ~~ иь(х), (36.22) ь=л из теоремы 2 получаем следующий критерий равномерной сходи- мости. Теорема 5 (критерий Коши равномерной сходимости рядов). Для того чтобы ряд (36.16) равномерно сходился на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы для любого е)0 существовал такой номер и„ что для всех п .= и„ всех целых р ." 0 и всех х ен Е выполнялось неравенство ! в+е ~ и„(х) ~е. (36.23) Очевидно, что из критерия Коши равномерной сходимости ряда еще раз (если в (36.23) положить р= О) получается теорема 3, т. е.
необходимое условие равномерной сходимости ряда (36.16). ОР упражнение 3. Выяснить, может ли ряд вида ~р~ а„а" (а„и е — комп=о плексные числа), у которого бесконечно много коаффяпеенгов отличны от нуля, равномерно сходиться на всей комплексной плоскости. ЗЬ Э. Паеловерло сзхзоясииеел ряди Пр имер ы. 1. Рассмотрим снова (см. и. 36.1) ряд 1+г+2! +... + -т+... (36.4) н покажем, что, каково бы ни было число г- О, ряд (36.4) сходится равномерно в круге !г! ~ г. Как мы уже видели, ряд (36.4) сходится при любом комплексном г, в частности, при г=г, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
