kudryavtsev1a (947413), страница 118
Текст из файла (страница 118)
( ) Следствие вытекает из того, что сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций является также непрерывной функцией. Все сказанное с помощью преобразования типа г = ~ — ЬО (!— новая переменная, ь — фиксировано) переносится и иа общие степенные ряды вида (37.1).
В 'частности, областью сходимости таКОГО РЯДа ВСЕГДа ЯВЛЯЕТСЯ КРУГ ВИДа !гэ ао! ( И, КОНЕЧНО, как и выше, с точностью до его граничных точек. Этот круг называется кругом сходимости ряда (37.1), а )т — его радиусом сходнмости. П р и м е р ы. 1. Радиус сходимости )7 ряда ~ч , 'п1 ял равен л=о нулю, т. е. этот ряд сходится только при г=-Ое!. Действительно, исследуя абсолютную сходимость этого ряда по признаку Даламбера, при любом г~ О получим Таким образом, рассматриваемый ряд не сходится абсолютно при любом г~О; отсюда, в силу следствия из теоремы Абеля, ой расходится при любом г Ф О. чч сл 2. Радиус сходимости ряда 7 --; равен +со, ибо, как мы и=о видели (см.
и. 36.1), этот ряд сходится при любом г. 3. Сумма бесконечной геометрической прогрессии (37.6) и=о сходится при )г (( ! и расходится при ! г ! ~! . Поэтому ее радиус сходимости )7=!. Отметим, что во всех точках границы круга сходимости, т. е. во всех точках окружности',г!=1, ряд (37.6) расходится, так как для общего члена ряда имеем )ал ~ =! и, следовательно, он не стремится к нулю при и-!.оо. 4.
Ряд (37.7) л=! *' Пря г = О. очевядяо, сходятся любой Вяд вядв (37.31. й! Кудрявцев Л. д, т. 1 э Зу. Сгепеллыа рады Х7 имеет радиус сходимости )с=1. Действительно, применив признак Даламбера для определения г, при которых ряд абсолютно сходится (соответственно, расходится), получим н, следовательно, при ~ г ~ «1 данный ряд сходится, причем абсолютно, а прн 1г',>! он расходится. При г=! получается ът 1 расходящийся гармонический ряд у —, а при г = — 1 сходяа! щийся ряд у (см. п.
35.3 и 35.9). Таким образом, в этом «=! примере на границе круга сходимости есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых он расходится. Из рассмотренных примеров (см. также п. 36.1) видно„что иногда радиус сходимости )с степенного ряда находится с помощью признака Даламбера сходимости рядов с положительными членами (см. теорему 8 в п. 35.6).
Действительно, справедливо следующее утверждение: если существует предел (конечный ила бесконечный) 1пп ~ ~,то Я=11т ~ —" (37.8) Действнтельно, легко, например, с помощью правила Лопнтала усе. Лвться„что Ищ — =+со (см. пример 2 в и, 12.2). ( г )х х* !ге сходится при 1г1:=:-1, ибо при выполнении этого условия ~-.;~( 1 %~ 1 ( —,, а ряд ~ —, сходится. а=! При ~г~)1 ряд (37.7) расходится, так как в этом случае 1пп — „, = + ос *>, т. е. не выполняется необходимое условие 1г(л а со сходимости ряда. Радиус сходимости ряда (37.7), как и ряда (37.6), равен единице, однако в каждой точке границы круга сходимости ряд (37.7), в отличие от ряда (37. 6), сходится. 5. Ряд З7.1.
Радиус сходимосги и круг сходимосги В самом деле, если число )с определено этой формулой н 1а)~1х', то !а гл+х ~ и поэтому ряд (37.3) для такого г сходится (и притом абсолютно). Если же ~а~)Я, то 11т "", ' = ~ -~->1, н, следовательно, ряд (37.3) абсолютно расходится. Таким образом, )х' действительно является радиусом сходимости ряда (37.3).
Аналогичным образом можно найти величину радиуса сходи- мости )х' и с помощью признака Коши (см. теорему 9 в п. 35.б), если только существует предел (конечный или бесконечный) 1пп у' ~пл1, В этом случае 1 1пп угас~„) Действительно, если число )с задается этой формулой и если !г!<й, то 1пп 1г !плах!=1г! 1пп у')а„~= ~'-~1 л сл л-сл л и потому ряд (37. 3) сходится. Если же ! г ! ) Я, то ! 1гп 1/ ~ акал ! = — ) 1 л 1г1 л лл и, следовательно, ряд (37.3) абсолютно не сходится. Таким образом, )г является радиусом сходимости ряда (37.3). Затруднения при применении такого метода определения радиуса сходимости степенного ряда могут возникнуть, например, уже в случае, когда в рассматриваемом ряде имеются коэффициенты со сколь угодно большими номерами, равные нулю. В этом случае можно попробовать применить указанный метод, предварительно перенумеровав подряд все члены ряда с отличными от нуля коэффициентами (отчего его сходимость и сумма в случае, если он сходится, не изменяются).
Поясним сказанное на примере. Пусть требуется определить радиус сходимости ряда СО ! л — если п=1, 3, 5, ..., алг", Где ал = л ' л=о О, если п=О, 2, 4, .... Признак Даламбера неприменим для определения сходимостн этого ряда, ибо отношение — "' не имеет смысла для четных ноал меров и.
Не дает ответа здесь и признак Коши, поскольку 21* 628 8 87. Степенные ряде! нетрудно проверить, что здесь предел !нп у (а,„~ не существует. л- ° ы Однако если положить да=,—,, 8=0, 1, 2 ..., и записать 1 данный ряд в виде Хд"' = Х + ' а=о !=о то, исследован абсолютную сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера, получим )ип " = , 'г,'1!гп = (г!'. !Ье,гт! з ! л сп . Ьег"" ! ' ' е „,2А+3 о 4.
