kudryavtsev1a (947413), страница 113
Текст из файла (страница 113)
В силу неравенства (36.8) О==хе(е для всех и ~не н всех х ~[0, д). Рис. 137 Рис. 1дб 2. Та же последовательность (36.7) на полуинтервале [О, 1) также, очевидно, сходится к функции, тождественно равной нулю: 11гп хе=0, О.=-х(1. Однако, в этом случае сходимость л. о уже не является равномерной (рис. 138). Действительно, если последовательность х", и=1, 2, ..., равномерно сходилась бы на полуинтервале [О, 1) к некоторой функции, то она и просто сходилась бы к этой функции. В силу этого последовательность (36.7) может равномерно на полуинтервале [О, 1) сходиться Зб.«, Равномсрнал сходимоств последовательностей б97 только к функции, равной нулю во всех точках этого полуинтервала. Заметим, что при любом фиксированном натуральном п 1пп л» =-1.
Следовательно, каково бы ни было з, О ( е ( 1, при к 1 фиксированном л найдется такое х„О (хв ~ 1, что х„" гь е, (например, при к«=а'з будем иметь х,"=з). Поэтому прн фиксированном з, 0(з~1, ие существует такого номера М, что для всех п=Л' и всех к~[0, 1) будет выполняться неравенство (36 6) при ?,(х) =х", ?(х) =О, 0==" х(1. Более того, какое бы М ни взять, для каждого и= Ф найдется такое к~[0, 1), что для него будет выполняться неравенство, противоположное неравенству (36.6), т. е.
~[„ (х) — ) (х) )'=а з (в качестве конкретного х здесь можно взять, например, х„). Итак, неравномерная сходимость последовательности (36.7) на полуинтервале [О, 1) доказана. Заметим, что из проведенных рассуждений следует, что последовательность (36.7) не сходится равномерно и на любом интервале вида (г, 1), где О-=.е 1, н частности, на интервале (О, 1). Следует обратить внимание на то, что если последовательность функций ?„(х), определенных на множестве Е, не сходится равномерно на некотором его подмножестве Е,с: Е, то она заведомо не сходится равномерно и иа самом множестве Е: если условия определения 1 не выполняются для всех точек х е=Е„ то они заведомо пе выполняются и для всех точек множества Е. Вместе с тем, если последовательность функций равномерно сходится на некотором множестве, то она н подавно равномерно сходится на каждом его подмножестве.
Отсюда следует, например, что последовательность (36.?), сходящаяся на отрезке [О, Ц к функции 0 при 0(х(1, т(~) 1 при к=1 не сходится на нем равномерно, ибо она уже не сходится равномерно на полуинтервале [О, 1). Перейдем к описанию критериев равномерной сходимости. Для функции ? и последовательности функций (?„), заданных на некотором множестве Е, будем рассматривать последователь ность чисел (конечных или бесконечных) зпр ( [„(х) — ? (х) ), п = 1, 2, ..., «же (36.9) црннадлежащих, вообще говоря, расширенному множеству действительных чисел 1с (см. п.
2.5), и ее предел (см. п. 3.2). вэв б Зб. Флняцнонояьныв последовательности и ряды Если последовательность (1„) равномерно сходится на множестве Е к функции )', то существует такой номер п„что для всех п ) и, верхние грани (36.9) конечны. Действительно, если — то согласно определению равномерной сходимости, для е любого е)0, например, для е=-1 существует такой номер и„ что для всех и~ и, и всех х е:- Е выполняется неравенство ~~ (х) — ) (х)(< 1, а следовательно, и неравенство ыр !~„ (х) — 1(х)! 1, «ис Поэтому при пгьпь все верхние грани (36.9) конечны.
Теорема 1. Последовательность функций (1,), определенных на множестве Е, равномерно сходится на этом множестве к функции 1' в том и только гпом случае, когда Ит ыр !)„(х) — ~(х) (=О. (36.10) я сх«ЕЕ Следствие. Для того чтобы последовательность (Я равномерно сходилась на множестве Е к функции 1 необходимо и достаточно, чтобы нашлась такая числовач последовательность (а„), что !пп а„=О, а„~О, (36.11) и существовал такой номер п„что для всех п--пь и всех хе= Е выполнялось неравенство (~„(х) — 1(х) ~ ( а„.
(35.12) Доказательство теоремы. Если выполнены условия определения 5, то для каждого е)0 существует такой номер и„ что для всех и- п, и всех х ен Е выполняется неравенство !1. (~)-) (~) ~ (-~- Взяв указанное п, для всех п)пе будем иметь зпр !!"„(х) — 1(х)!~ - ~е, хм е а это, согласно определению предела числовой последовательности, и означает выполнение условия (36.!0).
Обратно, если условие (36.10) выполнено, то по определению конечного предела последовательности элементов из 1с, для любого е ) О существует такой номер и„ что для всех и=- и, выполняется неравенство ыр (1„(х) — 1(х) ! е. «ав Зб,д Равномерная скодимость оослсдвввтвлвносим[ озз Отсюда следует, что для всех и~ив и всех хенЕ справедливо неравенство /~„(х) — 1(х) ! <а, т. е.
выполняются условия определения 5. [ ) В силу того, что почти все члены последовательности верхних граней (36.9) для равномерно сходящихся последовательностей функций конечны, критерий (36.10) по существу сводит понятие равномерной сходимости функциональной последовательности к понятию сходнмости числовой последовательности. Доказательство следствия. Если 1„=[, то согласно сказанному выше существует такой номер п„что для всех и~ив все верхние грани (36.9) конечны. Позтому за последовательность (а„) можно взять, а„= зцр [)„(х) — [(х) (, и=и„п,+1, ..., се а (очевидно а,==-О), выбрав первые члены, а„..., а„, [ произвольным образом.
