kudryavtsev1a (947413), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Иусть дан ряд Э Зб: Числовые ряды — последовательность его частичных сумм. Обозначим через ол среднее арифметическое первых и членов этой последовательности в!+22+".+ !в Ол= л Определение 5. Ряд называется суммируемым методом средних арифметических к числу о, если последовательность (о„) средних арифметических его частичных сумм .сходится к и: 1пп о„=о.
л со х,+х,+...-(-хл 1 л п=-1, 2, ..., имеет тот же предел (см. пример 5 в п. 3,1). С другой стороны существуют расходящиеся ряды, которые суммируются методом средних арифметических. Таким примером является ряд 1 †1+1 вЂ... (3556) 1 л Вэтом слУчае вал=О, 222! — — 1, о л=--, оаат= — „,, )т=-1, 2,,... Следовательно, 1!пт о„=--, т. е. ряд (35.96) суммируется мето- 1 л сл том средних арифметических. С применением суммирования рядов методом средних арифмел тических мы встретимся в и.
55.6. У п р а ж и е и и я. Исследовать сходимость и абсолютную сходимость следующих рядов: 19. У Лы (л + !) !ва (и + 1) ' л =1 17. ( — 1)л ' (2п — 1)а л — — ! л=! 19. ( !)л пн л=! л=! 19. ~З ~(т'а — 1). 19. Х (1П и)!л л л = 2 ~!( ! ( 1и п )л л=! Метод суммирования средними арифметическими является регулярным методом суммирования, так как из того, что некоторая последовательность (хл) имеет предел, следует, что последовательность, составленная из средних арифметических первых ее п членов дала Скоднносгь фянннианаяьнык лослвдовотельностей н рядов др1 . ~ (-„1- — рл "+1). л=! 22. 7 —. 1п —. чт 1 и+1 )'и л — 1' 24.
лг' 1п ( 1 + и=! 23. У' 1 ~1+ л=2 ~ (У л+ 1 — й л)в 1п л 2 Задача 23 (признак Дю Буа Раймона ь' сходнмостн рада). Доказать, что ряд ~Ч, 'алЬл (ал И Ьл — КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛа) СХОдитСя, ЕСЛИ ряд ~Ч, 'Ьл СХО л =-1 л=! 5 36. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 383. СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ В настоящем параграфе будут рассматриваться последовательности и ряды, членами которых являются некоторые, вообще говоря, комплекснозначные функции, т. е. последовательности 1 (х) еБ С, и=1, 2 ... (36.1) и соответственно ряды ил(х)„ил(х) ~С, п=1, 2, ... (36.2) л=! При каждом фиксированном значении аргумента х эти последовательности н ряды, очевидно, представляют собой уже рассматривавшиеся числовые последовательности и ряды.
Пусть Š— некоторое множество элементов, в частности множество точек прямой, плоскости п-мериого пространства или вообще элементов произвольной природы, и пусть (36.1) — последовательность функций, которые определены на множестве Е и значениями которых являются, вообще говоря, комплексные числа.
*! П. Дю Б у а Реймон (!831 — 1889) — немецкий математик. китса, а ряд ~ (аи — альт) абсолютно сходится. и=! Задача 24 (признак Дедекинда сходнмостн ряда). Доказать, что ряд ~~ алЬл (ал и Ь вЂ комплексн числа) сходится, если ряд ~Ч~ ~(ал †ал) л=! л= ! абСОЛЮтНО СХОдмтСя, 1ПП Он=о И ЧаСтНЫЕ СУММЫ ряда ~Ч , 'Ьл ОГраНИЧЕНЫ. и ° сл и=! 592 У Зв. Функциональные последовательности и ряды Определение !. Последовательность (36.1) называется ограниченной на множестве Е, если суи!еству т такая постоянная М) О, что для всех хе= Е и всех и =1, 2, ...
