kudryavtsev1a (947413), страница 125
Текст из файла (страница 125)
ряд 1и „). (33.9) Теорема 4. Если. ряд (38.3) абсолютпно сходится, то сходится и любой ряд (однократный, двукратный или повторный), полученный перестановкой членов данного ряда (в частности сходится и сам заданный ряд). 11ри атом сумл!а любоео такого ряда совпадает с суммой исходного ряда (38.3). Док азательство, Расположим члены ряда (38.3) в бесконечную прямоугольную матрицу, поместив в т-ю ее строку члены ряда с данным фиксированным первым номером т, расцоложенные по возрастанию второго индекса и: им иы итв.. итл ° ° и21 им им...
ив ит ив ив...и„.. Занумеруем теперь элементы этой таблицы согласно следующей схеме: Член ряда (38.3), получившии прн такои нумерации номер й, обозначим ом Рассмотрим ряд ;У, 'о, (38.10) «=! и покажем, что он абсолютно сходится, т. е. что сходится ряд Х !ов!. (38.11) в=! з за Кратнь~е ряде~ Обозначим частичные суммы ряда (38.9) через 5* „, его сумму — через 5*, а частичные суммы ряда (38.11) — через 51. Прежде всего заметим, что для любой суммы 5$ найдутся такие номера т и п, что все члены ряда (38.11), входящие в сумму 5яе войдут и в сумму 5'„, тогда 5я~5*„~5е. Отсюда и следует (см.
п. 35.4) сходимость ряда (38.11). Из абсолютной сходимости ряда (38.10) следует, что и любой другой однократный ряд, составленный из членов ряда (38.2), также сходится и его сумма равна сумме ряда (38.10) (см. п. 35.10). Пусть Покажем теперь, что любой двойной ряд У, и.„, т, я=1 (38.12) полученный некоторой перенумерацией двойными индексами членов данного ряда (38.3), абсолютно сходится и что его сумма также равна 5. Абсолютная сходимость ряда (38.12) легко следует из абсолютной сходимости ряда (38.3), т. е. из сходимостн ряда (33.9), и доказывается тем же приемом, которым была доказана абсолютная сходимость ряда (38.10). Докажем теперь, что сумма ряда (38.12) равна 5.
Обозначим его частичные суммы через 5'„, а частичные суммы ряда (38.10) через 5„. Пусть фиксировано число е О. В силу сходимости ряда (38.11) существует такой номер й„ что 2' я=е +1 е (38.13) тогда и подавно (38 14) Выберем номер У, так, чтобы частичная сумма 5~ и ряда (38.12) содержала в качестве слагаемых все члены ряда (38.10), входящие в сумму 5„. Пусть гп~Уе и п У,. Положим 5те = — 5та 5ее тогда, использовав (38.13) и (38.14), получим 5те ~ ~ 5 5яе ~+~ 5те ~ т ве 67л 38.1. Кратные числовые ряды Итак, 5 является суммой любого ряда (38.12), в частности суммой самого ряда (38.3).
Покажем, наконец, что 5 является и суммой повторных рядов (38.8). В самом деле, при любом фиксированном и (и „( =.~~ )ой(=5е, т=! й=! Следовательно, все ряды ~ч , 'и „, и = 1, 2, ..., т=! сходятся, и притом абсолютно. Положим Паа =,~ ~Палл. (38,18) Зафиксируем снова произвольное число е ) О.
Выберем номер й, так, чтобы выполнялось условие (38.13), а следовательно, и условие (38.14). Далее, подобно тому, как зто было сделано выше, выберем номер М, так, чтобы частичная сумма 5йа!ч ряда (38,3) содержала в качестве слагаемых все члены ряда (38.10), входящие в сумму 5й. Тогда при всех я!!ч'л и и «. !!~в ! л ал ОЭ йе Х !ой!'с-2' !=! /=! й=й,+! Перейдя в этом неравенстве к пределу при т-ьсо, получим (см. (38.18)): ~ ! — 5йе Отсюда в силу (33.14) следует, что при п~Уе выполняется неравенство ! л л .7.и,— 5~~~,У',и! — 5йе +~5йе — 5~(е. 1=! 1=! Это и означает, что ~ч, '~ч„м„„=~ч" „ил=5. П л=! ал=! л=! Упражнение !.
Обобщить критерий Коши сходимости однократяыя рядов на случай кратных рядов. В 88. Кратные ряды 38.2. КРАТНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Определение Ч. Ряд вида ,~ ил, „, (х), л,...,л =1 (33.16) где функции и„п. л (х) определены на некотором множестве Е, называется и-кралтныл! функциональным рядом, а суммы вида ыг, ..., »~а Еы, ...,„(х) = ~Х~ ил,... „(х) ли ...,л =! и», ..., л„(хо) л!...., л,=! Если ряд (33.16) сходится на Е, то функция Е(х)= ~', ил, „,(х), хин Е л,...,л =! называется его суммой.
На кратные функциональные ряды легко переносятся понятия равномерной сходимости ряда, критерий Коши для равномерной сходимости ряда, признак Вейерштрасса равномерной сходимости и т. п. Мы не будем на этом останавливаться. У ар ажнен не Рп Определив понятие равномерной сходнмости двойного ряда, покапать, что, если ряд (38.16) сходится равномерно и если его члены являются непрерывными функциями на множестве о ~ К», то и сумма ряда (38.16) является непрерывной на множестве Е функцией. Определение 9. Ряды вида л, ...,»„=е где с,, „„— комплексные числа, позыва!отея кратнылш степенными, рядами. Хотя, как это видно из предыдущего, многие утверждения, справедливые для однократных рядов, обобщаются и на кратные ряды, последние' имеют и много своих специфических особенностей, существенно отличающих их от однократных рядов.
