kudryavtsev1a (947413), страница 31
Текст из файла (страница 31)
!1еирерывноеть элементарных функций следовательно, для всех Лх, удовлетворяющих условию ! Лх!(б, справедливо неравенство ~ бр ~ =а» ~ аь» — 1)(е, что и означает непрерывность функции а» в точке х. Доказательство свойства 3'. Пусть сначала у=р— целое положительное число; тогда применив р раз свойство 2', получим И рии (7.13) (а»)иге — [(а»)е)ие =(ахр)ие а»и7е. Если же у= — -- то р (ах) — же =- = — = а- рм. 1 1 (ах)же а»рГе Наконец, очевидно, что (а')'= 1 =а'.
Таким образом доказано, что для любого действительного х и любого рационального г (ах)г = цхг. (7.14) Пусть теперь задано еще одно действительное число у. Рассмотрим произвольную последовательность (ги) рациональных чисел, сходящуюся к у. Тогда в силу (7.14) для всех и =1, 2, ... будем иметь (а»)'и = а»'и. (7.15) Поскольку 1пп хги =ху, то согласно доказанной выше непреи с» рывности функции а» !пп а"и=а»е. и и» (7.16) С другой стороны, в силу определения показательной функции (Гтх) и — (а»)В (7.17) Переходя к пределу в равенстве (7.15) при и-+ со, из (7.16) и (7.17) получим рассматриваемое свойство для любых х, у ен А'. ( ! I а 1» а» Уп режи е ни е 1.
Доказать, что (аЬ)»=а"Ь» и. (-- ! = —: для лю- ' (,Ь)' Ь' бык а)0, Ь)0 я каждого »гни. Пусть„далее, у= —, где д — целое положительное число. По- 1 а кажем, что (а')не=а»ге, т. е. что аже является корнем д-й степени из числа а». Для етого, согласно определению корня, надо »" '~е доказать, что га е 7' =а."; зто следует из равенства (7.13). Пусть теперь у= †, р и г7 натуральные, тогда, согласно уже р доказанному, 7.2.
Показательная, логари4ническая и стелонния Функции 137 Пусть а — положительное число, неравное единице. Из элемен- тарной математики известно, что операция, обратная возведению в степень и ставящая в соответствие данному числу х)0 такое число у, что а" =х (если, конечно, указанное у существует), называется логарифмированием по основанию а. Число у назы- вается логарифмом числа х по основанию а и обозначается через !од,х.
Таким образом по определению а"ео" = х (а ) О, а ~ 1). При а=в логарифм числа х обозначается 1пх и называется натуральным логарифмом числа х. Определение 3. Функиия, ставящая в соответствие каждому числу х его логарифм 1оя,х по основанию а (а О, а~1), если этот логарифм существует, называется логарифмическойфункцией у= 1ои,х. Теорема 4. Функция у=(ой,х, а)0, а~1, определена для всех х 0 и является на этом множестве строго монотонной (возрастающей при а) 1 и убывающей при а(1) непрерывной функцией. Она имеет следующие свойства: 1') !одохьхз=!орох!+!прокис х!)О, хз 0; 2') 1ои, х" = а!оя, х, х ) О, и е= !к.
Доказательство. Надо прежде всего доказать, что мно- жеством значений функции у=а" является множество всех поло- жительных чисел. При а) 1 в силу непрерывности и строго моно- тонного возрастания функции у =ил это означает (см. п. 4.8), что 1!пт а =+со, !ип аз=О. (7.18) К +со к -со При этом, поскольку пределы (7.18) (конечные или бесконеч- ные) существуют (см. п.
4.10), достаточно доказать, что 1!гп ил=+ оо ('соответствевно !пп а" =0) хотя бы для одной л со л оо последовательности (х„), которая стремится к + со (соответственно к — со). Покажем, что прн а) 1 !пп ал=+со, 1пп а-л=О. (7.19) с! +о! л Ч-со Так как а=а — 1)0, то, раскладывая (1+а)л по биномиальной формуле Ньютона и отбрасывая все члены (которые положи- тельны), кроме первых двух, получаем ал=(1+а)к=1+па+"" аз+...)па, 2 (ср. с леммой п. З.у) и, следовательно, 1нп а'=+ со; отсюда л со 1пп а-л= .
„=О. 1 1ип ил л +со Таким образом, равенства (7.19) доказаны. Э .7, Непрерыекоеть экенекге1кснк функнеса Если теперь а(1, то д=--) 1 н !ПП ак= 1!т — „. = .,=О, 1!П! ак= . =-!-СО. 1 1 1 Ьк 1'пп Ьк — к - — » 1пп Ьк к +се к — со Из доказанного следует (см. п. 6.3 и теорему 4 этого параграфа), что как в случае а) 1, так и в случае а(! множеством значений функции а", а значит, и областью определения обратной функции у=!од,х является полупрямая (О, -!-со). Этим, в частности, доказано существование логарифма любого положительного числа. Остальные утверждения теоремы 4 непосредственно следуют из теоремы 4 и.
