kudryavtsev1a (947413), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Абсолютно сходягн«еся ряды ббэ На ряды переносятся не все свойства конечных сумм. Поясним это на примере того же ряда (35.42). Если то 1 1 7 1 1 1 ! 1 1 1 1 + +'''7 4+ 2 2~ 2 3 4 ''') 2 4 8 8 сложив этот ряд с рядом (35.44), получим равенство 3 1 ! 1 1 1 1 1 1 — 5=1+-- — — + — + — — — +- + — — — + ... (35.45) 2 3 2 5 7 4 9 П 8 т. е. ряд, составленный из тех же членов, что и данный ряд (35.44), взятых только в несколько другом порядке, поэтому 3 2 — 5=5, откуда следует, что 5=0, что противоречит неравенству (35.43). Несмотря на кажущуюся очевидность законности наших рассуждений, мы где-то совершили грубую ошибку. Где? Подробный анализ этого будет даи в одном из следующих пунктов.
35ЛО, АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ. ПРИМЕНЕНИЕ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ К ИССЛЕДОВАНИЮ СХОДИМОСТИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ В этом пункте снова изучаются ряды, члены которых, вообще говоря, комплексные числа. Определение 4. Ряд и„, и„еи С, (35.46) «=1 называется абсолютно сходяицил1ся, если ряд "', (и„( (35.47) «+« Х 1и ~(а. я=« сходится. Применяя критерий Коши сходимости ряда к ряду (35А7), получим: для того, чпюбы ряд (35.46) абсолютно сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого е) 0 суи!ествовал таяои номер пе, что для. воен и'з:и, и всех целых р~О выполняется неравенство Е дд Числовые ряды !'и П р и м е р ы.
1. Ряд ~~ — „е)п — — абсолютно сходится, ибо л= ! ! — .+~= —" О . яа ! ! к! ! — егп ~ ~ —, а ряд 7 2л сходится. л=! ( — !)лм 2. Ряд у, как мы знаем, сходится, однако не абсол= — ! лютно, ибо ряд, составленный из абсолютных величин его членов, а1 ! т. е. гармонический ряд ре †, расходится. л=- ! Теорема 12. Если ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится. Доказательство. Пусть ряд (35А6) абсолютно сходится, т. е. ряд (35.47) сходится.
Тогда в силу необходимости выполнения условия Коши для сходимости ряда (см: теорему 5), для любого е з.О существует такое п„что для всех п- п, и всех целых р.»О выполняется неравенство и+ р ;У', 1ии !(е. и=- и 1 и+р ! л+ р Отсюда и из неравенства 1 ~ч , 'ии~ =. ~ч , '!ии~ следует, что для в=л я=и всех номеров п ~ пр и всех р = О, 1, 2,, выполняется неравенство и+р ии (е. й=л А это и означает в силу достаточности выполнения условия Коши для сходимости ряда, что ряд (35.46) сходится. (1 Замечание.
Следует иметь в виду, что свойство абсолютной величины суммы не превышать сумму абсолютных величин слагаемых остается справедливым и для сходящихся рядов: ! ~ и„1 = ~ч )и„!. (35А8) и=! ! л=! Это неравенство содержательно, когда его правая часть конечна, т. е. когда рассматриваемый ряд абсолютно сходится. В этом случае левая часть неравенства всегда имеет смысл, так как из абсолютной сходимости ряда следует и его обычная сходимость.
Формально неравенство (35.48), по нашему соглашению об употреблении символа + со (см. с. ЗЗ и с. 546), верно н для любого сходящегося ряда, у которого ряд, стоящий в правой части (35.48), расходится. 577 Зо.сд. Лдсолюгно сходящиеся ряды Для доказательства неравенства (35.48) в случае сходящегося ряда ~х~~ и„заметим, что для любого натурального т я=- ! ! ~ч~ и„~~ ~' ~и„~. н=-! ) о=! Переходя здесь к пределу при т-+.со, получим неравенство (35.44). Обозначим через ~х, и' (35,49) ряд, составленный из тех же членов, что и ряд (35.46), но взятых, вообще говоря, в другом порядке.
