kudryavtsev1a (947413), страница 116
Текст из файла (страница 116)
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Мы видели, что сумма сходящегося ряда, все члены которого непрерывные функции, может и не быть непрерывной функцией. Следующая теорема содержит достаточные условия непрерывности суммы ряда. Вб4. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей 613 а в„(х) = ~' иа (х), х ен Е. а =-1 Согласно условию теоремы, в„ (х) = в (х), поэтому существует такой номер п„что (36.31) для всех х ~ Е и всех и= па и, в частности, для и= и,. Функция в (х) как сумма конечного числа непрерывных на Е функций и,(х), й=1, 2, ..., п„непрерывна в точке хе ~Е. Поэтому существует 6=6(е) )О такое, что для всех точек хин Е, удовлетворяющих условию р (х, х,) < 6, )~„, (х) — в„(х,) /«- --.
(36.32) Теперь, заметив, что в(х) — в(х,)=(в(х) — все(х)1+~зла(х)— — в„(х,) ]+ ~ в„(х,) в (хь) ~ ь' Здесь, как и везде, где не оговорено что-либо другое, рассматриваются комплекснозначные функции и„(х); понятие непрерывности дая таких функций см. в п. 23. 3, йм, как обычно, обозначает т-мерное евкяндово пространство. Следует обратить внимание на то, что рессмотрение непрерывных на некотором множестве функций накладывает дополнительные ограничения на само множество — оно уже не может быть множеством произвольной природы (каковым до сих пор было множество Е, на котором были заданы члены рассматриваемых рядов, элементы последовательностей и т, д.), а должно быть таким, что для функций, заданных на нем, опрсделено понятие непрерывности.
Когда речь пойдет о производных и интегралах, придется еще более сузить класс допустимых множеств Е. Теорема 8. Если функции и„(х), п=1, 2, ..., непрерывны в точке х, множества Е с:)с а~ и рад ~'и„(х) равномерносходится а=1 на Е, то его сумма в(х) = ~ ', и„(х) также непрерьгвна в точке х,, л=1 Доказательство. Пусть функции и„(х), и=1, 2, ..., непрерывны в точке х,енЕ. Докажем, что тогда функция в(х) также непрерывна в этой точке. Зафиксируем какое-либо е) О.
Пусть 6!4 В 66. Хвуннцлонольные последовательности н рады (рис. !4!), из неравенства (36.31), взятого в точках х, и х, н неравенства (36.32) получим при р(х, х„) (Ь и х ~ Е ~ з(х) — з(х,) ~ ('(в(х) — влв(х) ~+ / влв(х) — вл (х,) ~ + + ! зле (хь) з(хь) ~( 3 + з + з = е, что и доказывает непрерывность функции э(х) в точке х„. Д В случае, если х, предельная точка множества Е утверждению теоремы можно придать вид 1пп .5"„и (х) ==- !пп в (х) = з (х,) = ~х,' и„(хь), л =! Х вЂ” Х, л=! хЕЕ хи Е и так как каждая функция и(х), и=1, 2,..., непрерывна в точке х ен Е, то ил(х,) = = 1нп и„(х), поэтому Х вЂ”.
Х, хсе Е !цп '5", ил(х) = Х ХХ„ ХЕ Е 1ип и, (х). л ~ Х К, ХОЕ Таким образом, в условиях теоремы 8 предел суммы ряда равен сумме пределов его членов, т. е. в ргсРис. 44! сматриваемом ряде допустим почленпый переход к пределу. Выше отмечалось, что каждой последовательности функций соответствует функциональный ряд, для которого она является последовательностью частичных сумм.
При этом если данная последовательность равномерно сходится на некотором множестве, то и указанный ряд также, очевидно, равномерно сходится на этом множестве. Это обстоятельство позволяет перефразировать теоремы о равномерно сходящихся рядах в соответствующие теоремы о равномерно сходящихся последовательностях. Например, теорема 8 может быть перефразирована следующим образом. Теорема 8'. Если функции !"„, и=1, 2, ..., непрерывны в !почке х, ~ Е с: )т" и )„~~, пю !" непрерывна в х,.
Это означает, что для точки хо ен Е 1пп 1пп !"„(х) = 1пп 1пп !„(х), л елх х, Х ЕЕ т. е. предельные переходы по и и по х можно переставлять. 36.4, Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей б!5 Действительно, предел )" последовательности г„, п=1, 2, ... является в силу теоремы 8' непрерывной в точке х, ~ Е функ- цией, а поэтому левая часть равенства равна )(хо): 1пп Ит ) „(х) = Ит ) (х) =) (хо), х «со со к кс х гя Е кыа но и правая часть рассматриваемого равенства в силу непрерыв- ности фУнкций г„также Равна Г(хо): !пп 1пп ~„ (х) = 1пп ~„ (хо) =( (хо).
