kudryavtsev1a (947413), страница 121

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 121)

Складывая и вычитая равенства (37.40) и (37.43), а затем деля их на два, получим Зкб. Разложение элементарных функций е рнд Тейлора б.»з Поскольку функция е' определена теперь для всех комплексных г, то на существенно комплексные значения аргумента можно распространить и гиперболические функции з)т х и с)1х, положив ел! е» ! е-» ое! е» вЂ” е " с)1 г —, з)! г — —. 2 2 Определенные таким образом с)1г и з)!а для комплексных г раскладываются в степенные ряды (37.44) и (37.45), сходящиеся на всей комплексной плоскости (под х в них в этом случае понимается комплексное число).

3. Разложение в ряд з(пх и созх. Фор мулы Эйлера. Если 7(х) =з(их, то 7!") (х) =з(п(х+и -) (см. пример 3 п. 10.1), поэтому !Т(л)(х)!(1 для всех действительных х. Согласно теореме 9, отсюда следует, что функция з!их раскладывается в степенной ряд на всей действительной оси. Вспоминая формулу Тейлора для синуса (см. п. 13.3), получим ряд Тейлора для з(пх: з(пх= (37,46) йо Рассуждая аналогично и вспоминая формулу Тейлора для косинуса (см.

п. 13.3), получим и для него ряд Тейлора д ( 1)Е хге (2й)! е = о (37.47) ( 1)» гее»т (2л+ 1)! е=о (37.48) з ( — 1)е гге (2е)! л=о (37.49) В комплексной области легко установить связь между показательной функцией и тригонометрическими. Заменим в ряде (37.41) г сначала на ег, а затем на — !г; Глгл Чз ( !)л !лгл '=1' "=Х а! ' ле а! (37.50) л =- О а=о также сходящийся на всей действительной оси.

В силу теоремы Абеля (см. п. 37.1) ряды, стоящие в правых частях формул (37.46) и (37.47), сходятся также и при любом комплексном х; это позволяет распространить синус и косинус на комплексные значения аргумента, положив для любого комплексного г э 37. Степенные ряды б44 Замечая теперь, что прн и =4й, прн и = 4й+1, прн и =4й+2, прн и =4й+3, и, следовательно, (т'=( — 1)', й=О, 1, 2, ..., нз (37.50) будем иметь е'~+е'и чд ( !)я»»я»! е-!» чя ( !)я ям»т 2»»» (2я)! ' 2!»»е (2(»+ !)! я=з пса Сравнив этн формулы с (37.48) и (37.49), получим (37.51) Из ннх непосредственно следует также формула сонг+!з!пг=е!». (37.52) Конечно, этн формулы справедливы, в частности, и для действнтельных г. Формулы (37.51) и (37.52) называются форл!улал!и Эйлерш Отметим два простых нх применения, Если в формуле (37.52) г=ф — действительное число, то созф+ ! з(пф=еэ.

Поэтому комплексное число с модулем г и аргументом ф Г = г (соз ф+ ( 5!и ф) можно записать в виде г = ге'~. Положив здесь г= — 1 и, следовательно, ф=и, получим е»п — связь между числами е, и и Д Напомним, что числа и, е и ! возникли в математике по совершенно разным и далеким друг от друга поводам: число ив как отношение длины окружности кднаметру, е — как такое основанне показательной функции, прн котором производная функция совпадает с самой функцией, а мнимая единица ! была введена для того, чтобы каждое квадратное уравнение имело решение.

Легко находятся с помощью формул Эйлера модуль и аргумент числа е', где г = я+ !у. Действительно (см. (37.42)), е' = е»" Я = е е!Я = е" (соз у+ ! э(п у), т. е. (е'(=е", Аде'=у. дТ.б. Разлазсенив элементарных функций в ряд Тейлора бчб Синус и косинус в комплексной области обладают многими свойствами, которыми они обладают и в действительной области, однако далеко не всеми: появляются и новые свойства. Уп р ажнен н я. Доказать, что при любом комплексном г: 9. яп ( — г)= — яп г, соз( — г)=созг. 1О. з1пзг+соззг=1. 11, яп (г+2п)=яп г, сов(г+2п)з емг. 12.

Доказать, что для всех г щ С справедливо неравенство е'ФО, Вес ян г 13. Пусть 1й г = —. Доказать, что для всех г щ С выполняется нерассв г венство (йг чь -~- С У наган не. ВыРазить (йг чеРез показательнУю фУнкцию е"'. Покажем, что абсолютные величины синуса и косинуса в комплексной области могут превышать единицу и, более того, не ограничены по абсолютной величине. Заменим в рядах (37.48) и (37 49) г на (г: гзьчх %~ 7 (21+1)1 ' соз тг 7 (2й)! а=о е=о Сравнив получившиеся ряды с рядами (37.44) и (37.45) (при х=г), получим ( з)1 г = яп сг, с)т г = сох (г. В частности, при действительном г = у (з!п(у(=~а(зу) и (сох(у(=с(ту, откуда и видно, что на мнимой оси функции япг и сох г не огра- ничены по абсолютной величине.