— его частичными суммами. Определение 6. Ряд (33.16) называется сходящимся на множестве Е, если при. каждом фиксированном хо ея Е сходив!си кратный числовой ряд 88.2. Кратные функциональные ряды 878 В качестве примера приведем двойной степенной ряд с денствительными коэффициентами, который, рассматриваемый в вещественной области, сходится лишь в двух точках плоскости, а именно в точках (О; 0) и (1; 1). Таким образом, аналога теоремы Абеля для степенных рядов (см.
и. 37.1), во всяком случае в прямом смысле, для двойных рядов нет. Этот пример показывает опасность использования аналогий, не подкрепленных математическими доказательствами. Рассмотрим ряд (38.17) с „х у", т, н=а где, сея=О, сеы — — с о=и!, я=1, 2~ " ' сьяе сео= — и! ° и= = 1, 2, ...; с „=О, и)2, п=.2. Его частичные суммы имеют вид 8.,я(х, У) =(1 — У) ~к~ й!ха+У+(1 — х),У', !!У'. (38.18) Я=1 1=2 Очевидно, что 5,(0, 0)=0 и 5 (1, 1)=1, и, а=1, 2, ..., и потому ряд (38;17) сходится в точках (О, 0) и (1, 1).
Заметим теперь, что радиус сходимости ряда ~ч, 'и!г" «=1 равен нулю(см. пример 1 в п. 37.1), при этомегочастичные суммы 5„(г)= ~к~~ й! г", и=.1, 2, ..., при вещественных г)0, очевидно, стремятся к +оэ. Покажем, что при г 0 его четные частичные суммы Яе„(г) также стремятся к +со. Действительно, объединив при г(0 попарно соседние члены, получим: 32„(г) = ~ ', (2й — 1) ! ! г !2Я-1 (2й ) г ~ — 1). ь=! Далее заметим, что при любом фиксированном г =,й 0 для ! номеров й) —, выполняется неравенство ,,'2! (2Й вЂ” 1)! (г(еь '(2Й(г! — 1))(2й — 1)! !г!2ь-1 и что при г ФО ряд (ой 1)! 221-1 б74 б 88. Кратные ради расходится (это, например, легко доказывается тем же способом, каким доказывалась при гФО, расходимссть ряда в примере 1 п.
3?.1) и, следовательно, при г)0 его сумма равна +со, поэтому и 1пп Яя„(г)=+ сз, гФО. Из сказанного и иэ равенства (38.18) следует, что, если (х, у)Ф(0, 0) или (х, у)Ф(1, 1), то, каково бы нн было число в>0, всегда можно подобрать такие номера т и и, что (5 „(х, у) ()е. А это н означает, что ряд (38.1?) для указанных (х, д) расходится. У и Р а жнеаи Я. 3.
Число 5 назовем сУммой РЯда ~к| иена, если Дла т, а=! любого е)0 существует такой номер ДГ, что для всех номеров т и и, удовлетворяющих условию т+и> й1, выполняется неравенство 15 „— 5 ~ <в. Выяснить, эквивалентно нлн нет это определение определению б й ЗЗ.1. 4. Число 5 назовем суммой ряда ~Ч~ ~и „, если длялюбогов~осущестт, ч-1 вует такое конечное множество Яв=((т, а)1 пар индексов т, л членов данного ряда, что, каково бы ни было другое конечное множество Я пар индексов членов этого ряда, содержащее множество Яе:Я~Яе, выполняется неравенство Х и „вЂ” 5~с е, Выяснить эквивалентно или нет это определение определению б п. ЭЗ.! и опре- делению, сформулированному в предыдущем упражнении. ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛИ Абель Н. (АЬе! Ы.) 582, 585, 621, 624 Адамар Ж.
(Найашагй д.)'629 Архимед (Аругрт)оо) 43, 511 Бернулли Я. (ВегпонП! Л) 74 Больцано Б. (Во1хапо В.) 63, 123, 297, Бонне О. (Воппе( 0.) 481 Борель Э. (Боге! Е.) ЗИ Безу Э. (ВехоЫ Е.) 400 Валлис Дж. (%аП!з Л.) 478 Вейерштрасс К. (%е!егз(гааз С.) 63, 121, 297, 333, 603, 609 Гамильтон У. (НапцНоп %.) 365 Гейне Г. (Не!пе Е.) 97 Гельдер О.
(Но1йег 0.) 465, 565 Гульдин П. (ОоцЫеп Р.) 510 Даламбер )К. (О'А!ашЬег1 Л) 558, 559, 577, 578 Дарбу Г. (ОагЬоцх О.) Ю1, 443, 444, 445, 446, 447, 492 Дедекинд Р. (ОейеЫпй Я.) 19, 591 Декарт Р. (Оезсаг1ез Р,.) 247 Дини У. (О!пг Щ 615 Дирихле Л. (О!сЫе1 Ье)ение Р. Сг.) 92, 326, 443, 534, 582, 583, 609 Дю Буа Реймон П, (Оц Во!з Яаушопй Р.) 591 Евклид (Еоу)лбго) 317, 405 Жордан К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
