kudryavtsev1a (947413), страница 120
Текст из файла (страница 120)
?11 к О к О З7.5. Ризлохсение функций в степенные ряды 637 Из формулы (37.27) при и =0 и и = 1 следует, что функция 7 непрерывна в точке х=О и 1)гп 7"'(х)=0, поэтому (см. следст- вие 3 из теоремы 3 п. 11.2) 7'(О) существует и 7" (О) =О. По индук- ции легко убедиться подобным же образом, что ~<л1(О) =-О, п=О, 1, 2, .... Таким образом, все члены ряда Тейлора функции (37.25) в точке х,=О равны нулю, поэтому его сумма при всех х также равна нулю и, следовательно, не совпадает с самой функцией 7. Заметим еще, что, согласно теореме 5 и. 37.3, функция (37.25) не может быть разложена ни в какой степенной ряд (так как если бы это было возможно, то он оказался бы рядом Тейлора), а это и означает, что она не является аналитической.
У и р аж не н и я. 6. Можно ли разложить функцию /(х)=е ~", хл О, на отрезке [О, 11 в ряд Маклорена. 7. Пусть 1 прн х О, б(х) = — 1 прн х.с О, Доказать, что функцию б(х) е ы" мпя но так доопределить при х=о, что в результате получится бесконечно дифференцнруемая на всей числовой осн функция.
Заметим, что если функпия раскладывается в некоторой окре- стности данной точки в степенной ряд, то такой ряд единственен (см. теорему 5 или теорему 7) и является ее рядом Тейлора. Однако, один и тот же степенной ряд может являться рядом Тейлора для разных функций. Так степенной ряд с нулевыми коэффициентами, ), 'О х", является как рядом Тейлора функции л= — о тождественно равной нулю на всей числовой оси: 7(х) = О, х еи Я, так и рядом Тейлора функции (37.25) в точке х=О.
Возникает вопрос: когда р я д Т е й л о р а (37.24) функции 7 (х) на некотором интервале сходится к 7" (х)? Чтобы исследовать этот вопрос, напишем форм у л у Тейлор а для функции('(см. п. 13.1): л ) (х)= ~~ д, ' (х — хо)а+гл(х), (37.28) «=о которая справедлива при любом п=О, 1, 2, .... В этой фор- муле г„(х) обозначает остаточный член формулы Тейлора, а не остаток ряда Тейлора, так как с остатком ряда нельзя опериро- вать до тех пор, пока не будет установлено, что ряд сходится— лишь в этом случае можно будет утверждать, что остаточный глен формулы Тейлора совпадает с остатком ряда Тейлора.
Полагая л зл (х) = ~~> ~ ( ") (х — х,)», а=о у 87. Степенные ряды перепишем формулу (37.28) в виде 7(х) = з„(х)+ г„(х), (37.29) где з„(х) — п-я частичная сумма ряда Тейлора. Отсюда видно, что, для того чтобы функция 7 равнялась на рассматриваемом интервале сумме своего ряда Тейлора, т. е. чтобы !пп з„(х)=7(х), «о» необходимо и достаточно, чтобы для всех х из этого интервала ее остаточный член в формуле Тейлора стремился к нулю, 1пп г„(х) =О.
(37.33) Если это имеет место, то из формулы (37.29) следует, что остаточный член формулы Тейлора г„(х) является также и суммой п-го остатка ряда Тейлора (37.24). Теорема 8. Пусть функция 7 определена и непрерывна вместе со всеми своими производными до порядка п+1 включительно на интервале (х,— й, хе+й), Ь)0. Тогда остаточный член г„(х) ее формулы Тейлора (37.29) для всех х ен (х, — й, х, +й) можно записать в следуюи(их трех видах: г„(х) = — ! (х — 1)«7<я+и (1) аг, н!,1 р«»и и) г (х)= (х — х)я+', « — (н+ !)! а (37.31) (37.32) где $ принадлежит интервалу с концами в точках х, и х, и г„(х) = ~ 1""+, ( ')! (1 — 0)«(х — х,)""', (37.33) где 0(О(1. Формула (37.31) называется остаточным членом формулы Тейлора в интегральной форме, формула (37.32) — в форме Лагранжа, а (37.33) — в форме Коши. Доказательство.