Теорема 13. Если ряд (35 46) абсолютно сходится, то ряд (35.49) также абсолютно сходнтся и имеет ту же сумму. Доказательство. Пусть ряд (35.46) абсолютно сходится, т. е. сходится ряд(35.47), и пусть ~ч ~и„~=й. Обозначим частичи=! ные суммы ряда (35.47) через й„. Тогда (см. п. 35.4) йн(е, и=1, 2, Далее, какова бы ни была частичная сумма й" = ~к~~ )и$) ряда я=- ! ~ч„! и*„), (35.50) найдется номер а=п(т) такой, что все члены ряда (35.50), входящие в сумму й„", (таких членов конечное число), имеют в ряде (35.47) номера, не превышающие и, а поэтому йы ~ йя1 где и = п (т), т =1, 2, ....
Следовательно, 5ы -я, т=1, 2, Отсюда (см. лемму 2 в п. 35.4) и следует сходимость ряда (35.50), т. е. абсолютная сходимость ряда (35.49), Покажем теперь, что если ~" и„=е, то и сумма ряда (35.49) я — -! также равна з. Обозначим частичные суммы ряда (35.46) через з„. Пусть фиксировано е) О. Тогда в силу сходимости ряда (35.47) э 85. Числовые. ряды существует такой номер н„что Х е «е 2' л=«!-! е (35.51) иы — — х. Д ы=! Если ряд (35.46) абсолютно сходится и с — какоеряд ~, си„также абсолютно сходятся.
л —.-. ! из критерия Коши сходимости рядов и равенства п+р л-!-р 5; !си„,,'=',с( ~ч, '(ип(. л:.-. л п=л Если ряды ~' ип и ~ ол абсолютно сходятся, Теорема 14. либо число, то Это следует Теорема 15 л= ! л= ! то их сумма ~ч, (ил+ ол) также абсолютно сходится, п= ! следовательно, выполняется и неравенство «« СО (е — е„, ) = ~ ~~ ил - ~ ! и„! --. (35.52) л=л -!-! е л = л -!- ! е Выберем, далее, номер т, так, чтобы частичная сумма е", рида (35.49) содержала в качестве слагаемых все члены ряда (35,46), входящие в сумму зл, (нначе говоря, номер т, таков, что все члены ряда (35.46) с номерами, не превышающими и„ имеют в ряде (35.49) номера, не превышающие т,).
Пусть т=-т,. Положим е'" =- е' — е„,. Поскольку ~ з** ~ не превышает сумму абсолютных величин слагаемых, входящих и е**, и поскольку номера этих слагаемых больше, чем н„а следовательно, все они содержатся в сумме ~ ~и„1 то в силу (35.51) имеем л= ля+ ~ ~.1(; (35.53) л= л -';-1 Используя (35.52) и (35.53), получим при о!.э=т„ ~' — ':~=-~' — ('л.+'"')~=!'-'"1+~"-*~~ 2+ 2=' Это и означает, что З5.1О. Лдсолютно сходящиеся ряды Это следует из критерия Коши сходимости рядов и из неравенства л+р л+ р л-~- р ~я~ ! ив+ о» ) ( у„'! ия )+ ~ ! о» (. Теорема 16. Если ряды ~я~ ~и и ~я"„о„ (35.54) ,У', и =з',,У„'о„=~, ы=-1 л=- 1 то з=зз .
(35.55) Локаз ательство. Образуем следующую таблицу попарных произведений членов рядов (35.54): Составим из элементов этой таблицы ряд ихо! + и!о!+ ииое + исо!+ ..., (35.56) в котором ее элементы расположены в порядке, показанном на нижеследующей схеме, где на месте каждого произведения из таблицы указан его порядковый номер как члена ряда (35.56): абсолютно сходятся, то ряд, составленный из всевозможных попарных произведений и„о, членов этих рядов, расположенных в произвольном порядке, также абсолютно сходится. Если сумма этого ряда равна з, а суммы рядов (35.54) равны соответственно з' и з", т.
е. 4 дд. Числовые ряди Докажем, что ряд (35.56) абсолютно сходится, т. е. что сходится ряд ) и,о,!+) и,ое ~+1и,пе (+( и,о, )+ ... (35.57) Для этого в силу неотринательности его членов достаточно доказать, что существует по крайней мере одна ограниченная сверху подпоследовательность его частичных сумм (см. лемму 2 в и. 35.4) Обозначим через з„' и з„" частичные суммы соответственно рядов з'-и ~ )и (, вл — ' я (о„(, и=- 1 л=1 которые в силу абсолютной сходимости рядов (35.54) сходятся, т.
