kudryavtsev1a (947413), страница 123
Текст из файла (страница 123)
+ со. В этом случае пишут (З?.88) Подчеркнем, что здесь знак означает не асимптотическое равенство в том смысле, как оно, например, понимается в фор- «ч А. П у а як аре !!854 — !9!2) — французский математик. 22 Ктярчвиеа л. Д. т. 1 можно переписать в виде Г(х) — Я (х) =о ~,„), х-т-+ со, (37.82) или, что то же, в виде 1пп х" 17(х) — о„(х)1=0. х +с« Как н выше, при п=1, легко показать, что условие (37.80) равносильно существованию конечного предела 11!в х" 1!'(х) — 5а а(х)1=а„.
х +со Если указанные пределы а„существуют для всех и = О, 1, 2, ..., то можно образовать ряд (37.85) 4 З7. Стелеаные ряды является при х — ~-+ оо как асимптотическим рядом функции, равной нулю во всех точках числовой оси: ),(х) =-О, — оо(х«- (+ со, так и функции 7, (х) = е-", в чем легко убедиться, вычислив в этих случаях последовательно пределы (37.84). В отличие от разложения функций в степенные ряды, при котором суммой степенного ряда является заданная функция, и, следовательно, рассматриваемый степенной ряд сходится, при построении асимптотического ряда функции может случиться, что полученный ряд не только не будет сходиться к данной функции, а будет вообще расходиться во всех точках.
Тем не менее, асимптотический ряд (3?.86) функции является полезным инструментом для ее изучения, в частности для вычисления ее значений. Это, очевидно, связано с тем, что частные суммы асимптотического ряда (37.88) функции в силу условия (37.82) достаточно хорошо приближают саму функцию, причем тем лучше, чем больше х. Поясним сказанное на примере функции +<ю ек С )(х) = ~ — Ж, х)0. х Интегрируя п раз по частям, получим (37.87) + ( — 1)" п1 ~ — '„„Й.
(37.88) муле (37.79), т. е. в смысле определения 3 п. 8. 2, а соответствие: ряд (37.85) соотв тствует функции 7. Как было отмечено, условие (37.80) равносильно условию (37.84), поэтому, если у функции ) существует при х-+. + оо асимптотический ряд (37.85), то его коэффициенты а„, и=1, 2..., могут быть последовательно найдены по формулам (37.84). При в=О следует воспользоваться формулой (37.74), Отсюда следует, что если у функции имеется при х-~ + со асимптотический ряд, то он единственен и его коэффициенты выражаются по формулам (37.74) и (37.84). Вспомним, что при разложении функции в степенной ряд также была доказана единственность степенного ряда, в который раскладывается функция, а именно было доказано его совпадение с ее рядом Тейлора.
Однако, там было отмечено, что один и тот же степенной ряд может являться рядом Тейлора разных функций, Подобная ситуация имеет место и для асимптотических рядов: один и тот же ряд вида (37.85) может оказаться асимптотическим рядом при х — + оо разных функций. Например, нулевой ряд, т. е. ряд, все коэффициенты которого равны нулю, а„=О„х=О, 1„2,..., З7.10.' Асииптотические степенные ряды ббУ Ряд + ОО Х= ( — '1)л т(п — 1)1 Хл (37.89) является асимптотическим разложением функции (3?.87).
Дейстл вительно, если о„(х) = г ~,—, и = 1, 2,..., л! ( — 1)" т(л — 1)1 е=! т. е. выполняется условие (37.82). Вместе с тем легко убедиться по признаку Даламбера, что ряд (37.89) расходится прн всех х ~ ( — оо, + оо). Действительно, полагая (- 1)л т (и — 1)1 ил = , и = 1, 2, ..., получим Итак, асимптотический ряд (37.89) функции (37,87) расходится во всех точках. Однако, несмотря на это значения функции (37.87) могут быть получены с большой степенью точности прн помощи частичных сумм этого ряда. Покажем, что если ряд (37.85) сходится к некоторой функции 7: 1(х) = ~~) ф, х=а)0, (37.90) л=с то он является и асимптотическим рядом этой функции при х-ы -т + оо.
В самом деле, пусть К„(х) = е=л+! и, следовательно, 7 (х) = Я„(х)+ Я„(х). Покажем, что к„(х) = О („— „, ), х-с-+со, (37.91) т. е. 5„(х) — частичные суммы ряда (37.89), то интегрируя по частям в силу (37.88) будем иметь: +СО + СО Г е-т п1 и! 11'(х) — Я,(х) ( =и1 дт — „„Ж= — „„— (и+1)! ~ „— „ес(!» — „„,=о! — „) л х а З7.
Степенные ряды а потому, тем более, что /1! Р„(х)=о(-„-1, х-е.+со, т. е. что 7 (х) — 5п (х) = о (--„), х-~-+ со, иначе говоря, что выполняется условие (37.82). Для этого рассмотрим функцию с (1) '-в')(171), 0(1~17а. В силу (37.90) получим равенство с (1) = .У, 'а„,(п, в котором ряд, стоящий в правой части сходится при 0 1(1(а, откуда по теореме Абеля следует, что он сходится и при всех таких 1, что !1) (17а. Если 7" (х) — 5„(х) =0( — „.,), х-+.+со, и=1, 2, ....
