kudryavtsev1a (947413), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Аналогично доказывается, что непрерывная на отрезке функция ограничена снизу и достигает на нем своей нижней грани. [ ] Теорема, аналогичная теореме .1, несп аве лина ля ппомег жутков, не являющихся отрезками; в этом легко убедиться, построив соответствующие примеры. Например, функция у=1/х непрерывна в каждой точке интервала (О; 1) и вместе с тем неограничена на нем; функция у=х непрерывна на всей вещественной оси и неограничена на ней.
Отметим еще, что если функция [ непрерывна не на отрезке, а на промежутке другого типа и даже, кроме того, ограничена на нем„она, вообще говоря, не имеет наибольшего и наименьшего значения. Например, функции у.=х на интервале (О; 1) и у= =-агс1ях на всей вещественной прямой, хотя они непрерывны (непрерывность функции у=агс1ях будет доказана в п. 7.3) и ограничены в указанных промежутках, не достигают своих верхних и нижних граней. У п р а ж н е ни е 1.
Пусть функция [ определена и непрерывна на отрезке [а, Ь] н ((х) ) О для всех,к ~ [а, Ь]. Тогда существует такое с) О, что 1(х))с для всех х ен[а, Ь]. 62. ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ Теорема 2 (Больцаио — Коши). Если 4ункиия [ непрерывна на отрезке [а, Ь] и [(а) = А, [(Ь) = В, то для любого С, заключенного между А и В, существует такая точка ~~[а, Ь], что [(в)=С. Иначе говоря, непрерывная на отрезке 4ункция, принимая какие-либо два значения„принимает и любое лежащее между ними значение.
Доказательство. Пусть для определенности [(а)=А( (В=[(Ь) и А(С(В. Разделим отрезок [а, Ь] точкой х, на два равных по длине отрезка, тогда либо [(хе)=С и, значит, ИСКОМая тОЧКа 5=ХЕ НайдЕНа, ЛИбО Г" (Хе)ФС, И тОГда На КОНцаХ одного из полученных отрезков функция [ принимает значения, лежащие по разные стороны от числа С, точнее — на левом конце значение, меньшее С, на правом — большее. Обозначим этот отрезок [а,, Ьз] и разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.
д. В результате либо через конечное число шагов придем к искомой точке с, в которой [Я) =С, либо получим последовательность вложенных отрезков [а„, Ь„], по длине стремящихся к нулю и таких, что э 6. Свойства непрерывных функций Пусть $ — общая точка всех отрезков [а„, Ь„], п=1, 2, ... (см. п. 2,!О!. Как мы знаем (см. (3.9)), $=!!щ а„= 1нн Ь„. в о» и о» Поэтому в силу непрерывности функции ! [(с) = ! пп !'(а„) = Игл !' (Ь,).
(6.9) Из (6.8) же получим (см. п. 3.3) !!щ [(а„) ~С== Игп ! (Ь„). (6.10) Из (6.9) и (6.10) следует, что [Д) =С. П Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке суи!ествует хотя бы одна точка, в которой функция обраиуается в ноль. Это следствие — частный случай теоремы (рис.
22). Следствие 2. Пусть функция !' непрерывна на отрезке [а, Ь1 и М =эцр1, т= !и!!'. Тогда функция [ принимает все значения из отрезка [т, М! и пюлько эти значения, ~!в! Для доказательства заметим, что если а М = энр ~, т= !п1 1, то т=-!(х) — М !в, ь! !а. ь! 3 и, согласно теореме 1, существуют такие точки а в=[а, Ь1 и 6 я[а, Ь), что !(а)=т, 1(р) =- М. Теперь рассматриваемое следствие непосредственно вытекает из теоремы 2, примененной к отрезку [а, Я, если а~6, или соответственно к отрезку [р, а), если р<а. Таким образом, мнолсество всех значений функции, заданной и непрерывной но некотором отрезке, представляет собой также отрезок.
