kudryavtsev1a (947413), страница 122
Текст из файла (страница 122)
Иначе говоря, справедливо для отрезка [ — 1, + 11. Беря например„ х= 1 и замечая, что агс1я 1 = --, 4 ' 87.8. Формула Стерлинга 4. Найдем сумму ряда 5 (х) = (37.61) и=- ! Радиус сходимости этого ряда равен единице; в этом легко убедиться, например, тем же способом, что и в случае ряда (37.60). Продифференцировав ряд (37.61) почленно: 5'(х) = п=! и использовав разложение логарифма (см.
п. 37.6), получим: х5'(х)= ау — — = — (п(1 — х), !х!(1, или 5'(х)=— тгт кл 1п (! —.т) л ! Замечая, что 5(0) =О, окончательно получим к 5(х) = — ~ (п (1 — !) й. о Таким образом, здесь ответ выражается не в элементарных функциях. У пражиеиия. 14. Разложить в степенной ряд функцию (агсз1пк)'. 15, Найти сумму ряда ~ лзхк. к= ! 37.8. ФОРМУЛА СТИРЛИНГА С помощью разложения логарифмической функции в степенной ряд можно легко найти формулу, описывающую асимптотическое поведение факториала и( при и-+-со.
Она называется формулой Стирлинга "! и может быть записана в виде ! п( согласно определению асимптотического равенства для последо- вательностей (см. и. 23.3) это означает, что 1пп, = 1. и го а+в 4/2 — „„е,-п " )(ж. Ст и р л и и г (1092 — 1770) — аиглийский математик. 2 87. Стеяеяные ряды Из разложения 1п(1+х)= Ъ ( — 1)е"--„-, — 1(х -1, я=- ! следует, что !и — = 1п(1+х) — 1п(1 — х) = ( — 1)"ее-- — ~ ( — ' )=2 л= ! я=! я=е ! Полагая здесь х = „, и = 1, 2, ..., получим ! 1п 2я+ ! 2я+ 1 1 1 ! ! + 3 (2я+ !)е 5 <2я+ !)е ~( 2 1 + 2 2 2я+ ! откуда (+2) ( + ) (!+ „— ) <е.
(37.63) Положим ем я! е" х„— — ' поскольку согласно (37.63) (37.64) то последовательность (х„) убывает, и, кроме того, она ограни- чена снизу х «О. Следовательно, существует предел ее! 1пп «я = и. я со Поэтому (37.65) х„=- а (1+ е„), где !!<и ея = О, я сО или, потенцируя и принимая во внимание, что функция 1пх— монотонно возрастающая, 37.9и. Фор,аула ы ряд Тейлора для вектор-функцый Вод Подставим (37.65) в (37.64): 1 и! 2 и! =а,и (1+си).
(37.66) Лля того чтобы получить формулу (37.62) осталось лишь показать, что а= —.)~2п. По формуле Валлиса (см. (30.8) в п. 30.2) л, ! ! (2л)!! !о 2 и, 2л+! ~ (2л — 1)!! ~ ' (37.67) а согласно (37.66) (2л)!! 1(2п)!!1' 2'и (л0' .о Г л (! -1- еи)о = — = — ' — = а 1 (2л — 1!!! (2л)! (2л)! [' 2 ! -1-в „' Подставив это выражение в (37.67), получим л 1. 1 о л (1+в„)л а' 2 „, 2п+! 2 (1+вел)о 4 откуда а= р'2п. [л 37.9*. ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА 11ЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ Рассмотрим вектор-функцию 7: [а, о(- )7и, где )7и — п-мерное векторное пространство. Как уже отмечалась, на вектор-функции обобщаются понятия предела, непрерывности, производной, дифференциала и интеграла (см.
2 15, п. 18.4 и и. 30.4), на которые переносятся многие свойства этих понятий, справедливые для числовых функций. Однако, далеко не для всех свойств это имеет место. Так, в и. 15.2 было показано, что утверждение, аналогичное формуле конечных приращений Лагранжа, уже не справедливо для вектор-функций. Поэтому не справедливо, конечно, и ее обобщение в виде формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Покажем, что для вектор-функций справедлива формула Тейлора с сстаточным членом в интегральной форне. Теорема 1О. Пусть функция Т: (го+1!, (о — й) — )к'" непрерывна вместе со всеми сеоими производными до порядка и+1 вкл>очителкно на интервале (1о — л, го+А), й' >О. Тогда для л!обсев 1~ ((о — й, 1о+й) справедлива формула и 1(1) = 7 -..Ро! (1о) (1 — (о)о+- - ~ (1 — т)и)'иим (т) е(т.
(37.68) о=о и Следствие. ! и .~(1) — — Т'о> ((о) (1 — 1о) ~ — — (1 — (о)ио! зцр ! Ттим! (т' ' <и — о, о+о! о=о 1 е= ((о — (г, го+1!). а 37. Стененносе Ссндсо Доказательство теоремы. Прежде всего напомним, что если Г(1)=й(г) " 1.(1)) (37.69) то (37.70) ~'(г) =%(Г), .... 7.'(Г)), 1~(1о — й, Го+й), с 7с с $ 7е(т)с(т=( $1с (т) с(т, ..., $ )„(т) с(т). с (37.71) Из предположений теоремы следует, что каждая координатная фУнкциа 7с непРеРывна на интеРвале (со — сс, 1о+ сс) вместе со всеми своими производными до порядка и+1 включительно, и поэтому для нее справедлива формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме л ЬЯ= У а(й"'Ро)(1 — (о)л+ л=о +1( ~ (1 т) 7с (т)с(т с=1, 2, " и. с. Отсюда в силу (37.70) и (37.71) и следует сразу справедливость формулы (37.68).
