kudryavtsev1a (947413), страница 115
Текст из файла (страница 115)
е. числовой ряд 1+г+2, +...+ — (+... сходится. Беря его в качестве ряда сравнения (36.20) для ряда х" ~ гл (36.4), при (г(==г имеем ~ — !=-;. Поэтому наше утверждение о равномерной сходимости ряда (36.4) непосредственно следует из теоремы 4. Покажем, что ряд (36.4) .не сходится равномерно на всей комплексной плоскости. Это следует из невыполнения в данном случае необходимого условия равномерной сходимости ряда (см. теорему 3). Действительно, при любом фиксированном пз !пп !г"!пз! !=+ со (36,24) ! ! с Поэтому, если задано е)0, то, каково бы ни было по~О, в силу (36.24) можно подобрать г, так, чтобы 1г","/п,1~- е, т. е.
гл!п! не стремится равномерно к нулю на всей комплексной плоскости. 2. Исследуем равномерную сходимость ряда — со (х (+ со. (36.25) , У !+на(!+лх') ' Прежде всего заметим, что ! — ':' хинлх ! !х! 1, ! †,. ла(! ! л,з! ! = Ь'! + лз (! + лх') (36.26) далее 1!-пха=.»2!х!'у'п "~, поэтому р'! ! лз(!.ьлхз) 2Ул(1-!-лз! 2лт'а — (36.27) *> Мм воспользовались здесь неравенством 2аЬ ~аз-)-ьз, которое сразу нохучаетеа из очевидного неравенства (а — Ь)з те О.
дед й Зб. Функциональные последовательности и ряды 1 Так как ряд т —,, сходится, то по признаку Вейерштрасса н=! в силу неравенства (36.26) и (36.27) исходный ряд (36.25) равномерно сходится на всей действительной оси. 3. Рассмотрим ряд ~ е-"'"*з(пих. (36.28) ь=. ! Очевидно, (е — е'л'з(пик!~п',х(е — ""'.
Найдем максимум функции о„(х) =и ~к(е — "'"* при фиксированном п. Функция о„(х) четная, поэтому достаточно рассмотреть лишь случай х- 0 (почему?). Производная о„'(х) =- 1 = п (! — 2п'х') е — "'"' обращается в ноль в точке хе= = т'йнь Поскольку о„(х))0 для всех х, о„(0)=0 и Нш о„(х)=0, то к +ьь в точке х, функция он(х) имеет максимум (почему?). Поэтому о„(к): о„~ —.
) = е-'/е ~— е )/оно/2) )/й„з/е е/е и так как ряд 1 — „, сходится, то по признаку Вейерштрасса ь .=! ряд (35.28) равномерно сходится на всей вещественной осн. Метод, примененный для установления равномерной сходимостн ряда (36.28) (нсследование на экстремум модуля общего члена или его мажоранты методами дифференциального исчисления), является достаточно общим н часто применяется на практике. Этим методом можно было бы исследовать и равномерную сходимость ряда (36.25), однако примененный выше способ исследования этого ряда значительно быстрее приводит к цели.
4. Рассмотрим ряд ( !)ье! ле-1-н (36.29) я=! По признаку Лейбница (см. п. 35.5) он сходится при любом вещественном х и, как было отмечено там же, остаток ряда оценивается первым своим членом 1 1 ! ее (Х) ! , «вЂ”. Из этого следует, что ее(х)~0 при — скь<х<+со, т. е. ряд (36.29) равномерно сходится на всей действительной оси. дб.З. Равномерно сходятлеся ряды бой Покажем, что этот ряд не сходится абсолютно во всех точках. Действительно, выберем для данного числа х какое-либо натуральное п„так, чтобы х' -. и„. Тогда для всех и= п„будет выполняться неравенство х'=и, а следовательно, и неравенство 1 1 хе+ л 2л чт 1 А так как ряд г -- расходится, то в силу признака сравнения л =1 ряд (36.29) не сходится абсолютно.
Уп р а ж пение 4. Привести пример ряда, который абсолютно сходится во Всех точках некоторого множества, но не сходится на этом множестве равномерно. Ук а з а н не. Полезно вспомнить пример 2 нз п, 36.1, Докажем теперь достаточный признак равномерной сходимости, применимый в отличие от признака Вейерштрасса и к не абсолютно сходящимся рядам. Он напоминает по своей формулировке признак Дирихле для сходимости числовых рядов (см.
п. 35.13) и впервые встречается в работах Харди л, Теорема 6. Пусть дан ряд ~л а„(х) Ь„(х), л=г (36.30) Х Ь.(х) л=г ограничена на множестве Е. Тогда ряд (36.30) равномерно сходится на множестве Е. Доказательство. В силу условия 2 теоремы существует такое В:~ О, что 1Вл(х) ~ «В для всех х ~ Е и всех п=1, 2, ...
и поэтому л-Ь р Ч„Ьа (Х) = / Веер (х) — Вл-т (х)! «! Веер (х) ( + ! Вл т (Х) ) =. 2В для всех х енЕ, всех и= 2, 3, ..., и всех целых р~О. Из условия же 1 теоремы следует, что для любого фиксированного н)0 ' Г. Х а р д н (1677 — 1947) — английский математик. 20 ктлрялаеа л. д. т. 1 в котором функции ал(х) и Ьл(х), п=1, 2, ..., определены на множестве Е и таковы, что 1) последовательность (ал(х)) монотонна при каждом хе= Е и равномерно стремится к нулю на Е; 2) последовательность частичных сумм Вл(х), п=1, 2, ...
