kudryavtsev1a (947413), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Сформулировать в позитивном смысле определение точки разрыва функции. Определение 3. Если хо — точка разрыва функции 1" и суи(ест- вуют конечные предела )(хо — 0)= !пп 1(х) и )(хо+0)= !пп Г(х), х хт — О х х,+О то точка хо называется точкой разрыва первого рода. Величина 1'(хо+ 0) — 1(хо — 0) называется скачком функции )' в точке хо. Если 1'(хо — 0) = !'(хо+ 0), тв хо называется точкой устранимого разрыва. Последнее оправдано тем, что если в этом случае видоизме- нить или доопределить (если функция 1 была не определена в точке х,) функцию 1, положив ) (х,) = !пп )'(х) = 1пп )'(х), х хюео х х,— О то получится непрерывная в точке х, функция. Пв Д2.
Свойства функций, непрерывных в точке Точка разрыва функции 1, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода. Очевидно, что в точках разрыва второго рода по крайней мере один из пределов 1пп 7" (х) и 1пп 7' (х) не существует. х к,+в х к,— 0 (Здесь под пределом, как обычно, понимается лишь конечный предел.) У п р а ж и е н и е аг. Сформулировать в позитивном смысле определение точки разрыва второго рода. Функция !' (х) =- з(йп х (см. рис. 16) имеет в точке х, = 0 разрыв первого рода, а функции 7(х)= — и 1(х)=з(п — - в точке х,=О ! .
1 имеют разрывы второго рода. Всякая функция, монотонная на некотооом интервале, может иметь только точки разрыва первого рода (см. следствие теоремы 5 п. 4.10). Определение 4. Пусть функция 1' определена на левоспюронней окрестности !почки х,, т. е, на полуинтерволе вида (а, ха]. Функция 7 называется непрерывной слева в точке х„если 1пп [(х)= /'(ха). к х,— О Пусть функция !" определена на правосторонней окрестности точки х„т. е. на полуинтерволе вида [ха, Ь). Функция !' называется непрерызной справа в точке х„ если 1пп 1 (х) =1(х,).
а х к«+а -т П р и м е р. Рассмотрим функцию, определенную на всей числовой оси и для каждого числа х равную наибольшему целому числу, меньшему или равному х. Эта функция имеет специальное обозначение у=[х), читается «у является целой частью числа х» или «у равно еп1!егх*'». Ее график изображен на рис. 20. Функция и в точках х=п, п=-О, +.1, +.2, ... непоерывна справа и разрывна слева;. во всех же других точках она непрерывна как справа, так и слева, таким образом, в частности, [х] непрерывна справа во всех точках. 5.2. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ Теорема 1.
Если функции 1 и д непрерывны в точке х„то функции с!' (с — постоянное), 7+у, [д, а если, кроме того, у(х,) ~0, то и функция [)у также непрерывны в точке х,. Эта теорема вытекает непосредственно из определения непрерывности и свойств пределов функций (см. п. 4.7). Докажем, например, непрерывность функции !д. Согласно свойству (4.16), х' Епг!ег — целый (франц.). Э 5. Неорернвноеть функции е точке х20 1!гп )'(х)у(х) = 11щ 1(х) !пп у(х) =7(хе)д(хв) (5.10) х хь х хч ибо пределы !пи 1(х) и !пп у(х) существуют ив силу непрерывх х, х х, ности р и д в точке х, равны соответственно ~(хе) и д(хе). Выполнение равенства (5.10) и означает наличие непрерывности функции )д в точке х,.
[ ) Теорема 2. Пусть функция у=тр(х) непрерывна в лючке х„ а функция !" (у) непрерывна в точке уе=ф(х,), тогда сложная функция !" [тр(х)! непрерывна в точке х,. Короче, но менее точно: непрерывная функция от непрерывной функции является непрерывной функцией. Следует обратить внимание на то, что в теореме утверждается непрерывность сложной функции Цтр(х)! в точке х„а поскольку непрерывность функции в некоторой точке предполагает согласно определению 1 нз п. 5.1, что функция определена в какои-то окрестности этой точки, то в теореме тем самым утверждается также, что функция ) [~р (х)! при сделанных предположениях определена в некоторой окрест- Ф4 ности точки хе.
Локазательство. Пусть г,= Ри. 2Г =)(уь) н фиксирована произвольным образом окрестность (х'(ге) точки г,. Тогда в силу непрерывности функции ! в точке у, существует такая окрестность 1/(уе) точки у„что, если (5.11) у~ у(уь) то функция р определена в этой точке у и Р(у) ен(у(г) (5.12) Лалее, для полученной окрестности у(у,) в силу непрерыв- ности функции тр в точке х, существует такая окрестность Ф"(хе), что, если хен)й'(хв), то функция тр определена в этой точке х и Ф (х) е- =у (уь). Следовательно, для этой точки определена и функция Цр(х)), причем выполняется включение (5.11), где у = ~р (х), а значит и (5.12), которое для рассматриваемого случая имеет вид 7[~р(х)! еп (х'(г,) (рис.