(37.92) Достаточность этого условия очевидна, так как О1 — „„( = / 1 / 1 =о! — 1 (напомним, что подобные равенства читаются только !к", слева направо), а, следовательно, при выполнении условия (37.92) будет выполняться (37.82). Наоборот, если выполнено условие (37,82): 7(х) — 5„„(х)=о( — — „1,), и=О, 1, 2, ..., х — «+со, 1 то, поскольку 5пы(х) = 5,(х)+ — "„;,' получим г (1) ~Ч~ ~ае(е 1г1ч" 1/а е=п+! то (см. лемму 1 в п. 37.3) г„(1) = 0((п+'), 1-+.О. Выполнив здесь 1 замену переменного 1=--, получим (37.9!). к' В заключение отметим, что условие (37.82) разложения функции в степенной асимптотический ряд можно заменить другим, внешне более сильным, но по существу эквивалентным условием.
Сформулируем его в виде леммы. Лемма 3. Для того чтобве ряд (37.85) являлся асимптотическим при х-~-+со для фунхмии 7' н обходимо и достаточно, чпюбы Зт.й". Свойства осимлтоточескик стелеллык рядов ббт 37Л1*. СВОЙСТВА АСИМПТОТИЧЕСКИХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ В этом пункте будут сформулированы и доказаны некоторые основные свойства разложений функций в асимптотнческие степенные ряды. В дальнейшем, в п. 54.6, будут рассмотрены более общие, не обязательно степенные, асимптотнческие ряды.
Поскольку в настоящем пункте будут изучаться только асимптотические разложения функций при х — «+сю в степенные ряды вида (37.85), то мы будем их называть просто асимптотическими разложениями. 1. Если 7(х) еУ, — "„, й(х) ~~ „— „", х-«+со, (37,93) л=о л=о то для любых чисел Х и р Ц (х) + рй (х) ~~~~~ "+„" ", х + оо, о=о т. е. асимптотическое разложение линейной комбинации функций, имеющих асимптотическое разложение, равно такой же линейной комбинации асимптотических разложений этих функций. Действительно, если л л 7(х) = ~~ — +о( — ), й(х) = ~~ — 4+ о( — ), х-«+со, (37.94) в=о я=а то для любых чисел ) и рл ц(х)+(су(х)= ~~ " ~ я+о( — ), х-«+со.
( ) я=в П. Если имеют место асимптотические разложения (37.93), то 7'(х) у(х) ~ -"„-, х-«+ оо, л=о где с„=а,Ь„+а,Ь,+...+а„й„т. е. асимптотическое разложе- ние произведения функций, имеющих асимптотические разложения, равно произведению этих разложений, расположенных по возрастато- щим степеням 1/х. В самом деле, если имеет место (37.94), то их)а(х) =(ао+'— „1+...+й+о(А)) (ьо+~1+...+~3+0(А)) = л .Э, а„Ьл, аеЬо+ +. ° + +0( — ) х-«+ сО. у З7. Степенные ряди б62 111. Если /()- у', -;-"„, ° +, (37.95) и аешь О, то функция 1//(х) тпакже имеет асимптотическое разложение /(х) — + ~ — „", х-е-+со, ае л=! +Со Ч- лл ~ /(1) е(1 ~ ( ал, „х-е-+ос, (37.97) х я= 2 т.
е. в указанном случае асимптоптические ряды можно почленно интегрировать. Докажем это. Пусть л 5„ (х) ~='- т' — е, /с (х) о=" / (х) — Я„ (х), и = 2, 3, .... ...х' «=г и коэффициент И„этого разложения выражается через коэффи- циенты а„а„..., а„разложения (37.95). Действительно, из (37.95) следует (см. (37.74)), что 11гп /(х) = х +оэ = а,. Поэтому существует предел ! 1 1пп ,+ /() Далее, можно последовательно показать существование пределов (37.84) для функции 1//(х), непосредственно вычисляя их.
На- пример, 11 1пп х — 1пп х — +.'-' (,/(х) а ) х 1х) ах+хо( †) = — 1пп + "' ае ~ае+ -Ь+ о( — )) т. е. е(,= — а,/а,'. Аналогично вычисляются дг, е(г, .... Д 1т/. Если функция / непрерывна при х~а) О и имеет асимп- 1 тотическое разложение, начинающееся с члена порядка —;, /(х) ~1„— „„"-, х-е +со, З7.11О. Свойства асимнтотиыесхих отененных рядов ббт + СО Отсюда следует, во-первых, что интеграл ~ Й„(1) аг, а поэтому "в и интеграл ~ Я„(1) й1, х~х„существуют, а во-вторых, что при к х~х, имеет место неравенство + СО + \ +ОС х т ~ К„(1)йг =-хл-т ~ ~)с„(1)~й1 =ехл-' ~ к к к и, следовательно, ввиду произвольности е)0, + СО 1!гп х"-' ~ Я (1) й1=0. (37.93) К +СО к Теперь, интегрируя равенство ?(х)=5„(х)+)с„(х), получим + СО л "е- СО ~ ?(1)аглл ~ л + ~ Йл(1)с(1.
(37.99) В силу выполнения условия (3?.98) равенство (37.99) и означает справедливость асимптотического разложения (37.97) (см. (37.83)) П Ч, Если функция 1' раскладывается в асимптотический ряд ? (х) ~~ -"„., х — «+ со, л =-О и если она имеет при х- а непрерывную производную, которая также при х- + со раскладывается в асимптотический ряд, то этот ряд получается формальным почлснным дифференцированием ряда (37.!00) (37.100) Г' (х) — ~1 ™„,",, (3?.101) л=1 В самом деле, пусть ( ) (!! ьлн (37.102) л=с Поскольку функции ) и Я„непрерывны при х'=-а, то и функция Р„непрерывна при х)а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
