kudryavtsev1a (947413), страница 119
Текст из файла (страница 119)
(37.13) Доказательство. Если ~г — го~(И, то гл(г) =(г г )л11 'У' ао (г г )о-л:1 о=л+1 И ряд, ПОЛуЧИВШИИСя ПОСЛЕ ВЫНЕСЕНИЯ МНОжИтЕЛя (г — гл)лО1, СХО- дится. Поэтому функния гр(г)= ~ч, 'ао(г — го)'-л-', как сумма О=о+1 степенного ряда, непрерывна в круге ~г — го~ ~)?.
Если теперь 0(г(Я, то функция ~р(г), будучи непрерывной на замкнутом круге ! г — г, ~ ~г, будет и ограничена на нем, т. е. найдется такая постоянная М) О, что (см. п. 23.3) при ~ г — г,~== выполняется неравенство ! 1р (г) ) == М. Поскольку гл (г) =- = (г — го)л+1 ~р (г), тО При ( г — го ( ~ Г ПОЛУЧИМ: ~ Гл (г) ~ = 1 г — гл !™1 ! 1Р (г) 1( М ~ г гл ~л~ а это и означает (37.12).
Условие (3?.13) непосредственно следует из (37.12). Д Теорема 5. Представление аналитической в п1очке г, функции )'(г) в виде степенного ряда (37.11) единственно, т. е. если ~ а„(г — го)" =,У', Ьл(г — го)", !г — го)()1, 111)0, (37.14) л=-о о=о а„=Ь„, п=О, 1, 2, Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равенства (37.14) при и = 0 в силу формулы (37.12) следует, что при г- г, а,+0(г — г,) =Ь,+0(г — го). Переходи в этом равенстве к пределу прн г- г„получим ао= Ь,.
Пусть уже доказано, что а?=Ь?, у=О, 1, 2, ..., п — 1, тогда в силу (37.12) и (3?.14) ао+а,(г — го)+ ..+ал(г — го)о+0((г — го)"") = = Ьо+ Ь, (г — го) + .. + Ь„(г — го)л + 0 ((г — го)л"). Уничтожая одинаковые члены в обеих частях этого равенства и деля обе его части на (г — г,)", будем иметь ал+0(г — г,)=Ь„+0(г — г,), г г,. Отсюда в пределе при го го получим, что ал=Ьл (ср. с тео- ремой 2 в п.
13.2). Д б З7. Степенные ряди .бзг Может случиться, что лишь рассмотрение ряда в области комплексных чисел может объяснить величину его радиуса сходимости. Например, ряд Х ( — 1)»хе», л=е являющийся суммой геометрической прогрессии со знаменателем — к', сходится при,1х1 ( ! и расходится при 1х1=- 1. Его сумма 1 ! на интервале ( — 1; 1) равна 1+,. Функция, определена и бесконечно дифференцируема на всей вещественной оси, поэтому непонятно, почему, раскладывая ее в ряд, — ~х ( 1)лх л 1 » 1+к» вЂ” а~, Ф л=е мы получаем ряд, сходящийся только при 1х1(1. Зто делается совершенно естественным, если рассмотреть эту функцию в области 1 комплексных чисел, поскольку функция, +, имеет «особую 1+ г» точку» при г=! (в этой точке функция не определена и при приближении к ней стремится к бесконечности), т.
е. как раз на границе круга 1г(= 1. 37.4. ДЕИСТВИТЕЛЬНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ У„'а„г», (37.15) л=е л=е иа 㻠— 1 (37.17) л =-! равны. Л о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Я вЂ” радиус сходимссти ряда (37,!5), )к,— радиус сходимости ряда (37.16), а Я» — радиус сходимости ряда (37.17). Из неравенств ~~)г11а„гл!~)г»11палгл-'(, и=1, 2, ... (37.!6) В настоящем пункте будут в основном изучаться степенные ряды с действительными членами.