ряда б!О б Зб. Функциональные последовательности и ряды существует такой номер п„что для всех хан Е и всех п-.-»п, выполняется неравенство 0 « ~ рл (х) ~ «. - и-. Теперь, применив неравенство Абеля (см. п. 35.13), получим, что ! л+р ~ аь (х) Ьь (х) «= 2В [ / ал (х) ! + 2!а„ьр (х) / ~ ~ в для всех хек Е, всех и~п, и всех пелых р- О. Это и доказывает равномерную сходимость ряда (36.30). ! ) В качестве примера на применение теоремы 6 рассмотрим ряд Согласно теореме 6 этот ряд равномерно сходится на л!обем отрезке 1а, Ь), не содержащем точек вида 2пт, т=О, -1, +-2,...
Действительно, последовательность а„=1/и, п=1, 2, ..., в данном случае является числовой последовательностью, она монотонно убывает и стремится к нулю (а значит, н равномерно стремится к нулю), а суммы ~ з!пйх удовлетворяют неравенству ь+! л 1 1 ь =-! -~ г з!пйх « =- !пах — +оп е!и $!и х ! ь) . х (см. п. 35.13), т.
е. ограничены на любом указанном отрезке. На всяком отрезке, содержащем точки вида х=2йп, рассматриваемый ряд не сходится равномерно. В силу свойств синуса 1 это достаточно доказать для отрезка 1О, и]. Положим хи= — —; тогда для всех й=п+1, и+2,, 2п будем иметь 0(!)х„« и Мисс 2 «1( 2-. Следовательно, в силу неравенства — ) —, 0«.и< «,— (см. (14.1)), получим Отсюда в!п(и+1)хл Мп(и+2)хл + + Мп2пх„! + + 1 1 и+1 п+2 ''' 2п лп ''' ип и' Поэтому ни для какого е(-„- на отрезке 10, п1 не выполняется 1 критерий Коши равномерной сходимости.
36.3. Равномерно сходящиеся рады Заметим, что доказать равномерную сходимость рассматриваемого ряда на отрезке, не содержащем точек вида х= 2йп с помощью признака Вейерштрасса нельзя. Например, для отрезка [-",-, — ~ имеем Поэтому не существует такого сходящегося числового ряда '5, 'а„ и= — 1 с!л ах! Гп Зп1 1 ъ~ 1 что ~ — "~(а„на ~'з, -"--31, ибо тогда а,хя —, а ряд 7 — раси я а=1 ходится. Подобно случаю числовых рядов„ применяя неравенство Абеля, можно получить еще один признак равномерной сходимости функциональных рядов, аналогичный признаку Абеля для числовых рядов. Он также впервые встречается в работах Харди.
Теорема 7. Если 1) последовательность (а„(х)) ограничена на множестве Е: 1а„(х)~~М, хеиЕ, п=-1, 2, и усэывает или возрастает при каждом х ~Е, ю 2) ряд ~~ Ь„(х) равномерно сходится на множесп1ве Е, то и =-1 ряд (Зб.ЗО) также равномерно сходится на Е. Доказательство. Пусть задано е)0. В силу равномерной сходимости ряда ~~ Ь„(х) существует такой номер п„что н=-1 для всех номеров паап„всех целых р---0 и всех точек х енЕ выполняется неравенство Отсюда, в силу неравенства Абеля (см. 35.77) для всех номеров п)пе всех целых р- 0 и всех точек хвнЕ будет справедливо неравенство ~~~~~ а„««(х) Ьн««(х) ( ~' (| а„(х) ! + 2 ~ а„,а (х) !) ~ е.
«=о Согласно критерию Коши, это и означает равномерную сходимость ряда (Зб.30). [) зо* б!2 Э Эб. Функциональные последсеательности и ряды а1п ах соа —- х Пример. Рассмотрим ряд ~ п=2 На любом отрезке, не содержащем точек вида 2лт, т=О, %1 мп лх +.1, ..., ряд р, — согласно теореме 6 равномерно сходится, ,Л2 1и 1п а л=х а последовательность соз — -, н=2, 3, ... ограничена и монотонно а' возрастает начиная с некоторого номера, причем можно выбрать такой номер, что начиная с этого номера эта последовательность будет возрастать во всех точках указанного отрезка.
Поэтому иа отрезке, не содержащем точек вида 2лп1; т= О, -1-1, ..., рас- сматриваемый ряд равномерно сходится. В заключение заметим, что из двух свойств равномерно схо- дящихся последовательностей, доказанных в конце и, 36.2, не- посредственно следует справедливость соответствующих свойств для равномерно сходящихся рядов: 1'. Если ряды ~; ип(х) и ~х'„оп(х) сходятся равномерно на л=.! и= ! множестве Е, то для любых чисел А е= С и )ь я С ряд 'г, )ьи„(х)+)хп„(х) также сходится равномерно на множестве Е.
и=! и» 2'. Если ряд ~ ип(х) равномерно сходится на множестве Е, и=! а с)тункция д(х) ограничена на этом множестве, то ряд '5", д(х) ип(х) также равномерно сходится на Е. л=! Упражнения. Исследовать на сходнмость абсолютную сходимость и равномерную сходимость ряды: 5, ~р ~(1 — х)хп, л=е п=! и» ю е, 8. ~ 1п (1+ха). п=! и=! (везде х — вещественное число) 36Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