В качестве свойства нового типа, появляющегося у показа- тельной функции е' в комплексной области, укажем еще на ее периодичность *'. Именно, докажем, что функция е' имеет пе- риод 2Ы: ее""' = е"'пз'з"' = е'[соз (у+ 2п) +(яп (у+2н)1 = =Ее(СОЗУ+1ЯПУ)=-Е""З=Е=, г=Х+(У, 4. Разложение в ряд функции !п(1+х). Формула Тейлора для !п(1+х) имеет вид (см. и. 13.3) хз х' х» 1п( +х) = х — 2 + -- —...+( — !)"" — +г„(х). Запишем остаточный член г„(х) в формуле Лагранжа. Заме- тив, что [!и (1+ х)1"" = ( — 1)" »~ Если функция ( определена на некотором множестве чисел (вообще говоря, комплексных) Е, то, число Т ы С называется ее периодом, если для каждого х ~ Е имеем х+ Т ы Е и 1(к+ Т) =7(х). Функция, имеющая период, называется периодической.

Ю Зд Стеленное ряди получим хлле гл(Х)=( — 1) ( ! О(1 1 О )„„,, О О "1. то О < 1 и поэтому ~ге (х) (л, —,откуда 1 1 1+Ох л+1 ! (ш гл (х) = О. (3?.53) Если же — 1~х О, то целесообразно записать остаточный член гл(х) в форме Коши: (1 — О)л „, 1 гл(х) =( — 1)-„, ),х„"„х В этом случае О 1 — О 1 — О !+Ох 1 — О)х! ~ ибо в числителе дроби 1, из единипы вычитается большее 1 — О 1 — О ~х~ число чем в знаменателе; кроме того 1 ! 1 < —, 1-1-Ох 1 — О )х! 1 — (х!' поэтому 1 — О 1л 1 „„(х~+ ~ " (Х) 1 - ~ 1+ ах ! ' ! 1+ О ! 1 Х вЂ” 1 —, ! ' откуда при — 1<Х~О также получаем (37.53). Таким образом, 1и (1+х) = ~е ( — 1)л" — „ (37,54) л=-1 для всех х~( — 1; 11.

При х= — 1 ряд, стоящий в правой части равенства (37.54), отличается от гармонического ряда лишь множителем — 1 и потому расходится, Расходится он также и при всех х таких, что !х!)1, ибо в этом случае и-й член ряда (37.54) не стремится к нулю, более того (см. п. 12.2), Вш ф=+ 5. Разложение в ряд бином а (1+х)". Формула Тейлора для биномиальной функции имеет вид (см. п.

13.3) (1+ х)" = 1 + ~х+ ( х'+... + + "(" ) '" (" л+ ) хе+ге(х). (37.55) 37.Б. Разложение элемензирных функяий е рло Тейлора б4г Рассмотрим соответствующий ряд (называемый биномиальным рядом с показателем а): (сс — 1) ... (а — и+1) хе. (37.56) л=! Если а — неотрицательное целое, то ряд (37.56) содержит лишь конечное число членов, .отличных от нуля, н, следовательно, сходится при всех х. Рассмотрим теперь случай, когда а не является неотрицательным целым. В этом случае в ряде (3?.56) все члены отличны от нуля при х~0.

Для исследования абсолютной сходимости ряда (37.56) используем признак Даламбера. Иначе говоря, применим признак Даламбера к ряду с и-м членом: сс(а — 1) ... (а — и+1) и) х" . Замечая, что !пп — "" = 1нп ~ — х~=)х), получаем, что ряд ил,-, !" +1 (37.56) абсолютно, а значит, и просто сходится прн ~ х! <1 н расходится при )х)~1. Однако нз одного лишь факта сходимостн бнномнального ряда (37.56) при )х~ 1 нельзя еще сделать заключение о том, что его сумма равна (1+ х)'". Для этого надо доказать, что в формуле (37.55) г„(х)-~0 при п- со. Замечая, что 1(1+ х)и1(есс) = а(а — 1) ...

(а — и) (1+ х)"-"-', запишем остаточный член г„(х) формулы (37.55) в форме Коши: , ( ) ( — 1)". ( — н)()+ах)" " '(1 е) .. 0 -о н) (О зависит от х н от п). Положнм А ( — ( ) " ' 1( 1) (и 1)! и есл Ьх) = хл В„(х) = — ссх(1+ 8х)"-с, С„(х) = ( — ); тогда г„(х) = А„(х) В„(х) С„(х). Очевидно, А„(х) является общим членом биномнального ряда с показателем а — 1 н, следовательно, в силу доказанной выше сходимости бнномиального ряда при ~ х ! ~! 1)гп Я„(х) =0„)х!.:1. 6 В7. Степенные ряды б4В Лалее, из того, что 1 —,'х!(!+Ох 1+!х~, следует, что зна- чения !В„(х)! заключены между величинами !ссх!(1 — !х!) -' и !схх!(1+,'х!)"-', не зависящими от 6, т. е. последовательность (В„(х)) при фикси- рованном хси ( — 1, 1) ограничена. Наконец, ~1 — ОЯ ! — О ! Из установленных свойств А„(х), В,(х) и С„(х) следует, что 1пп г„(х) =- О, ! х ! (1.