Из основной теоремы дифференциального и интегрального исчисления (см. и. 29.3, теорему 4) имеем « « 7(х) =7(хь)+ )7' Яй =7(хь) — ) 7'(() й(х — 1). «» «« Проинтегрировав по частям интеграл в правой части, получим 7' (х) = 7 (хе) + [ — 7' (г) (х — 1))„. + ) 7" (г) (х — () а( = « =7(х,)+7' (х,) (х — хь)+ ~7" (1) (х — 1)сУ. «а З7.5.
Раеяокеенне функций в степенные ряди Пусть для некоторого т~п уже доказано, что т — 1 к ~(х) = ~~ ~, (х хо)к+ ~ ~~т~ (1) (х — () -11((. (37.34) 1 (кв) я о=о ке Проинтегрируем по частям последний член еще раз: к х ~ 7(т) (() (х ()т-1д( ~ ~ ~(т) (() 11(х ()т 1 к, =-'"""., " ~'+.— ', ~~-" (1)( -()-а= х, х (Х вЂ” Х,) + —, 1( «И(1)( — Г) Ж. хе и подставим зто выражение в (37.34): т к )'(х)= ~ ~ (") (х — х,)о+ ~,~1Ч П(1)(х — 1)тШ.
о=о к В результате получилась формула (37.34), в которой щ заменено на и+1. Таким образом, формула (37.34) доказана методом индукции для всех т(а. При пк=п ее остаточный член имеет вид(37.31). Применим теперь первую интегральную теорему о среднем значении к интегралу (37.31), вынося за знак интеграла «среднее значениео производной ~~ке11 (см.
следствие из теоремы 1 в п. 28.2): х к Г„(Х)= —, 1Рх'П(1)(Х вЂ” 1)хй= (~ (Х вЂ” 1)ко(1= и1 д п! .', хх 'У' ')" = Р" "(О) х х а+1 —, (х — х,)~1, где $ лежит на интервале с концами в точке х, и х. Формула (37.32) доказана. Если же применить интегральную теорему о среднем к инте- гралу (37.31), вынеся за знак интеграла «среднее значение» всей подынтегральной функции (см.
п. 28.2), то получим к г„(х) = — —, ~ 7т"+о (() (х — ()" е(1 =, ' (х — $)к (х — х,), (37.35) к, в ЗХ Стеле»»не ряди где й, как и выше, л:жит на интервале с концами в точках х, и х, т. е. 5=х,+й(х — х,), 0<0<1. Отсюда х — $ = х — х„— а (х — х„) = (х — х,) (1 — О). Подставив это выражение в !37.35), получим формулу (37.33). П Укажем теперь одно достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Теорема 9. Пусть функция )' и все ее производные ограничены в совокупности на инииреале (хе — й, хе+и), т. е.
существует такая постоянная М «О, что д,гя всех х ~ (хе — й, хе+6) и всех п=О, 1, 2, ... выполняется неравенство ~7!л)(х) 1 е-- М (37.36) Тогда на интервале (хе — Ь, хе -1- Ь) функция !' раскладывается в ряд Тейлора 7'(х) = ~ р,""~ (х — х,)л )х — хе! (й. (37.37) л =. е Доказательство.
Прежде всего заметим, что, каково бы ни было число а, ал 1пп -;-=О. л сси' (37.33) 'а' ! Действительно, пусть п, такое, что — ( -. Тогда при всех ие а ! и -е п . - с. —, и пОэтОм)' а» ал' а а а алс ! !л — лс и! лл! лез ! и„+2''' л и„! 'с2/ где правая часть неравенства стремится к нулю при п-е-оо, откуда и следует равенство (37.36), Это равенство следует и непосредственно из того, что выражение а»7п! является — общим члеи» ном сходящегося ряда те — г(см. (36.4)). Для тогочтобыдоказать л=! формулу (37.37), достаточно убедиться (см. (37.30)), что 1пп гл(х) =О, л со (37.39) где гл(х) — остаточный член в формуле Тейлора функции Г. Возьмем гл(х) в форме Лагранжа (см. (37.32)).