Однако предварительно докажем одну лемму, справедливую для степенных рядов в комплексной области, Лемма 2. Радиусы сходимости рядов а?лп действительные аналитинеание функции (см. теорему 6 в п. 35.5) следует, что если сходится ряд (37.17), то в этой точке схои если в некоторой точке г сходится ряд точке сходится и ряд (37;15).
Отсюда сле- н теоремы сравнения в некоторой точке г дьпся и ряд (37.16), (37.16), то в той же дует, что (37.18) Покажем теперь, что )? =)?а. (37. 19) (37.20) В силу сходимости ряда (37.16) при г=г общий член этого ряда при г=г стремится к нулю, когда и- со: 1пп ! „" ) = О. ! а„гн'ь Следовательно, последовательность ~ ", ~, и=1, 2, ..., огранил+! чена, т. е. существует такое М)0, что для всех п=1, 2, ... выполняется неравенство ~АМ.
Положив д = ) '-" ~, из (37.20) получим неравенство г ~па„г„" '~~ ., Мд"", 0(д(!. Поскольку ряд с общим членом,, Мдннл сходится (в этом н (н+ 1) ,гь легко убедиться, например, по признаку Даламбера), то при г=--г, сходится и ряд (37.17). Неравенство (37.19) доказано. Из неравенств (37.18) и (37.19) следует, что 1(=)с,=)?а. И 3 а м е ч а н н е. Утверждение леммы может быть доказано несколько проще, если использовать формулу Коши — Адамара для радиуса сходкмости степенного ряда (см.
п. 3?.2*). Мы не стали этого делать, так как приведенное доказательство также не сложно, а поскольку оно не использует формулы Кошн— Адамара, то пункт 37.2* можно пропустить прн первом чтении (на что и указывает звездочка при его номере). Пусть ряд (37.16) сходится в точке г, и 0(~гь!(Яп Выберем такое действительное число г, чтобы га~(г(Я,. Тогда при и = 1, 2, ...
получим ": ' =-" — '"'"!" —:"'11" Г" Э зк Степенные ряди В дальнейшем в этом параграфе везде, где не оговорено противное, будем предполагать, что коэффициенты всех рассматриваемых рядов действительны и что переменные г и г, также действительны (в этом случае будем их обозначать х и х„). Правда, все рассматриваемые ниже свойства степенных рядов переносятся в определенном смысле н на степенные ряды в комплексной области, однако для осуществления этого нам пришлось бы обобщить понятие производной и интеграла на функции комплексного аргумента, а это не входит в задачу настоящего курса. Итак, мы будем рассматривать ряды ~ а„(х — хя)".
(37..21) л=ь где а (п=О, 1, 2, ...)„х и х, действительны. Если )т — радиус сходимости ряда ~ч', ак(г — х,), где г — комплексное число, т. е. к=! ряда с теми же коэффициентами, что и у ряда (37.21), но рассматриваемого в комплексной области, то, очевидно, ряд (37.21) сходится, если ~х — х,,'(Й и расходится, если ~х — х,)))т. В этом случае Я по-прежнему называется радиусом сходимости ряда (37.21), .а интервал (х,— )7, х,+)т) — его интервалом сходи- мости. Теорема 6. Если )т — радиус сходимости степенного ряда (37.22) )с О,то 1) функция 1' имеет в интервале (х,— Р, хе+а) производные всех порядков, которые на»одятся из ряда (37.22) почленным дифференцированием', 2) для любого х ен(хв — Й, хо+В) к СО ~ к (1) д( ~~1~~~ (» ~к) к кс В т.
е. внутри интервала сходимости степенной ряд молсно почленно интегрировать; 3) ппепенные ряды, получаю!циеся из ряда (37.22) в.результате почленного дифференцирования или интегрирования, имеют и!от хсе радиус сходимости, что и сам ряд (37.22). Доказательство. В силу леммы, доказанной в начале этого .пункта, радиусы сходимости .ряда ~ па„(х — х,)"-', л=! Э7.4. действительные аналитические функции получающегеся из ряда (37.22) почленным дифференцированием, и ряда а„(х — ха)" ат а+! л=е получающегося из того же ряда почленным интегрированием, имеют тот же радиус сходимости что и ряд (37.22) (чтобы в этом убедиться, достаточно сделать замену переменного х — хеч а).