П л с х к, л со «ЫЕ Задача 25 (теорема Дини "). Пусть функции !и, и=1, 2 ... непрерывны и, монотонно убывая нли монотонно я«взрастая, стремятся на компакте Е «: Я'" к функции /. Доказать, что для того чтобы функция 1 была непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы последовательность (гл) сходилась на мно- жестве Е равномерно. Перефразировать этот результат для рядов. Теперь перейдем к вопросу о почленном интегрировании и дифференцировании рядов.
Поскольку производная и интеграл определялись только в действительной области, то, начиная отсюда и до конца параграфа, будем считать, что все рассматри- ваемые функции определены на промежутках действительной оси и принимают действительные значения. Рассмотрим сначала пример, который убедит нас в том, что одной лишь сходимости функционального ряда недостаточно для того, чтобы интеграл от функции, равной его сумме, можно было найти почленным интегрированием. Иными словами, покажем, Оо со что даже если ряды р', ил(х) и р,' ~ ил(х) с(х сходятся, то равен- л=!а и=! ство Ь со со Ь р, ил(х) Йх = ~Ч , '~ ип(х) Йх ал=! п=-!а может быть неверным, даже в том случае, когда все написанные интегралы существуют. Перефразируем сначала это утверждение в терминах после- довательностей. Если положить е(х) =,5" и,(х), зл(х) = ~„иь(х), л=! ь=! то будем иметь ь «о Ь ь р „' ил (х) с(х = ~ з (х) с(х = ~ 1пп ел (х) с(х, а а=-1 а оп со со Ь п Ь ~ ~ и„(х) с(х = И т ~~ ~ и„(х) с(х = л=1 а л оса !а ь = Иго ~ ~ ~„иь (х)~ с(х ол 1нп ) е„(х) с(х.
Л «оп Л СО а *' У. Л и н н (1845 — 1918) — итальянский математик. бтб З Зб. Фуннцаональные последовательности и ряды Покажем, что равенство ь ь 11гп ~ в„(х) дх='1 1]гп зл (х) с(х л сии ~ в„ (х) г(х = п ~ хе ™ сгх = - ~ е-'Й = †-(1 — е ). 1 Поэтому 1пп ~в„(х)с(х= —, т.
е. действительно, для рассмот- 1 2' 0 ренной последовательности (в„(х)) имеет место неравенство 1 1 Нт ~ зл (х) ггх Ф ) 11гп вл (х) ггх = О. 0 и си и 0 Если построить ряд У, 'и„(х), для которого последовательи=- ! ность (вл (х)) является последовательностью частичных сумм, т. е. положить и,(х)=в,(х), ии(х)=ви,(х) — вл,(х), и=2, 3, ..., то для этого ряда будем иметь 1 сс со 1 р,' ил(х) г(х ~ Ъ" ~ ил(х)дх. ои=] л=!0 и=1, 2, ... „непрерывны Теорема 9. Пусть 4ункг(ии ии(х), на отрезке [а, Ь) и ряд р' ,ил(х) (Зб.ЗЗ) л=! равномерно сходится на [а, Ь1. Тогда сон[а, Ь), ряд са к .У, '~ ил (1) г(1 какова бы ни была тонка (Зб.
34) л=!с справедливо не всегда, когда на отрезке [а, Ь1 существует предел 1пп вл (х) и все рассматриваемые функции иитегрируемы, и ис т. е. что в этом случае не всегда можно переходить к пределу под знаком интеграла. Пусть вл(х) =пхе-™, и=1, 2, ..., 0 =х~1. Тогда вл(0) =0 и при любом х~О: 11гп вл(х)=0. Таким образом вл,—,О и, л 10, 1] следовательно, интеграл от предельной функции, т. е. от нуля, также равен нулю. Однако 1 ! л Зб.4, Свойства равномерно скодяи[икся рядов и последовательностей б1т также равномерно сходиптся на [а, Ь1, и если в(х) =- '5"„и„(х), л== ! (36.36) то к сс к ~в(т) е[1=.