(1 1 1)лгл 1л + 1) (л+ 2) ' л=.-о Ч)т гл лз ' л=! 372". ФОРМУЛА КОШИ вЂ” АДАМАРА ДЛЯ РАДИУСА СХОД113)ОСТИ СТРЛ1ЕЯНОГО РЯДА Найдем теперь формулу для определения радиуса сходимости произвольного стегснпсго ряда через его коэффициенты в общем случае. Теор ма 4. Пусть )с — радиус сходихюс!пи степенного ряда ,г, а„г"; л.—.— о (37.3) тогда я л) 1лп ! !а„~ 137.9) *' О верхнем пределе (см. в п. 3.12"). Отсюда следует, что рассматриваемый ряд абсолютно сходится, когда ! г' ( 1, т. е. когда ! г' ,~ 1, и абсолютно расходится, квгда !21= 1.
Таким образом, радиус сходимости этого степенного ряда равен 1. Подчеркнем, что с помоцью признака Даламбера и признака Коши можно найти радиус сходимости не для произвольного сте- пенного ряда, а лишь для такого, у которого существуют ука- занные выше пределы (быть может, после новой нумерации членов). Уп р а м не и и я. Определить радиусы сходпмости рядов: ОЭ 1. ~ леал. 3.
~~ ! 2лгал. л=о 'л, л=! л=-! Здг". Формула Коши — Адамара 629 Формула (37.9) называется формулой Коши — Адамара *1. Доказательство. Положим р==!пп 1г ~а,,~. Рассмотрим сначала случай р=О. Покажем, что в этом случае ряд (37.3) сходится при любом г. Возьмем какое-либо гчьО и такое е, что 0(е(1. Тогда (см. теорему 10 п. 3.12*) существует такое Л1», что уг ~а„~( — для всех п==Л?ь т. е. ~г( )а„)~г(м(е" для всех а~Лет. Отсюда по признаку сравнения следует, что ряд (37.3) абсолютно, а значит, и просто сходится при данном г, а так как г было произвольно, то это означает, что Я = + оэ.
Возьмем другой крайний случай: пусть р = + со. Покажем, что в этом случае ряд (37.3) расходится при любом г ~ О. Дей- ствительно, если р = + оо, то существует последовательность и», л» й=1, 2, ..., натурального ряда такая, что 1пп у' ~ а, ~=+со. Поэтому, каково бы ни было гФО, существует такой номер й, что при й~й, ~» ~а„,~~ —,, т. е. ~аа»г"»)гк1. Таким образом, не выполняется необходимое условие сходи- мости ряда — стремление к нулю п-го члена, поэтому при данном гоьО ряд расходится, а так как гФО было произвольно, то это означает, что )т'=О.
Пусть теперь 0(о(+ со. Покажем, что при всяком г таком, что 1г( « ' — ряд (37.3) сходится. Выберем в~О, так, чтобы 1 Р ~г~( — а»1, тОГда ЧИСЛОа, ОирсдвпяЕМОЕ раВЕНСтВОМ д=(р+Е)Х Р+в х ~г1, будет удовлетворять неравенству д ( 1. Согласно свойству верхнего предела, существует такой номер Лг„ что при и ) Л?а у' Га„)(р+е, поэтому при и="-Лг, !г~у!а„~(1г!(р+е) =д, т.
е. (а„га1(д», О(д(1, " Ж. Адама р (!865 — 1968) — француаскна математик, 1 *»' Дан этого достаточно ванга в ( э 87. Степенные ряды н по признаку сравнения ряд (37.3) при рассматриваемом г абсолютно, а значит, и просто сходится. Покажем теперь, что ряд (37.3) при всяком г таком, что 1г!) —, расходится. Выберем е) О, так, чтобы 1 о )г1) — ) О, 1 (37.10) тогда ~г)(р — е) 1.
Согласно свойству верхнего предела (см. теорему 10 п. 3.12*), существует подпоследовательность пы й = = 1, 2, ..., натуральных чисел такая, что у'~ а„„ ~ р — е, й = 1, 2, Из этого в силу (37.10) следует, что ~г ~ у (а, ~) ~г~(р — е)) 1 и, следовательно, ~ а„„г"е! ) 1, т. е. в этом случае не выполняется необходимое условие сходи- мости ряда — стремление к нулю его и-го члена, и поэтому для рассматриваемого г ряд (37,3) расходится. Таким образом, ряд (37.3) сходится, если )г) ( †, и расхо- 1 дится, если 1г~) —, а это и означает, что Я= —.
( ) 1 1 Р' Р зтх АИАлитическик Функции Определение 3. Функция 7(г) назывоетея аналитической в точке гы если существует такое й)0, что в круге ~г — г ~< А' она представимо степенным рядом вида (37.1), т. е. существуют такие комплексные числа а„, п= О, 1, 2, ..., что 7" ()= гл а„(г — ге)", 1г — г,~~)с. (37.П) лса Сумма, разность и произведение аналитических в точке функций снова является аналитической в этой точке функцией (почемуу). Лемма 1. Если )с — радиус сходимости ряда (37.11), )с) О и г„(г) = ~х~ ае (г — г,)~ — остаток ряда (37.11), то г„(г) = О ((г — ге)""У прп г-+гт (37.12) ЗХЗ. Аналитические фенкцои и, следовательно, г„(г) = о ((г — г,)л) при г -о- го.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
