kudryavtsev1a (947413), страница 124
Текст из файла (страница 124)
В силу (37.98) Й„(Х) = О (1/Хл), Х-«+ ест. Поэтому для любого е'- 0 существует такое х,-=а, что для всех х)хе выполняется неравенство ))с„(х) (( — „. у 87. Степенные ряда По формуле Ньютона — Лейбница для любых х~а и у.~а е 1 (у) — 7' (х) = ~ Г (() Ж = ~ ~Ьо+ «вЂ” '+ (Г Я вЂ” Ь, — «')~ !1(= к к =Ьо(у — х)+Ь,1п — "+ ) (!'(!) — Ьо — — ')Ж. (37,103) Согласно (37.102) 7' (!) — Ьо — -'- = 01-„), Е-ы+ со. Следова- тельно, интеграл ~~' (1) — Ьо — —,' ~ е(1 сходится, В силу (37.100) существует конечный предел 11т ((у) =ао. у +со Поэтому, переходя к пределу при у-ы+со в (37.103), убеждаемся в том, что существует конечный предел 11тп ~Ьо (у — х) + Ь,1п-~~~ ~, Е -!-со Это возможно только в случае, когда Ь,=Ь,=О.
Таким образом, равенство (37.103) в пределе перейдет в равенство +се а,— 7'(х)= ~ 7'(!)о(1; к при этом в силу условия Ь,=Ь,= 0 из (37.102) имеем: 7' (х) ~~ --„"-, х-э-+ со; к=2 отсюда, интегрируя почленно в пределах от х до -1-со согласно свойству 17, получим ао — ) (х) ~ — "'„', х-ы+ и», и=-! Но из (37.100) следует, что с (х) ~е к' Ъ» еп и=! Вспоминая, что разложение функции при х-ы+сю в асимптотический степенной ряд единственно, из сравнения получившихся для функции ао — )'(х) рядов найдем, что Ьо,= — па„, п=-1, 2, .... П Ж1. Кратные числовые рады ббб Замечание.
Если непрерывно дифференцируемая прн х)а функция ! раскладывается при х-ь-+ос в асимптотнческий ряд, то ее производная может не иметь при х — !-+со асимптотического разложения. Тем самым требование существования асимптотического разложения у производной в предложении т! является существенным. В качестве примера рассмотрим функцию ) (х) = =е- з1пех, — оо(х(+оо. Нетрудно с помощью формул (37.84) убедиться, что функция )' при х — +со раскладывается в нуленой асимптотический ряд, т. е. ряд (37.85), у которого а„=0, п=0,1, 2, .... Ее производная 1'(х)= — е-хаше +соаех заведомо не имеет асимптотического разложения при х-!-+со, так как она даже не имеет предела прн х-~.+ со.
У и р аж пенне 16. Доказать, что евм 1 2! 4! а) ) Вт= — — — + — ' — ..., х~+ссх 1+!а х ха ха + ьз б) ~ ех й! — — —. + — — — +..., х -е-+со, 2х 2!ха 2зха 2ехт- х $38». КРАТНЫК РЯДЫ 363. КРАТНЫЕ ч1ИСЛОВЫЕ РЯДЫ (38.1) В настоя!нем параграфе будут рассматриваться так называемые кратные ряды вида Х ч ...чс1 и и, ....
и = ! где и„, . „— заданные числа (вообще говоря комплексные) занумерованные й индексами и;, с=1, 2, ..., й, каждый из которых независимо от другого пробегает натуральный ряд чисел: и! = =1, 2, .... Ряд (38.1) называется !с-кратным рядом, а числа ии, „„— его членами. Определим четко этн понятия. Начнем с понятия кратной последовательности. Определение 1. Пусть Х вЂ” некоторое множество; я-кратной последовательностью элементов множества Х называется отобраСчч...хи хсч, д,б» м натуральных чисел). Элемент х=1(л„..., и„), п,ептч', ..., наапФ, обозначается через х„ „ „, а сама последовательность через )х, т" й' ! 1 " »!. Однократйая последовательность называется просто последовательностью.
у 88. Кратные ряды 'Сто =,~~ .У> и»с (38.2) я= ш=1 Пара последовательностей (и „), (В „! наэьиается двойным рядом и обозначается через ит„. (38. 3) т, о=1 Элементы двойной последовательности (и „) называются членами ряда (38.3), а элементы двойной последовательности (Я „)— частичными суммами этого ряда. Определение 5. Двойной ряд (38.3) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится. Ее предел называется суммой ряда; причем, если 1!щ 5 „=5, (38.4) т,о со Итак, элементы й-кратной последовательности кзанумерованы» й натуральными индексами. Мы будем рассматривать числовые кратные последовательности, т. е.
кратные последовательности, элементами которых являются комплексные, в частности действительные, числа. Для простоты обозначений ограничимся случаем й= 2. Обобщение на случай произвольного натурального я ~ )ч' делается безо всякого труда. Определение 2, Число а ен С называется пределом двойной последовательности (х„„) и пишется а оо !пп х „, если для т,л со любого е)0 сушествует такое п»~Л~, что для всех т~п„ я=п„т ен Ас', и вне, вьтолняется неравенство !х „— а!(е.
