kudryavtsev1a (947413), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Остается лищь отметить, что из равенства (36.43) в силу доказанной сходимости рядов (36.44) и (36.45) следует, что и.= ! и= ! и=!с Ряд '5", ~ и,'(1) с(! равномерно сходится на отрезке [а, Ь) (см. теоп.=гс рему 9), а 5~ и„(с) — числовой ряд, поэтому и их сумма, т, е. и=! ряд (36.40), равномерно сходится на отрезке [а, Ь1.
( ) Итак, если сходящийся ряд непрерывно дифференцируемых функций таков, что ряд, составленный нз его производных равномерно сходится, то сумма ряда является дифференцнруемой функцией и ее производная получается почленным дифференцированием ряда. Поскольку из предпосылок этой теоремы следует равномерная сходимость ряда, то не ограничивая общности теоремы, ее можно перефразировать следующим образом. Если ряд непрерывно дифференцируемых функций и ряд, составленный из их производных, равномерно сходятся, то сумма исходного ряда непрерывно дифференцируема и ее производная равна сумме производных членов данного ряда (т. е. ряд можно почленно дифференцировать).
Перефразируем теперь теорему 1О для последовательностей. Теорема 1О'. Пусть последовапгельность непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, Ь) функций п=1,2,..., (36.49) сходится хотя бы в одной точке с~ [а, Ь|, а последовательность их производных г"„', п=1, 2, ..., равномерно сходится на [а, Ь|. Тогда последовательность (36,49) равномерно сходится на [а, Ь1, ее предел яв.гяется непрерывно дифференцируемой на этом отрезке функцией и д)п (х) дх дх„ 1пп —" = — 1(гп 1„(х), а ( х =-.
Ь. Примеры применения этих теорем будут приведены в следующем параграфе. 8?.С Радиус сходимости и круг сходимости У яр аж пения. 10. Будет лн справедливым равенство 1 1 1пп ) хл ух = ! ( 1пп хл) дх2 л сов и хл Можно лн зто установить с помощью теоремы 92 11. Построить пример равномерно сходящейся на отрезке последовательности непрерывно днфференцнрусмых функций, предел которой также является непрерывно дяфференцнруемой функцией, однако производные членов последовательности не сходятся к производной предельной функции.
$ 37. СТЕПЕННЫЕ ФИДЫ 3?лк РАДИУС СХОДИМОСТИ И КРУГ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА Определение 1. Финкс(иональные ряды вида ал(г — г )л где а„ и г, — заданные комплексные числа, а г — комплексное пере- менное, называются степенными рядами. Числа ал, и = О, 1, 2, назьсваются коэффициентами степенного ряда (37.1). Предполагая, что коэффициенты ряда и число г,фиксированы, будем исследовать поведение ряда (37.1) при различных г. Если в ряде (37.1) выполнить замену переменного, положив 4 = г — г„то ~едуч~~ ряд ?,' а„эл. л=о (3?.2) Очевидно, что исследование сходимостн ряда (37.1) эквивалентно исследованию сходнмости ряда (37.2), поэтому в дальнейшем будем рассматривать ряды вида (37.2), употребляя, правда, как правило, для обозначения переменной букву г, а не Теорема 1 (Абель). Если степенной ряд ~ алга (37.3) «=0 (37.4) «=з сходится при г=гачнО, то он сходится и притом абсолютно при любом г, для которого ~ г ~ -; ~ г, (.
Доказательство. Пусть ряд Э 87. Степенные ряды сходится. Тогда его и-й член англ стремится к нулю при и-+.со (см. п. 35.2), и поэтому последовательность (а„ге"1 ограничена, т. е. сутцествует такая постоянная М) О, что )а,го~~М, п=О, 1, 2, ... В силу этого для п-го члена ряда (37.2) получается оценка ) англ ! = ~ алг,л ( ~-; — ~ ~ М ~~, - ( . 2 !л Если )г ~((ге! (рис. 142), то ряд 7 ~ — ~, являясь суммой 2О л=е 2 геометрической прогрессии со знаменателем д = ~ — ~(1, сходится, гл Поэтому по признаку сравнения (см. и. 35.5) сходится и ряд у ~х ', ~а„гл~, а это означает абсолют- л=е гв ную сходимость ряда (37.3) при х ) г ) <! го ~.
П Следствие 1, Если степенной ряд и х (37.3) расходится при г=г„то он расходится и тгри всяком г, для которого ~ г ( ) ~ ге!. действительно, если ( г ( ) ) ге ( и ряд (37.4) расходится, то расходится и ряд (37.3), так как если бы рле. 142 он сходился, то в силу доказанного сходился бы и ряд (37.4). Определение 2. Пусть задан ряд ~ алг".
Если К вЂ” неотри- л=е ц тельное число или + со, обладает тем свойством, что при всех г, для которых ~г ) (Е, ряд (37.3) сходится, а при всех г, для которых )г~)й, ряд (37.3) расходится, то оно называется радиусом сходимости степенного ряда (37.3). Множество елочек г, для которых ~г ~ Е, наячвается кругом сходимости ряда (З.З).