выполняются нера- в;нства (~„(х)' ,( М. (Иногда в атом случае последовательность (36.1) называется также равномерно ограниченной.) Определение 2. Последовательность (36.1) называется убывающей (возрастающей) на множестве Е, если для всех х ~ Е и всех п=!, 2, ... выполняются неравенства (н, (х): гн (х) (соответственно, если для всех х ~ Е и всех и =1, 2, ... выполняются неравенства Р,кт (х) —. 1„(х)). Это определение, очевидно, предполагает, что функции )„(х), п=1, 2, ..., принимают действительные значенин.
Определение 3, Последоватпельность (Зб.!) называется сходящейся в точке *! х в= Е, если числовая последовательность !!'„(хо)) сходится. Последовательность (36.1) называется сходящейся на множестве Е, если она сходится в каждой точке множества Е. Если !пп !",(х)=!'(х), хне Е, то говорят, что последовательл со ностпь (36.1) сходится к функции )(х), х ен Е.
Аналогичное определение можно дать и для ряда (36.2). Определение 3'. Ряд (36.2) называется сходящимся в точке хо~ Е, если сходится числовой ряд .У, и„(х,). л=! Ряд (36.2) называется сходящимся на множестве Е, если он сходится в каждой точке этого множества. Определение 4. Ряд (36.2) наливается абсолютно сходящимся на множестве Е, если на множестве Е сходится ряд з' ,!и„(х)!.
и=1 Подобно случаю числовых рядов, сумма в„(х)= 5', ия(х), п=1, 2, ..., называется и-й частичной суммой ряда (36.2); предел частичных сумм сходящегося на множестве Е ряда (Зо.2) называется его *' Мы называем элементы множества Е точками. абла Сходнмость функциональных последовательностей и рядов б9З суммой я(х): я (х) = 1пп ял (х).
л ьт Ряд и„(х) (36.3) в= л-,~-1 называется и-м остатком ряда (36.2). Остаток ряда сходится на Е тогда и только тогда, когда на Е сходится сам ряд (36.2). Если в этом случае сумму остатка ряда обозначить через гл(х), то я (х) =ял (х)+то (х). Как и в случае числовых рядов, согласно определению, каждый функциональный ряд является парой последовательностей (и. (х) ) и (ял (х)), где ил (х) — его члены, а ял (х) — частичные суммы: л ял(х) = У', пь(х), и=1, 2..
ь=! и, (х) = — 1,(х), и„ (х) =)„ (х) — 1"„ , (х), п = 2, 3 ..., Это обстоятельство дает возможность перефразировать всякую теорему, доказанную для функциональных рядов, в соответствующую теорему для функциональных последовательностей, и наоборот. Мы неоднократно будем использовать это обстоятельство. Примеры. 1. Пусть дан ряд гй гл + + 2! + ' ' '+ л! + ' ' ' (36.4) г — комплексное число.
Исследуем его абсолютную сходимость, г'л т. е. сходимость ряда с и-м членом иллл —. Применив прил! знак Лаламбера, получим 1пп ~ ил.т1 =1пп — '=0 л со и ' л-:л л~ при любом комплексном г. Таким образом, ряд (36А) абсолютно, а значит, и просто сходится при любом комплексном г, илп, как обычно говорят, на всей комплексной плоскости. 2. Изучим сходимость ряда гг хг + 1+ кь+ ' ' '+ (1+ хь1л + ' ' ' (36. 5) При этом для каждой функциональной последовательности (36.1) существует ряд (36.2), для которого она является последовательностью его частичных сумм.
Члены этого ряда определяются однозначно: -Э Зо. Фаппиаопааапые поохадоаатеяапаети и ряды х — вещественное число. Этот ряд сходится при всех х. Действительно, если х~О, то мы имеем сумму геометрической прогрессии со знаменателем И в этом случае сумма э(х) ряда (36.5) легко вычисляется: хк з(х) = 1 = — 1+хе. 1 —— 1+ к' Если же х О, то все члены ряда (36.5) равны нулю, поэтому он, очевидно, сходится и з(О) =О. Таким образом, О для х=О, (х) = 1+ха для х~О.
