kudryavtsev1a (947413), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

У о р еж пение 1. Построить пример фуннпии, имеющей в некоторой точке беекоаечную производную и разрывную в втой точке. Заметим, что утверждение, обратное теореме 2, неверно, т. е. из непрерывности функции 1 в данной точке не следует ее дифференцируемость или, что равносильно (см. теорему 1), существование производной в этой точке. Приведем примеры, подтверждающие это.

1. Функция 1(х) = ~ х ~, очевидно, непрерывна в точке х = 0 (как и во всех других), но не имеет в этой точке производной. В самом деле, при х= 0 имеем у=~х~ =х, поэтому для точки х,=О получим Ау=Ах. Следовательно, рйй Геометрический смысл приэзодной и дифференциале )Ю 2. Пусть хз)п — при хФО, ! )'(х) ' х 0 при х= О (рис.

29). Тогда в точке х=О имеем Лу=Лхз)п- —, откуда ! Ах ' ~ Лу((|Лх~, и поэтому Игп Лу=О, т. е. рассматриваемая функах о Ад ция непрерывна при х=О. Вместе стем — — =з!и —, и поскольку Ах Ах' 1 з|п — не имеет в точке х= О пре- х дела ни слева, нн справа (см. пример 2 в п. 4.4), то у функции ((х) не существует односторонних производныхх при х=О. Уп р ажн ение 2.

Ввести понятие диффереипнруенос|и функции справа (слева) в данной точке и доказать, что дифференпируеность справа (слева) в данной точке эквивалентна суп|ее|везению в этой точке производной справа (слева). Рис. 29 Если функция ) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка (дифференцируема в каждой точке этого промежутка), то говорят, что функция Г' имеет производную, или что она дпфференцируема, на указанном промежутке.

9.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛА Понятия производной и дифференциала функции в данной точке связаны с понятием касательной к графику функции в этой точке. Чтобы выяснить эту связь, определим прежде всего касательную. Пусть функция у=у(х) определена на интервале (а, Ь) и непрерывна в точке х,~(а, Ь).

Пусть уз=~(хе), М,=(х„у,), хе+ Лх ен (а, Ь), Лу = ~(хе+ Лх) 7(хе) М = (хе+ Лх, уз+ Лу). Проведем секущую М,М (рис. 30). Она имеет уравнение у= и (Лх) (х — хе)+уе (9.8) й(Лх) =- — ". (9.9) Падежем, что при Лх- 0 расстояние ~МеМ! от точки Ма до точки М стремится к нулю (в этом случае говорят, что точка М ВР У 9. Производная и дифференциал 164 стремится к точке М, и пишут М- М,). Действительно, в силу нецрерывности функции 1 при х=х, имеем 1пп Лу=О.

Следова- ь а тельно, прн Лх — «О ! М,М )=1 Лх'+Лу'-«О. Определение 4. Если существует предел Ищ 1»(Лх)=я„то ьх-а прямая, уравнение которой у =да(х — хо)+уо (9.10) получается из уравнения у= я(Лх) (х — хо)+у» при Лх — «О, (рис. 30) называется (наклонной) касательной к графику функции ) в точке (хо уо).

Если 1пп й(Лх) =со, то прямая (рис. 31), уравнение которой ь а х =- хо (9.11) получается при Лх- 0 из уравнения секущей, записатого в виде — = х — хо+ ', называется (вертикальной) касаспельной и Ио й (Лх) й(ьх) ' К гРафикУ фУнкиии 1' в точке (хо, Уо). Рис. зо Рис, И Прямые (9.10) в случае конечного предела !пп я(Лх) и (9.11) Ьк О в случае, когда этот предел бесконечен, называются предельными положениями прямой (9.8). В силу этого данное выше определение касательной к графику функции можно перефразировать следующим образом.

Предельное положение секущей М,М при Лх — «О, или, что то же, при М- М„называктпся касательной к графику функции г в точке М,. Заметим, теперь, что в силу равенства (9.9) существование конечного предела !пп й(Лх) = 1пп — — означает существование лд Ьх 0 ь -а Лх цХ Геометрический смасл производной и дифференциала таз конечной производной )'(хв) =й. Следовательно, если у функции Г' в точке х, существует производная, то уравнение касательной к графику функции в точке (х„)(х,)) имеет вид у=)'(хв) (х — х,)+у„ (9.12) ьд где у, = Г (х,).