П Следствие вытекает из неравенства ! с 1сс-о с" с сс.( св — 11 — (о~" 1$!У""(т) ~с(т1 «)1 — (о~" Р У""м(тИ1~ с( се ю — л, с,+л> = , 'с — (о~"с' зцр Т"оп (т)~. П <с,— л. с,+лс Для вектор-функций справедлива формула Тейлора и с остаточным членом в форме Пеано: если функция 7: (со — (с, (о+сс)-о йл имеет в точке (о производную порядка и, то ~(() = ~„ р алсос ((~) (1 (о) + о ((( — ( ) ). л= о Это также следует сразу из того, что для каждой координатной функции гс, с =1, 2, ..., п, в предположениях теоремы имеет место формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано в окрестности точки 1, (см.
п. 13.1). Если вектоР-фУнкциЯ 7':(со — сс, со+сс)- сс" имеет в точке 1, производные всех порядков и для любого 1 ен (со — й, со+ сс) д7.10*. Лскятотические степенные ряды выполняется условие и т 1тс) — 2' -',т' тес — ы'1-о. и оч( О е о т=а то на интеРвале (1,— й, те+и) фУнкциЯ 7 РаскладываетсЯ в сте- пенной ряд с векторными коэффициентами Х(1) = ~ †„', ~ (1.) (1 - (.)", пе а называемый ее рядом Тейлора.
37ЛО*. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Р„(х) = Р„~ (х) + — „, (х — х,)". Р"' (кй (37.73) Из (37.72) и (3?.73) следует, что разность 7(х) — Р„,(х) предста- вима в виде ~ (х) — Р„, (х) = †„, " (х — х,)" + о ((х — х,)"), х х„ и, тем самым, имеет место асимптотическое равенство Р"' (кч) 7" (х) — Р„,(х) ' (х — х,)", х — ~хе. и! Таким образом, члены многочлена Тейлора Р„(х) (ряда Тейлора, если функция 7 бесконечно дифференцируема в точке х,) можно последовательно определить как слагаемые вида ап (х — х„)", асимптотическн равные разности г(х) — Р„.,(х) при хч-хе.
Аналогичным образом можно поступать и при изучении функции в бесконечности. Пусть для определенности функция 7' определена при х) а, и существует конечный предел !пп 7" (х)=ае. (37.74) к +оз а, следовательно 11гп )7(х) — ае1= 0. к +аз Иногда возникает вопрос как именно разность 7" (х) — а, стремится к нулю, каков порядок убывания этой разности? Может Известно (см. п. 13.1), что если функция 7 определена в окрестности точки хе и и раз в ней дифференцируема, то существует такой многочлен Р„(х) степени, не большей и, а именно много- член Тейлора, что ~(х)=Р„(х)+о((х — х,)"), х-~хе, и=1, 2, ..., (37.72) При этом а 37. сгепенние ряди случиться, что существует такое число а„что ? (х) — а, '-', х-~-+ оо, т.
е. (см. теорему 1 в п. 8.3) ) (х) — а« = г + о (- ), х-++ со, (37.76) (37.76) откуда х !? (х) — а«! = а, + х о (1?х), х-«. + со, а поскольку в силу определения символа о !!гп хо(1/х)=О, то к +сю а,= 1!го х1((х) — а«!. (37.77) к +сю Наоборот, из (37.77) следует, что х 1) (х) — а«~ = а, + е (х), ! ! т е (х) = О, и, следовательно, ~()=-"+" + (х) =;+'„'+.~„'), .-+, т. е. выполняется асимптотическое равенство (37.76). Если ука- занное а, найдено, то часто бывает нужно найти, как говорят, «следующий член асимптотического разложениям функции ?, т.
е. найти асимптотическое поведение разности ? (х) — а, + ~ при / а,~ х- +о . Эта разность согласно (37.76) представляет собой ие что иное, как о(1/х), х-«-+со. Может случиться, что существует такое число а„ что )'(к) — ~а«+ -') в,', или, что то же ? (~) — ! а + „. ) = „., + ~1», ~, х + ~. Это условие равносильно существованию предела !!т х'~~(х) — 'а,+ ')~=а«.
Вообще, если и«+ х + -+'''+х„«, (п=1, 2, ...) (3?.78) — такой многочлен степени не большей п — 1 относительно переменной 1)х, что Пх) — (п + с+-„;+" +„—,".'~ „— „",'. х +, и=2, 3, ..., 37.!О." Асииитотические степенные ряди всу то может случиться, что существует такая постоянная а„, для которой имеет место асимптотическое равенство )'(х) — о„т(х) „„", х — т-+со. (37.79) Это условие равносильно следующему: 7" (х) — о„т(х) =""я+о ~ -„-), х-«-оо, которое, полагая (37.80) я„(х) =я„т(х)+"„"= 'Е '— аа, (37.81) (37.83) Ряды такого вида также можно назвать степенными рядами, точнее, степенными рядами по целым отрицательным степеням переменной х. Определение 5. Пусть функция 7' определена при х~ а и 1цп 7(х) =-а,. Если существует ряд вида (37.85), частичные суммы + чт (37.78) которого удпвлетворяют условию (3?.79), либо, что равносильно, одному из условий (37 82) или (37.83), пю эпют ряд наэьсвается асилттстическим рядом ! или асимптотическим разложением) в смысле Пуанкаре«! функции ) при х-«.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