Тогда при п)ив условие (36.12) выполняется очевидным образом, а в силу (36,10) будем иметь Ит а,=О. Если же существует числовая последовательность (а„), удовлетворяющая условиям (36.11) и (36.12), то в силу (36.12) для любого п- и, выполняется неравенство ацр / ~„(х) — ) (х) ! ~ а„, «ав Перейдя в нем к пределу при п-с-оз, получим согласно (36.11), что !пп зцр ~~„(х) — ):(х))=0.
в в к~а Выполнение этого условия и означает (см. теорему 1) равномерную сходимость последовательности ()'„) к функции ~ на множестве Е. П. Примеры 3. Докажем еще раз с помощью условия (36.10), что последовательность х", п=,1, 2, ..., не сходится равномерно на полуинтервале 10, 1). Поскольку предел указанной последовательности на рассматриваемом полуинтервале равен нулю, то сделанное утверждение сразу следует из очевидного (при любом фиксированном п=1, 2, ...) равенства зцр [х» — 0~ =1, из к(с[в, П которого явствует, что условие (36.10) равномерной сходимости в данном случае не выполняется. 4.
Последовательность )„(х)= — х", и=1, 2, ..., Омх~1, Л сходится равномерно на отрезке 10, 11 (рис. 139). бОО В Вб. Функцыонаяьные ласледлеагеяьносгн и ряды Действительно, поскольку 1пп — =О и 0 ~ -х" « —, 0«х« 1 1 1 л л л' =.1, п=1, 2, ..., то высказанное утверждение следует из следствия теоремы 1. Сформулируем и докажем критерий равномерной сходнмости последовательности, обычно также называемый критерием Коши. Теорема 2 (критерий Коши равномерной сходимости последовательностей). Для того чтобы последовательность функций г„, и = 1, 2, ..., определенных на некотором множеслгве Е, равно- мерно сходилась на этом множестве, У необходимо и достаточно, чтобы для 1 любого е- 0 существовал такой номер п„что для всех нолмров п:-.=п„всех целых р--.=О и всех точек х ~ Е выполнялось неравенство гг ггл.гр (х) ггн (х) гг ( в (36 1 3) „1 Доказательство необходимости.
Пусть последовательность (1,) равномерно сходится на множестве Е. Рас. Иу Тогда, согласно определению равно- мерной сходимости, существует функция ) такая, что для любого в)0 существует такой номер и„ что для всех п»п, и всех х ~Е выполняется неравенство Поэтому, если пзьп, и р»0, то для всех х ен Е получим /~яр(х)(н(х)!(~яр(х)7(х)!+~~(х)~л(х)г«е Доказательство достаточности. Если выполнено условие (36.13), то при любом фиксированном хан Е последовательность (36. 14) 7'„(х), и=1, 2, является числовой последовательностью, удовлетворяющей критерию Коши (см. п.
3.7 и и. 23.3) н потому она сходится. Обозначим предел последовательности (36.!4) на множестве Е через 7(х). Покажем, что последовательность гг("„) сходится равномерно к функпии 7 на множестве Е. Действительно, в силу условия (36.13) для любого е)0 существует такое и„, что для всех и=.-п„всех целых р=.-О и всех хан Е справедливо неравенство (36.15) гглер(х) гн(х)г( Заметив, что 1пп 7'„р(х)=1(х), перейдем к пределу в неравен- Эб.2. Равномерная схадимость наследоеательнастеа стве (36.15) при р-+со, тогда для всех пзпе и всех хенЕ по- лучим 1П~) — Р.( )1~, (е, а это и означает, что Г„-..—.1.
1 1 е В заключение отметим два свойства равномерно сходящихся последовательностей. 1'. Если последовательности 1)„1 и (йн) равномерно на мно- жестве Е сходятся соствстственно к функциям 1 ид, то любая линейная комбинация ~Л)„+1сд,~, Л~ С, р~ С, данных последо- вательностей также разномерно на этом множестве сходится к такой же линейной комбинации предельных функций, т. е. к ЛУ+рй Доказательство. Если Л=р=О, то утверждение оче- видно. Пусть хоть одно из чисел Л или !л отлично от нуля, т. е. 1'Л1+1р1->О.
Зафиксируем произвольно е)0. В силу условий ~„:..~ и д„=а существует такой номер п„что для всех и.— и, е е и всех х ен Е выполняются неравенства 1р„ (х) — 1(х)1 ! ! , , 1 д„ (х) — а (х)1 ( „ а потому и неравенство 11Лт"„(х) + ркн (х)1 — (Л) ( х) + !лк (х)11 » ~1Л111'„(х) — 1" (х) 1+1р11д„(х) — д(х)1 е е (1Л1,, +1р1,, =е. Согласно определению равномерной сходимости это и означает, ' о Л1.+уй.=,Ц+ П 2'. Если последовательность 1)„1 равномерно сходится на мно- жестве Е к функции р, а функция д ограничена на эпюм множе- стве, то последовательность 1ф„1 также равномерно сходится на Е к функции й~. Доказательство. Ограниченность функции д на множе- стве Е означает, что существует такое М)0, что для всех хан Е выполняется неравенство 1а(х)!(М. В силу же равномерной сходимости на множестве Е последовательности 1)„1 к функции р существует такой номер и„ что для всех и — пь и всех х еи Е выполняется неравенство 1 ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