Если же 1 ни — ~ = оэ, то, в силу (9. 9), 1 ни й (Лх) = со ьх о Ьх 0 и, следовательно, (см, (9.11)), уравнением касательной будет х = хо Как известно, из аналитической геометрии, коэффициент Р (х„) в уравнении (9.12) равен тангенсу угла (см. рис. 30), который рассматриваемая прямая образует с положительным направлением оси Ох: Г' (хв) = 1н а, т. е. производная функции в некоторой точке равна тангенсу угла между касательной в соответствующей точке графика функции и осью абсцисс.

Рис. а2 Первое слагаемое правой части уравнения (9.12), т. е. выражение Г'(хв)(х — хо)=1'(хв)Лх, Лх=-х — х,, ЯвлЯетсЯ диффеРенциалом с(У функции Г в 'точке х,. Следовательно, в силу равенства (9.12), У вЂ” Ув= с(У~ гле у †текущ ордината касательной. Таким образом, дифференциал функции в данной точке равен приращению орди наты касательной в соответствующей точке графика функции. Замечание. Если в точке х, существует бесконечный предел 1пп — — =со, то он может быть равным +со или — со.

ьр ь ойх В атом случае при х=х, существует бесконечная производная У *=+ос или у'= — со,' и график функции у=)(х) в окрестности точки х, имеет вид, схематически изображенный на рис. 32 н 33. а 9. Производная и дис)креренциал 3бб Возможен также и случай, когда предел 1пп - о- = со не Ьк является бесконечностью определенного знака и, следовательно, в этой точке не существует ни конечной, ни бесконечной производной (это может, например, случиться, если в точке х, существуют односторонние бесконечные производные разного знака).

Тогда в окрестности точки х, график функции имеет вид, схематически показанный на рис. 34 и 35. Рис. Зо Рис. З4 Согласно сказанному выше, при условии 11гп -Д = со в точке ьр ьк о ах (х„)(хо)) всегда существует вертикальная касательная к графику, независимо от того, имеет функция при х =х, бесконечную производную или нет. Возникает вопрос, не естественно ли считать, что функция имеет в данной точке бесконечную производную, если в этой точке существует предел 1пп — = оо, не являющийся обязательно Ьи ьк о Ьк бесконечностью определенного знака.

Такое определение бесконечной производной имело бы некоторые преимущества при формулировке связи между существованием производной и наличием касательной к графику. Однако, как мы увидим в дальнейшем (см. 9 11), ряд теорем перестает быть справедливым при таком понимании бесконечной производной. Пример. Найдем касательную к параболе у=ха в точке (1; 1). Согласно и. 9.1 (см. пример 5), у'=2х, поэтому у'~ я=2. В силу формулы (9.12), искомая касательная имеет уравнение у=2(х — 1)+1, т. е. у=2х — 1. Если функция 1 дифференцируема в точке х„то, подставляя в фореьулу (9,5) А =1' (хе) (см. теорему 1 настоящеко параграфа), имеем ) (х) =уо+~'(хо)(х — х,)+о(х — хо), х х„ 94.

Физический смысл производной и дифференциала Гд7 и, значит, согласно (9.12) (у„„=)'(х,) (х — х,)+у,) получим 1(х) — У„„,=о(х — х,), х — эхе, Таким образом, наклонная касательная к графику функции обла- дает тем свойством, что разность ординат графика и этой каса- тельной есть величина бесконечно малая более высокого порядка, при х — х„по сравнению с приращением аргумента. Обратно, если существует невертикальная прямая уе =А(х — хо)+уа.

(9.13) проходящая через точку (х„у,), и такая, что 1 (х) — упр — — о (х — х,), х — х„ (9. 14) то эта прямая является касательной к графику функции в точке (хе, уа). Действительно, в этом случае 1" (х) — [А(х — хе)+уа] =о(х — х,), т. е. Лу=1(х) — у,= А (х — х,)+о(х — х,), х-и ха, следовательно, функция г днфференцируема в точке х, (см. (9.2)) и А=1'(ха) (см. теорему 1), т. е. указанная прямая совпадает с касательной (9.12). Таким образом, условие (9.14) необходимо и дсйтаточно для того, чтобы прямая (9А 3) являлась наклонной касательной к графику функции ~(х) в точке (х„уе). Отсюда, в частности, следует, что если существует прямая (9.13), обладающая свойством (9.14), то она единственна (последнее вытекает, например, из того, что дифференциал функции единственен, или из того, что касательная И графику функции в данной точке единственна.

Характеристики

Список файлов книги