е. О=в'<+ею, О«-..з" (+ос, Тогда для частичных сумм порядка и' ряда (35.57) будем иметь з1 = ~ и1ог ( = Б|Б( ( в в, зл = ! и,и, (+ ( и1ов )+ ! и,о, )+ ! и,о, ( = = (/ и, ) + ( ив !) (! о, ( + ) пя () = в,'з, ~ з'в", йл =/игпд/+ ... +!иго„/+ ... +/и„п„)+ ... +~и,о,/= =(~ и,>+ ... +/и„))(!о,!+ ... +(и„)) =з„'й„'~ВЗ, Итак, подпоследовательность частичных сумм (з„*) ряда (35.57) ограничена сверху, и, следовательно, этот ряд сходится.
Это означает абсолютную сходнмость ряда (35.56) и любого ряда, полученного произвольной перестановкой его членов (см. теорему 13). Таким образом, любой ряд (35.58) составленный из всевозможных попарных произведений и„ол членов рядов (35.54), сходится и притом абсолютно. Для доказательства формулы (35.55) воспользуемся тем, что сумма ряда (35.58) не зависит от порядка его членов и снова расположим их наиболее удобным для нас способом; именно, рассмотрим снова ряд (35.56). Обозначая через з„' н з"„частичные суммы рядов (35.54), для частичных сумм аль п= 1, 2, ..., ряда (35.56), очевидно, получаем зл~ = злзл.
(35.59) Но 1пп в„'=а', 1пп з„'=в", 1пп з„*=в, поэтому, переходя к пределу в равенстве (35.59) при п-л.со, получаем равенство (35.55). ( ) о?З 35.!О. Лбсолюсло сходящиеся ряди Теоремы 13 — 16 показывают, что свойства абсолютно сходя- щихся рядов во многом похожи иа свойства конечных сумм: вели- чина суммы такого ряда не зависит от порядка слагаемых, абсо- лютно сходящиеся ряды можно перемножать почлеино и т. и.
В следующем пункте будет доказано, что для сходящихся рядов, пе сходящихся абсолютно, эти свойства не имеют места. Замечание. В заключение этого пункта подчеркнем, что, когда члены ряда комплексные или действительные, но меняющие знак, вопрос о сходимости этого ряда нельзя решить только с помощью определения порядка убывания и-го члена. Например, ч! 1 ч! ( — 1)л+! Л-Е ЧЛЕНЫ РЯДОВ 7 -- И те ИМЕЮТ ОДИНаКОВЫй ПОРЯЛ Х~! И, л=! л=1 док при л-~ос, однако первый ряд расходится, а второй сходится. Более того, нетрудно привести пример двух рядов ~Ч , 'ил и л=-1 ~ч~ и, л-е члены которых эквивалентны (ил о„, л=!, 2, ...,), л= 1 из которых один сходится, а другой расходится.
В качестве таких рядов можно взять, например„ряд с и-м членом ( !)лмя ил= л и ряд с и-м членом ( 1)лс! ! л (л+1) 1п(л+1) С одной стороны, здесь ил ол, п=1, 2, ..., ибо ( !)ля! ол и (и+ 1) !п (л+ 1) 1 ( — 1)лс! л и„ + (л + 1) 1и (и + 1) ' ( 1)лл! л и потому 1пп — „" =1.
сс С другой стороны, ряд ~х', ия есть ряд вида (35,3?), поэтому он сходится. Ряд же ~ч ол расходится. В самом деле, если бы он л= 1 сходился, то сходился бы и ряд Х "-".= 1 "л)= Х (.+!) !.(.+ц л=-1 я=1 т. е. ряд (35.29), который, как мы видели, расходится. » ЗБ.
Числовые ряды л=! ряда сводится к исследованию сходимости ряда ~ ол. Этот прием, конечно, целесообразен в том случае, если получившийся ряд ~х~ ьл проще поддается исследованию на сходимость, чем данный л=! ряд (ср. с аналогичным исследованием сходимости интегралов в п. 33.6). П р и м е р ы. 1. Рассмотрим ряд с общим членом ил == ( — 1)л л«+!и- и ( — 1)л )и л +, л= 2, 3,.... Беря и„=-, а и2„=- —.„, ле 1и л л= )л л лл получаем, что ряд ~', ил сходится, ибо ряд из главных частей ~" ол сходится по признаку Лейбница, а для «остатков» имеем, я==2 например, ш =О! —, ! л ! Иг) !л 'У', Шл. л =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