~, ~ил([)Ш, а=-х--Ь. с л.—. ! с Если эту формулу переписать в виде с к ~ ~ ~; и„([)~ е([ =- ~Ч , ')си„([) ду, с л=1 л =- 1 с (35.36) о(х) =~ ~ ~' ил([)1 е[4= ~ в([)Ш. с 'ьл=-! с (36. 37) Пусть Вл(Х)= ~Ч и[,(Х) И Гл(Х)=В(Х) — Вл(Х). Тогда для любого хан[а, Ь) имеем ! л к !к кг а(х) — ~ч„ ~и,([)[[[ =~~в([)ттт — ~~ В = 1 с с с !к к =~) З(1) Й вЂ” ~зл([) Ж ( с с Г = $~г„(т)! Ж = вцр )г„(Г)( г)сИ [а. ь[ ~[х — с~ зцр ~г„(1)[==(Ь вЂ” а) зцр [г,(х)1. (36.38) [а, ь) [, ь[ Последовательность зцр ~гл(х) /, п =-1, 2, ... является число- [а, И вой последовательностью. В силу равномерной схоаимости ряда (36.33) имеем 11[и зцр ~г„(х) (= 0 л со[а,е[ то видно, что она означает законность при условиях, перечисленных в теореме 9, почленного интегрирования ряда. Доказательство. В силу равномерной сходимости ряда (36.33), согласно теореме 8, функция в(х) (см.
(36.35)) непрерывна на отрезке [а, Ь[ и поэтому интегрируема на любом отрезке с концами в точках сев [а, Ь) и х в= [а, Ь1 Покажем, что ряд (36.34) равномерно на отрезке [а, Ь1 сходится к функции В)В З ВВ. Фунниионвльныв последовательности и ряды к к ) ?„(() г(! =')) (() г(г' на [а, Ь), с с в частности, к к 1пп ~?н(1) г(1= ~[Нгп ?„(1))г(1. Упр ажнение 9. Показать, что если ?к (х) = 1 2п при х=!г2п, 1 О при х=о и — ~к~1 т! и 1 (х) линеана на отрезках ГО, — 11 и < — -, — 1, то гь(х) — — О, а к ['2п< [2п' и<' " ОХ!1 ! 1'пп 1 гп (х) сгх = 1.
ог е Перейдем теперь к вопросу о дифференцировании рядов. Теорема 1О. Пусть функции и„(х), п=1, 2, ..., непрерьгвно дифференциругмы на отрезке [а, Ь) и ряд, составленный из их .производных ~ и„'(х), (35.39) п=! равномерно сходипгся на отрезке [а, Ь). Тогда если ряд У', и„(х) и=. ! сходшпся хотя бы в одной точке се= [а, Ь), то он сходится равномерно на всем отрезке [а, Ь), его сулгма в(х) = )~ ~и„(х) (36.40) и=! непрерывно дифференцируема и з'(х) = У', и„'(х).
(36.41) и=! (см. и. 36.3); поэтому из неравенства (36.38), согласно признаку Вейерцгтрасса равномерной сходимости последовательности, следует, что последовательность частичных сумм ряда (36.34) равномерно сходится к функции (36.3?), а это и означает равномернуго сходимость ряда (36.34) к функции (36.37). Теорема и, в частности, формула (36.36) доказаны. Перефразируем полученный результат для последовательностей функций.
Теорема 9'. Если последовательность непрерывных на отрезке [а, Ь'1 функций ?„, п=1, 2, ..., равномерно на атом отрезке .сходиоия к функции ?', то, какова бы ни была точка сон[а, Ь), Яб.4. Свойства равномерно сходящихся рядов и лосяедовотельностей б1д Если эту формулу переписать в виде с О с сс '5; ии(х)~ = ~", и„'(х), л=! и= ! то видно, что она означает законность при сделанных предположениях п очле нного дифференцирования ряда. Доказательство. Пусть о(х) = ) ', ц'„(х). (36.42) л.= 1 к си к сс ~о(1) с(т= т„~ил(1)й= ')', [ии(х) — ил(с)), а(х =.Ь. (36.43) и= ! с и= — ! Ло теореме 9, ряд ч', (и„(х) — и,(с)], а .=х==.Ь, (36.44) л=! — сходящийся. Сходится, по условию теоремы, и ряд ил (с), л=! (36.45) а поэтому сходится и сумма рядов (36.44) и (36.45), т.
е. ряд ил (х), а =- х «-" Ь. (36.46) л=! Отсюда следует, что равенство (36.43) можно переписать в виде ~ о(1)ст! = ", 'ил(х) — ~", ил(с), с л —..- ! л=! или, что то же (см. (36.40)), в виде ~ о(1) И =в(х) — в(с). с (36.47) Функция, стоящая в левой части имеет производную по х, значит и функция в (х) имеет производную. Дифференцируя равен- ство (36.47), получим (см. п. 29.2) в' (х) = а (х), (36.48) В силу равномерной сходимости этого ряда его сумма является непрерывной функцией и его можно почленно интегрировать: буо У Эб. Функциональные последовательности и энды где функпня о(х) непрерывна на отрезке [и, Ь1, ибо представляет собой сумму равномерно сходящегося ряда (36.39), члены которого — непрерывные функции. Подставляя (36.42) в (36.48), и получим искомую формулу (36.41).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