6.3 и теоремы 3 настоящего параграфа. Например, покажем, как свойство 1' вытекает из свойств показательной функции, указанных в теореме 3. Положим У,=1ойехэ, Уэ=!ой,хм согласно определению логарифма это означает, что х,=аеч хг=аэ. Отсюда (см. свойство 1' показательной функции в теореме 3) имеем хкхе = аэ аэс = ае + е, н, следовательно, снова по определению лвгарифма, 1ой х,х,=у +у,=)ой,х,+1оя,х. Д Определение 4.
Пусть задано действипмльное число а. 'Функция х', определенная для всех х) О, называется степенввй функцией с показателем а. Теорема 5. Степенная функция х непрерывна при всех х)0. Действительно, из определения логарифма имеем х = е'"", а поэтому х" =е" '", т. е. х" есть композиция показательной функции е" и логарифмической функции, умноженной на постоянную: и = а!п х.
Показательная и логарифмическая функции непрерывны (см. теоремы 3 и 4), поэтому в силу теоремы о непрерывности композиции непрерывных функций (см. п. 5.2) функция х~ также непрерывна. Д Прн рассмотрении функции у=х предполагалось, что х)0, так как при х(0 выражение х" имеет смысл не для всех а в области действительных чисел. Однако если а рационально 1 с и х" имеет смысл при х(0 (например, х', †,, зс.х), то функция у= х" будет при а) 0 непрерывной на всей действительной оси, а при а ( Π— на всей действительной оси, кроме точки х= О. При х чьО это непосредственно следует из теоремы 5, так как функция у =х", если она определена и для всех х ( О, будет 7.З.
Тригонометрические и обратные тригонометрические функции ИЭ всегда четной или нечетной, а если четная или нечетная функция непрерывна при х~О, то она непрерывна и при х(0 (почему?). Если же в точке х=О четная или нечетная функция непрерывна справа и равна нулю, то она просто непрерывна в этой точке (почему?). Этот случай имеет место при а) 0 Иш х"=0=0, к ц-О нбо х"=в""к и (см; теорему 4) Иьп 'тих= — со, поэтому вэтом к- +О случае функция х" непрерывна и при х=О.
тм. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Перейдем к вопросу о непрерывности тригонометрических функций. При этом не будрм приводить. строгих аналитических определений этих функций (как это было сделано выше с показательной функцией); а используем их геометрическое определение, известное из элементарной математики. Всюду в дальнейшем х †действительное число, а под з1пх, созх, (дх, с(дх будем подразумевать значение х с А соответствующей тригонометрическая функции от угла, радианная мера ко- у торого равна х, Лемма 3. При любом действивтвльном х справедливо неравенство ~ э1п х ( ( ('х (. Доказа.тельство.
Рассмотрим окружность радиуса В с центром в точке О. Пусть радиус ОВ образует угол х, 0(х» — ', с радиусом ОА, а радиус ОВх симметричен радиусу ОВ относительно ОА (рис. 27). Опустим из точки В перпендикуляр ВС на радиус ОА. Тогда ВС=тгвтпх, и так как ВС=СВ„будем иметь ВВ,=2)гз1пх. Как известно, длина дуги ВАВ, равна 2Вх. Длина отрезка, соединяющего две точки, не превышает длины дуги окружности, соединяющей те же точки, значит, 2Ю1пх==2йх, т.
е. з1пх-=.х. Если теперь — — ~х (О, то О < — х (--, и поэтому, в силу доказанного, з(п( — х)( — х, ио в этом случае з1п( — х)=1з!пх~ и — х =(х(, следовательно, ~ з1пх ~ == ~ х!. Таким образом, если 1х)(-'2-, то ~ з1пх(=-(х). Если же ~х!:ы-""-, то ) з(пх(~1( — ( :~~а Э В. Сравнение фунхиай. Вычисление пределов гво Теорема 6. Функции у=а!пх, у=созх неггрерывны на всей действительной оси.
Следствие. Функции гг=-1йх и у=-с1дх неггрерывны при всех х, при которых сок х, соопгвепюпгвенно з)ох, не обращаются в ноль. Доказательство. Так как !з!пгх!(1, !созех]==1 прп ах! 1 любом и и в силу леммы ~ а!п ' — ] = ~ Ах !, то ]гоп(х+Ах) — згпх) - 2~гни -- ~] соз(х+ — !)в=]Ах!о г Лх! . 1 Лхг! ]сов(к+Ах) — созх! -2]зггг — ~ юп х+-2-)] ]Ах!. Отсюда следует, что при Ах«0 левые части неравенства также стремятся к нулю.
Это и означает непрерывность функций агах и сов х. сое к сое х Непрерывность 1ях=- —.' и с1йх=- —. в точках, в которых мпх '" Ипх знаменатели не обращаются в ноль, следует из непрерывности з!гг х и соз х и теоремы о частном непрерывных функций (см. п. 5. 2). Теорема 7. Обрапгные пгригоноиетринеские функции агсв!их, агссоах, агс1нх и агсс(цх неггрерывны в области их определения. Это сразу следует пз теорем 8 и 4 в 5 6 и из непрерывности и строгой монотонности функций з)ох на отрезке [ — пг2, и!2], созх на отрезке [О, и], 1ях на интервале ( — п12, п)2) и с(дх на интервале (О, и). $8. СРАВНЕНИЕ ФУНКЦИЙ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