21). Это и означает непрерывность сложной функции ) Ч в точке х„. Д Утверждение теоремы можно записать в виде формулы )пп ! [Ч (х)1=~[!пп <р(х)1, (5.13) х- х, ~х хч 6.1. Ограниченность. Достижение зкстремальных значений 121 из которой видно, что операция предельного перехода пгрестановочна с операцией взятия непрерывной функции. В самом деле, левая часть равенства (5.1З) равна 1[ф(ха)] согласно утверждению теоремы, правая часть также равна1[йг(х,)] в силу непрерывности функции лр(х) в точке х,. При отыскании пределов непрерывных функций теорему 2 удобно использовать еще в одном виде, в виде следующего правила.
Пр авила замены переменной для пределов непрерывных функций: пусть функция у=тр(х) непрерывна в точке хсь а фУнкциЯ 1(У) непРеРывна в точке У,= Цг(ха), тогДа ! г гп 1 [гр (х) ] = ! ! гп ) (у), у = гр ( к). х к, Теорема 2 естественным образом переносится и на случай односторонней непрерывности (сформулируйте ее в этом случае). У п р а ж н е н и я. 6. Доказать, что если для функции х = Чг (1) сушествует предел !(та гр(1) =ха, а функция у=)(х) непрерывна в точке хь, то в некоторой с проколотой окрестности точки 1„имеет смысл композиция ! (ср (1)) и сушествует !пп ! !ф(1В=-)(хь). 1-г.
7. Сформулировать и доказать правила замены переменных для односто. ранних пределов функций. $6. СВОЙСТВА НКПРКРЫВНЫХ ФУНКЦИИ 6Д. ОГРАНИЧЕННОСТЬ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ. ДОСТИЖЕНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИИ Определение 1. Функция, определенная на отрезке [а, Ь] и непрерывная в каждой его точке, называется непрерывной на этом отрезке. При этом под непрерывностью в точке а понимается непрерывность справа, а под непрерывностью в точке Ь вЂ” непрерывность слева. Аналогично определяется и непрерывность функции на про. межутке любого другого вида.
Будем говорить, что функция 1, определенная на множестве Е, достигает на нем своей верхней (нижней) грани р=зпр) Е (гх=- (п11), если сУществУет такаЯ точка хаен Е, что 1(ха)=Р Е (1 (х.) =с). Теорема 1 (Вейерштрасс). Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своей верхней грани и своей нижней грани. 122 у 6.
Свойства ненрервевнмх функций Доказательство. Пусть функция )' непрерывна на отрезке [а, Ь1 и пусть М= зпр 1(х); а<к<О М, как и всякая верхняя грань непустого множества чисел, может быть либо конечной, либо бесконечной, равной + оо. Покажем, что М с.+со и что существует такая точка х, ~ [а, Ь1, что 1 (х,) = М, Выберем какую-либо последовательность таких чисел а„, и = = 1, 2, ..., что !пп а„=М, а„(М, п=1, 2, .... Согласно определению верхней грани функции, для каждого а„, п=1, 2, ..., существует такая точка х„ен[а, Ь), что 7" (х„) ) а„, и = 1, 2, ....
(б. 2) С другой стороны, поскольку М вЂ” верхняя грань функции г, то для всех точек х ~ [а, Ь1 справедливо неравенство )'(х) =М. (6.3) Последовательность (х„) ограничена: а( х„ ~ Ь, и =- 1, 2, ..., поэтому по теореме Вольпано — Вейерштрасса (см. п.3.6) из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность [х„~Д 1пп х„=х,. (6.4) Поскольку а -х, =Ь, Й= 1, 2, ..., то (почему?) и а~хе =Ь.
Из неравенств (6.2) и (6.3) следует, что для всех й=1, 2, ... справедливы неравенства а„„ =' 1(х, ) а-- М. (6.5) Предел всякой подпоследовательности последовательности, имеющей конечный или бесконечный предел, равен пределу всей последовательности; поэтому из (6.1) имеем 11пг ав =М. Переходя в (6.5) к пределу при й-всо, получаем 1пп )(хн„) = М. (6.6) С другой стороны, в силу непрерывности функции гна отрезке [а, Ь1 она непрерывна в точке х, этого отрезка и, следовательно, из (6.4) следует, что !!го 7 (хвн) = е (хе) (6.7) Из (6.6) и (6.7) получаем М = ) (хе). б.2 Промежуточные значения неорерыеных 4ункциа т'23 Таким образом, доказано, что верхняя грань М функции [ совпадает со значением функции в точке х„и, следовательно, конечна, Тем самым функция р ограничена сверху и ее верхняя грань достигается в точке х,в= [а, Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