Поскольку всякий степенной ряд вида (37.22) с радиусом сходимости Я равномерно сходится на отрезке [хе — т, ха+с), 0( (т()к (см. теорему 2 в п. 37.1), то утверждение теоремы о возможности почленного дифференцирования и интегрирования вещественных степенных рядов непосредственно следует из соответствующих теорем о дифференцнруемости и интегрируемости функциональных рядов, доказанных в пункте 36.4.
П Заметим, что, например, воэможность почленного интегрирования степенного ряда (37.22) внутри интервала сходимости (х, †)т, ха+)т) сразу вытекает (см. теорему 9 в п, 36.4) из того, что степенной ряд равномерно сходится на всяком отрезке [ха — т, х,+т|, 0(т()т'. Отсюда следует, что при почленном интегрировании радиус сходимости степенного ряда не уменьшается. Доказанная теорема содержит более полное утверждение, что указанный радиус сходимости, кроме того, и не увеличивается, т. е.
остается прежним. Теорема 7. Если функция [ аналитическая в точке ха, т. е. представима в окрестности элюй точки рядом (37.22) с радиусом сходимости К- О, то и а л О 1 )л (к.) л! (37.23) т. е. 7 (х) = ~ , " (х - х,)'. л = О Доказательство. Продифференцировав л раз обе части равенства (37.22), получим (см. теорему 6): 7 <в> (х) = л (л — 1)... 2 1 и, + (л + 1) п... 2лл м (х — х,) + +(л+2)(п+1)...За„ае(х — ха)'+... Отсюда при х= х, и получается формула (37.23).
(1 Заметим, что из доказанной теоремы следует еще раз свойство единственности разложения функции в степенной ряд (правда, на этот раз в силу сделанных ограничений только в действительной области, ср. с п. 37.3). взв й З7. Степенные ряды 37.5. РАзложение Функций Б степенные Ряды. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ЗАПИСИ ОСТАТОЧНОГО ЧИСЛА ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА Определение 4. ??усть функция ? определена в некоторой окрестности точки х, и имеет в этой точке производные всех порядков, Тогда ряд !" (х — х,)" (37.24) л=е называется рядом Тейлора функции ? в точке х,.
При х,=О ряд (37.24) называется также рядом Маклорена функции ?(х). Как мы знаем, всякая аналитическая в точке х, функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности этой точки и равна в этой окрестности сумме своего ряда Тейлора. Оказы- вается, что обратное, вообще говоря, неверно: существуют функ- ции, бесконечно дифференцируемые, но ие аналитические и, значит, не представимые своим рядом Тейлора. Примером такой функции является функция ?(х) = е — "'* для х~О, (37.26) При хФО эта функция имеет производные всех порядков, кото- рые легко вычисляются: ?'(Х)= — ГŠ— П" ?" (Х) = — —,Е Пк'+ —; Š— Ок*, и вообще где Р„(1?х) — многочлен некоторой степени относительно 1/х (П вЂ” ПОрядКОВЫй НОМЕР, а НЕ СТЕПЕНЬ МНОГОЧЛЕиа), т.
Е. ?1л1(Х) есть линейная комбинация слагаемых вида — е — и", т=О, 1, 2,.... (37.26) Это легко проверяется по индукции. Сделав замену переменного ?== -„-;, найдем, применив правило Лопиталя, предел модуля 1 выражения (37.26) прн хе-О: ?ы~е 1! т ~,— е — пк' ~ = 1пп — = О. к О~к М .1. со Отсюда следует, что и предел выражения (37.26) при х- О также равен нулю и что при любом п =О, 1, 2, ... 1!пт?м>(х)=!!пз Р„( -1е — ил*=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