Если двойная последовательность имеет предел, то она называется сходящейся. Определение 3. Двоиная последовапыльность называется после довптельностыо, стремящейся к + с з, и пишется 1пп х „= т,л со =-.+оп, если для любого е)0 существует такое пеепйГ, что для всех гп- п„п)п„т ~ АГ, и ~ У, выполняется неравенство Хтя» е. Аналогично определяются бесконечные пределы !ип х „= т,п со = — со и 1пп х „=со. т,н о» Как обычно, под пределом (в данном случае двойной последовательности) понимается конечный предел, если не оговорено что-либо другое. Определим теперь двойной ряд. Определение 4.
Пусть задана двойная последовапмльность (итя). Составим двойную числовую последовательность ВВ.1. Кратные час»алые ряды то пишется иыл = 5. ы, л=-! Если конечного предела (38.4) не существует, то ряд (38.3) называется расходяи(имея. Если суи1еспгвует один из бесконечных пределов 1пп 5,=+ оо, 1!ш 5 „= — оо, (38.5) ы.л сл пю соотвеп!отвеяно пишется и »=+со, ~Ч~ и „= — оо. ы, л=! ы, л.=! Замечание. Содержательность определения ряда как пары последовательностей хорошо видна на примере кратных рядов. Например, если задана последовательность (и л), ть соответствующую ей последовательность «частичных сумм» можно задавать не только выше указанным способом (38.2), но и по другому.
Наряду с суммами (38.2), определенными вьппе и называемыми прямоугольными (в них суммируются элементы им, которым соответствуют точки (я, 1) плоскости ху, содержащиеся в прямоугольнике О~х(т, О=-у~п) рассматриваются треугольные суммы Т,= ~ч, 'им, г=!, 2, ..., (точка (я, 1) »-ьг:Кл лежит в треугольнике х- О, у ~ О, х+ у = г), с ф е р и ч е с к и е 5,= р,' иы, г=1, 2, ..., (точка (й, 1) лежит в круге х'-1- м .!. и < лв + у»(г') и другие. Таким образом, для одной и той же последовательности (и „) имеются разные последовательности частичных сумм, причем в случае сходимости одной из них другая не обязательно сходится. Поэтому естественно рассматривать каждую пару, состоящую из последовательности (и„,„'1 членов ряда и каких-то его «частичных сумм», как самостоятельный ряд.
Отметим, что последовательности частичных сумм кратных рядов (например, частичных сумм Т, или 5,) в отличие от последовательностей частичных сумм однократных рядов не всегда однозначно определяют последовательность общих членов ряда. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямоугольные частичные суммы 5 „, На кратные ряды переносится ряд свойств обычных (однократных) рядов, например: 1'. Если ряд 'Я и „сходится и 5 — его сумма, то ы, л=-! Хи =)5 для любого числа Л.
ы, л=! э,И Кратные ряды ббв 2'. Если ряды т, п —.— и'п=5.с и ~, "и,'„п=5" сходятся, то 1 т, л=! (ипсл+ итп) — 5 +5 1 Эти утверждения л гко доказыза;отса аналогично случаю однократных радов (это предоставляется проделать читателю). Докажем теп рь несколько теорем о кратных рядах. Теорема 1. Если ряд (38.3) сходится, то 1пп и п=О. т.л со Это сразу следует из равенства и п=5 „— 5„до — 5тп д+5т-д -д и условия (38.4). Д Теорема 2. Если все члены ряда (38.3) неотрицапделыеы, и п«О, т, п=1, 2..., (38.6) то всегда существует конечный или бесконечный предел его частичных сумм 5тп, причем !пп 5 и= анр 5 и.
(38.7) т,л=1,2, ... т,л со Доказательство. Если выполняется условие (336) и т'«т, и''=-п, то 5 ° ° «5 „. Далее, если 5= зпр 5 и и 5'(5, то в силу опредет, п=1,2.... ления верхнеи грани существуют такие номера тп и п„что 5,п,) 5'. Положим У =идах ( т„п,), тогда при т=У и и» У 5тп»5нм 5т и )5 Я ~,и„, (38.8) т=!п=! п=1 т.=! н так как 5 „(5, то 11ш 5 п=5, т.
е. выполняется условие (38.7). 1 ) Следствие. В предположениях пдеоремы ряд (38.3) сходится тогда и только тогда, когда его частичные суммы ограничены. Доказательство следствия очевидно. Из двукратного ряда (38.3) можно формально образовать два так называемых повторных ряда. Для этого следует сначала произвести суммирование по одному индексу, зафиксировав другой, а затем произвести суммирование по оставшемуся индексу: Збй. Кратные числовые ряды ббз Аналогично доказанной ранее теореме о повторных пределах (см.
теорему 1 п. 19.2) доказывается следующая теорема. Теорема 3, Если сходится двойной ряд (38.3) и для всех п=1, 2, ... сходятся ряды )" „и „,то повторныйряд Я ~ч', и „ гл = ! л=!ы=! также сходится и его сумма равна сумме данного ряда (38.3). Определение 6. Ряд (38.3) называется абсолютно сходяи1имся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