График функции з(х) изображен на рис. 136. Как видно, несмотря на то, что все члены ряда (36.5) являются непрерывными функциями и ряд сходится во всех точках действительной оси, его сумма является разрывной функцией. Следовательно, в случае сходящихся рядов (36.2), членами которых являются непрерывные действительные функции и„(х), их сумма э (х), вообще говоря, не является непрерывной, т. е. 1пп э(х)~з(ха) = У, 'и„(х,), к х, и=1 или, что то же, 1пп .У', и (х) чь „У', 1! т и„(х). х х,к х !к к, Рис. !За Таким образом, предел суммы бесконечного числа слагаемых не обязательно равен сумме их пределов. Рассмотренный ряд (36.5) показывает, как при предельных процессах (геометрическая прогрессия) из простых непрерывных функций возникают функции значительно более сложной природы — разрывные функции.
В дальнейшем мы выясним условия, при которых можно гарантировать непрерывность суммы сходящегося ряда непрерывных функций. ЗВ.2. Равномерная ееодияовть поелвдовотвльковтвя Упражнения. Иеследоьать еходниость н абеомотну»»еходнноеть рядов: л=! л=1 36.2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦНОНАЛЬНЬ«Х НОСЛКДОВАТЕЛЪЫОСТЕЙ Определение 6.
Пусть заданы последовательность функций (36.1) и функция ), определенно»в на множестве Е. Будем говорить, что указанная последовательность сходится к функции 7' равномерно на множестве Е, если для любого е) 0 существует такой номер п„что если и — п„то для всех х е= Е выполняется неравенство ) ~„(х) — 7' (х) ) ( е. (36.6) Последовательность (36.1) называется равномерно сходящейся на множестве Е, если существует функция 7", к которой она равномерно сходится на Е. Очевидно, что если последовательность (36.!) равномерно сходится к функции 7 на множестве Е, то она и просто сходится к этой функции на Е.
Если последовательность (Ц сходится на множестве Е к функции ), то мы будем символически записывать это следующим образом: Если: же эта последовательность равномерно сходится на Е к функции 1, то будем писать 1. в ~. Заметим, что если последовательность (36.1) просто сходится к функции 7 на множестве Е, то это означает, что для любого е)0 и любого лен Е существует номер и,=п«(е; х), зависящий как от е, так и от х, такой, что для всех номеров и~по имеет место неравенство (Зб.б). Сущность равномерной сходимости последовательности функций состоит в том, что для любого е)0 можно выбрать такой номер п„зависящий только от заданного е и не зависящий от выбора точки хе= Е, что при п- п, неравенство (Зб.б) будет выполняться всюду на множестве Е, т. е.
«графики» функций )„будут расположены в «е-полоске», окружающей график функции ~ (рис. 137). Таким образом, в случае равномерной сходимости для любого е~О при всех достаточно больших и (именно при и= пе) зиа- буб б аб. Функциональные лоследовательлости и рядеи чения функций 1„приближают функцию 7 с погрешностью, меньшей е, сразу на всем множестве Е. Запишем для наглядности определения сходящихся и равномерно сходящихся на множестве Е последовательностей с помощью символов существования и всеобщности: ве1 1л В 1 С:Э (1(Е ) 0) (тУХ ~ Е) (:-)П,) (ЫП П ) ~ 1л (Х) — 1' (Х) ~ ( Е; ве~ Ул- ) с:тл (теле ) О) (Вне) (тх е= Е) (лГЙ ~ ле): 1ттл/х) — 7(х) ) ( е.
В этой записи одно определение от другого отличается перестановкой символов (ых еи Е) и (Зп,). Пр имер ы. 1. Последовательность 1,х,хе,...,хл... (36.7) на отрезке [О, д), 0(д(1, сходится равномерно к функции, тождественно равной нулю. Действительно, если 0(х(д, то 0(хе~с)л п 1 2 (36.8) Поскольку 1)гиде=О, то для любого фиксированного е) 0 су- л- сл ществует такое п„что е)л(е для всех п=п,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