Из неравенства (37.36) следует, что 1г»(х) / =( ~, ! (х — хе)»"'~ - М' 37.б. Разлозхение злементпрных функций о ряд Тейлора б47 где ) 6 — хо)()х — хо! (Ь. Поскольку в силу (37.38) 'х — хо,'" т 1пп, — О, то при )х — хо,' й выполняется условие (37.39). Г ) У п р а ж н е н и е 8. Заменим в теореме 8 условие ограниченности произвооных Р"'(х), «=Е 2, ..., на интервале (х„— «, хо+«) условием ик ограниченности только в точке хо, т. е.
пусть супзествуст такое М )О, что для всех л выполняется неравенство ')ан (х„), ы? М. Тогда, очевидно, ряд (37.37) сходится и при том абсолютно на всем ингервале (хо — «, хо-)-й), нбо 1 М (х — х,)" ъ~ (х — х,.)" р"' х );х — х„)' ~:=. ' , а ряд 7 ' сходится при всех х гз! ы ' 1 $ л! «=.о см.
ряд (36.4)). Следует ли отсюда утверждение теоремы 9? 37.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ЗЛЕМЕНТАРНЬГХ ФУНКЦИИ В РЯД ТЕЙЛОРА Прежде всего найдем разложение в ряд некоторых основных элементарных функций. 1. Разложение в ряд функции Г(х)=е', Так как Рв'(х)=ех то для любого фиксированного Ь 0 при всех х~ ен( — л, й) и всех п=О, 1, ... 0()'ю (х) (е". Таким образом, условия теоремы 9 выполнены (хо=О), поэтому функция ех рнскладывае ся в ряд Тейлора (37.34) на любом конечном интервале, а значит и иа всей действительной оси. Поскольку в данном случае )сю(0) =1, то это разложение имеет вид (37.40) «=о ъз гв Напомним„что в и. 36.1 было установлено, что ряд а~о л! а=о абсолютно сходится на всей комплексной плоскости *'.
Мы видим теперь, что для действительных а=х его сумма равна е'. В случае существенно комплексных г его сумму по аналогии обознача|от е', таким образом формула (37.41) « =- о для комплексных г является определением функции е'. гп Это следует, согласно теореме Абеля, и нз доказанной нами сходимости ряда (37ЛО) на нсей действительной оси.
а 37. Степенные ряди Данное определение естественно, во-первых, потому, что в случае действительного г=х эта функция совпадает с показательной функцией е", а во-вторых, потому, что функция е' сохраняет ряд характерных свойств функции е, Покажем„например, что Е21огг Егг + гг (37.42) для любых комплексных а, и хе. Мы знаем, что ряд (37.41) абсолютно сходится, поэтому ряды л %1 ег2 = ,? й! 2 ГП = П=О можно почленно перемножить (см. п. 35.10), причем, поскольку получающийся при этом ряд также абсолютно сходится, его члены можно располагать в произвольном порядке.
Соберем все члены, СОДЕРжаЩИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ Еле'," С ОДИГаКОЗОЙ СУММОЙ И+Пг, Н расположим эти группы членов по возрастанию и+пи г««+ы (л+ ы М 'Ч 2! 2.2 (п+ пг — )г)! И л-Ь =оо=о «О л+ы = Х ' Х ("+"')! + -2 е (л+тл)! нн (л+~ — Гг)! И «+2П= О я=о — (22+ 22) — ег, + гг = Х (л+ пл)! П-!-ОВ= О 2. Разложение в р яд з)2х и с)2х. Заменив в формуле (37.40) х на — х (это означает просто изменение обозначения), получим ( !)л «л л! (37.43) п=о ел+ е-" ч2 х'о С)2 Х= Я ~2 До)! ° О=.о ' ег — е-" 'д хгогг я =,~~ (за+!)!' о=о (37.44) (37.45) В правых частях этих формул в силу единственности разложе- ния функций в степенные ряды стоят ряды Тейлора функций с)2х и з)2х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