Теорема 2. У всякого степенного ряда (37.3) суи(ествует радиус сходимости Е. В круге сходимости, т. е. при любом г, для которого,' г ) ( Е, ряд (37.3) сходится абсолютно. На любом круге ~г)~г, где т фиксировано и г тс ряд (37.3) сходится равномерно. Доказательство. Разобьем все действительные числа на два класса: к классу А отнесем все неположительные числа и дкп Ридиус скодимости и круг скодимости бго те из положительных х) О (если такие существуют), для которых ряд ~ч', а„хл сходится, а к классу В отнесем все остальные.
л=о Если класс В не пуст, то это разбиение является сечением во множестве действительных чисел (см. п. 2.1). В самом деле, класс А всегда не пуст, так как содержит все неположительные числа. Каждое действительное число заведомо попадает в один из классов А или В, поскольку после определения класса А к классу В отнесены все остальные числа. Наконец, если х~ А, уенВ, то либо х =О, тогда в силу у того, что всегда у)0, получим х«у либо х) О, тогда согласно теореме Абеля х < у. Таким образом, все условна, определяющие сечение в области» г. I действительных чисел, выполнены.
Обозначим через 74 число, которое производит это сечение. В случае когда множество В пусто, по определению, l положим )т'=+ ссь Величина )с является радиусом сходимости ряда (37.3). В самом деле, пусть зафиксировано некоторое г, для которого ~г! ( Й. Рис. 44д Возьмем действительное хо такое, что ~ г~(хо -Я. В силу определения величины Я получим х, ен А, поэтому ряд (37.5) .~~ алхл сходится. Отсюда, по теореме Абеля, следует, что в зафиксированной точке г, ~г ~(А', ряд(37.3) сходится, и притом абсолютно. Если ~г',))с, то выберем вещественное х, так, что Я(хо~ ( ~ г ~; тогда хо ~ В и, следовательно, ряд (37.5) расходится.
В силу следствии из теоремы Абеля отсюда следует, что в этом случае ряд (37.3) расходится. Если теперь 0 '»()т, то, по доказанному, ряд (37.3) при г=» абсолютно сходится, т. е. сходится числовой ряд У; (а„(". л=.о А так как для любой точки г круга )г)(» (рис. 143) 1алгл(~)ал(»", а=О, 1, 2, ..., то, согласно признаку Вейерштрасса (см. п, 36.3), на этом круге ряд (37.3) сходится равномерно. Д у 37. Степенные ряды Таким образом, областью сходимости всякого степенного ряда является всегда «круг»*~ исключая, быть может, некоторое множество его граничных точек. В граничных же точках круга сходимости ряд может как сходиться, так и расходиться (см. нижеследующие примеры).
Подчеркнем, что радиус сходимости степенного ряда (37.3) обладает следующим свойством: для каждого числа г, такого, что ! г ~ ( /с„указанный ряд а 6 со лют но сходится, а для каждого г такого, что (г(= К, он просто, а следовательно, и подавно абсолютно расходится (расходнтся ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда). Это следует, очевидно, из определения радиуса сходимости и теоремы 2. Члены степенного ряда являются непрерывными функциями н, как было показано, на всяком круге, лежащем вместе со своей границей внутри круга сходимости, степенной ряд сходится равномерно, а поэтому его сумма непрерывна на всяком указанном круге.
Очевидно, что для любой точки г круга сходимости, ( г , '()с, можно подобрать круг, содержащий эту точку и лежащий вместе с границей в круге сходимости (достаточно взять его радиус г таким, что )г'(г</с), поэтому степенной ряд непрерывен в каждой точке своего круга сходимости ~г~ <Я (подчеркнем, что здесь речь идет об открытом круге).
Рассмотрим теперь случай, когда степенной ряд сходится в точке г=)с, лежащей на границе его круга сходимости. Отметим, что случай г= — /с может быгь сведен к случаю г=)т' простой заменой переменного ь = — г. Теорема 3 (Абель). Если )с †ради сходимости ряда ~ алга и этот ряд сходился при г=Я, то он сходится распоп=о мерно на отрезке (О, )с). Следствие. Если степенной ряд (37.3) сходится при г = гс, тв его сумма непрерь/вна на отрезке (ОЯ ).
Это утверждение обычно называется второй теоремой Абеля о степенных рядах. Доказательство. Пусть О-=х==./с. Представим ряд О л» О» Х /х»л алхл в виде лу а„хл= у а„/с" ~ — ) . Поскольку члены ряда л=о л=о л=.-о ~х~~а„/тл не зависят от х, то его сходимость означает и его равнол=в мерную сходимость. Последовательность же ((х//с)л) ограничена /х»л на отрезке [О,гс), ее члены неотрицательны: 0() — ) ~! и она »' Слово «круг» напнсано в кавычках, так как в случае й=+о» «круг» означает всго плоскость.
675 Луок Радиус сходимости и крас скодимости монотонно убывает в каждой точке (при х=)7 она не строго убывает, точнее, является стационарной). Поэтому в силу признака Абеля равномерной сходимости рядов (см, теорему 7 в п. 36.3) ряд (37.3) равномерно сходится на отрезке (О, Я1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