Таким образом, для любого х яи ( — 1; 1) справедливо равенство (1+ „1+ ~э!~~ и(а — 1! ... (сс — 0+1) а ! Задача 26. Доказать, что 1) а точке х=! при а) — 1 биномиальный ряд сходится,'а при и( — 1 — расходится; 2! а точке х= — 1 при а- О бипомнальиы! ряд абсолютно сходится, а при сх(0 — расходится. При этом каждый раэ, когда биномнальный ряд (37.66) сходится, его сумма раина (! -(-х)".

37.1. РАЗЛОЖЕНИЕ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И СУММИРОВАНИЕ ИХ МЕТОДОМ ПОЧЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАй!ИЯ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ Дифференцируя или интегрируя известные разложения в ряд Тейлора, можно получать разложения новых функций в степенные ряды. Так, например, интегрируя формулу геометрической прогрессии — =- 1 — с+ С вЂ” ... +( — 1)" С" + ... (3?.57) в пределах от О до х, !х~(1 (что законно, ибо ряд (37.57) равномерно сходится на отрезке с концами в точках О и х при х, ( 1), получим известную уже формулу (37.54): я ВС хт хт хны !п(1+х) = ! — = х — — -+ — — — ... (- — 1)" + З !+С З "' н+1 о Раньше эта формула была доказана на полуинтервале ( — 1; 11, а теперь только для интервала ( — 1; 1).

Однако в силу второй теоремы Абеля о степенных рядах (и. 37.1) из справедливости формулы (37.54) на интервале ( — 1; 1) сразу следует ее справедливость и при х = 1. Действительно, ряд в правой части этой Я7.7„разложение в стеленные ряды формулы сходится при х=! и, следовательно, его сумма непрерывна в этой точке (см. теорему 3 в п. 37.1), функция !п(1+х) также непрерывна при х=)» поэтому в обеих частях равенства (37.54) (если известно, что оно справедливо на интервале ( — 1; 1)) можно перейти к пределу при х — ~-1 — О н тем самым доказать его справедливость и при х=1: 1п2= 1)лм н В результате дифференцирования или интегрирования заданного степенного ряда, иногда удается получить ряд, сумма которого уже известна; это позволяет вычислить и сумму исходного степенного ряда.

Примеры. 1. Найдем разложение функции агсз!пх в ряд. Замечая, что (агсз!п х)' == У( ~— кк ' разложим (агсз!их)' в ряд по формуле разложения степени бинома (см. п. 37.5): 1 ъ1 (2л — 1)П (агсх!их) =, = 1+ 7 х ". )» 1 — кк 2лл! л=! (37.58) Радиус сходимости получившегося ряда, равен единице (см. там же). Интегрируя ряд (37.58) от О до х, !х!(1, получим: к »» дк агсз!пх= ~ = х+ ОЯ кклм ) ! — кк (2л)П 2л + ! о л =- 1 2. Разложим функцию агс!дх в степенной ряд и с помощью него найдем числовой ряд, сумма которого равна я. Поступая при !х' ,1 аналогично примеру 1, имеем: к к( о» л» агс1ах= ~,+, — — ~ ~ ~' ( — 1)" Р"~с((= ~~) ( — 1)л '+,. (37.59) о л=.о л=о Заметим, что полученный ряд при х=.+ 1 по признаку Лейбница (см.

п. 35.9, теорему 11) сходится, ибо сходится знакопеременный ряд ( !)л 2л+1 ' Поскольку функция агс1их непрерывна при х= -+: 1, то согласно второй теореме Абеля для степенных рядов (см. п. 37.1, теорема 3) сумма ряда (37,59), являясь непрерывной функцией э ап сге!мнные ради х=О Этот ряд называется рядом Лейбница. Отметим, что арктангенс определен на всей действительной числовой оси, в частности и вне отрезка [ — 1, 11.

Однако его разложение в степенной ряд (37.59) справедливо только на этом отрезке. Вне этого отрезка ряд (37.59) расходится, в чем легко убедиться, найдя его радиус сходимости, например, по формуле (37.8'). Анализ этого явления проводится в теории функций комплексного переменного.

3. Найдем сумму ряда Я(х) = '~ пх". (37.60) л=! Радиус сходимости этого ряда равен единице. В этом легко убедиться, например, по признаку Даламбера (!! ) !) ххх! ~ !!х 1пп ) =(х~. Следовательно, ряд (37.60) абсолютно сходится при (х((1 и расходится при (х, ')1. Из (37.60) следует, что пх"-', (х) (1. х х=- 1 Проинтегрируем этот ряд почленно от 0 до х, ~х)~1: х СО о и= 1 и затем продифференцируем получившееся тождество: 5 (х) Н х ! х !(х ! — х (1 — х)! В результате получаем ~ (х) (! х)! на отрезке [ — 1, 11 совпадает с ним и разложение (37.59) в этом разложении, получим н совпадая с агс(ях на интервале ( — 1, + 1), в концевых точках х = +.1.

Характеристики

Список файлов книги