Отметим, что свойство непрерывных функций принимать все промежуточные значения справедливо для любого промежутка (конечного или бесконечного). Именно: если непрерывная на некотором промежутке функция принимает в двух его точках а и Ь, причем а ( Ь, два каких-то значения, то она принимает и любое промежуточное. В самом деле, согласно теореме 2, рассматриваемая функция заведомо принимает указанное значение в некоторой точке отрезка [а, Ь1, который является частью исходного промежутка. Замечание. Как в теореме 1, так и в теореме 2 бьиец доказано существование точки на данном отрезке, в которой значение рассматриваемой непрерывной функции обладает определенным свойством (в первой теореме в этой точке достигается экстремальное значение, во второй — принимается заданное промежуточное значение).. Однако между методами, примененными б.З. Обратные функции для доказательства этих утверждений, имеется принципиальное различие.
Метод доказательства теоремы 2 дает возможность не только доказать в общем случае существование указанной точки, но и фактически найти ее с любой заданной степенью точности для каждой конкретной функции: нужно разделить отрезок, на котором ищется точка, достаточное число раз пополам, выбирая каждый раз половину согласно правилу, указанному при доказательстве; концы получившегося отрезка и будут приближенными значениями указанной точки. Метод же доказательства теоремы ! не позволяет указать способ, с помощью которого для каждой непрерывной на отрезке функции можно было бы найти точки, в которых она принимает экстремальные значения. Это обусловлено тем, что доказательство этой теоремы основано на теореме Больцано — Вейерштрасса, утверждающей лишь в о з м о ж н о ст ь выделения из каждой ограниченной последовательности сходящейся подпоследовательиости.
Конкретного метода, илн, как это принято говорить, алгоритма, для выделения-нз любой ограниченной последовательности сходящейся подпоследовательности не существует. Заметим еще, что при использовании какого-либо алгоритма на практике важно, как быстро он приводит к цели. С этой точки зрения при приближенном решении уравнения 7(х)=0 обычно применяется не метод последовательного деления отрезка пополам, а другие алгоритмы, быстрее приводящие к цели (см. Добавление в конце второго тома, 2 60). Задача 6.
Доказать, что периодическая непрерывная на всей числовой оси функция, отличная от постоянной, имеет наименьший период. Привести пример периодической функции, определенной на всей числовой оси и отличной от постоянной, которая не имеет наименьшего периода, 6.3. ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ Определение 2. Функция )'', определенная на числовом множестве Е, натююается строго возрастающей (строго убывающей), если для любых двух чисел хг яЕ и х, я Е таких, что хг<х, выполнлеЯея неравенство ((ха) ( ! (х,) (соответственно ) (х,) ) ! (х,)).
Функция, строго возрастающая или строго убывающая, называется строго монотонной. Если функция является строго возрастающей (убывающей) на множестве Е, то будем также говорить, что она строго возрастает (убвгвает) на этом множестве. Очевидно, что строго монотонная (возрастающая, убывающая) функция является и просто монотонной (соответственно возрастающей, убывающей) функцией в смысле определения 9 из п. 4,10. Леьгма 1.
!густь функцич Г строго возраапает (' убывает) на некотором множестве' Х ~ ег'и пусть )г' — множество ее значений. 12б Э б. Свойства непрерывках функций Тогда обратная функция Г-' (см. п. 1.2*) является однозначной строго возрастшощей (убывакнцей) функцией на множестве У. Доказательство. Пусть для определенности функции ( строго возрастает на множестве Х. Докажем, что обратная функция однозначна.
Допустим противное. Пусть существует такая точка у е= У, что множество Гт(у) содержит по крайней мере две различных точки хт и х,: х,я~ '(у) и х, е:— )-'(у), х,чих,, и, следовательно, г'(х,) = ) (х,). (6.11) Для двух чисел х, и х.„х,~хе справедливо одно из двух неравенств: х,(х, или х,,-. х.,; в первом случае в силу строгого монотонного возрастания функции Г" имеем ) (х,) (((хв), а во втоРом г'(х,))((хв), т. е. в обоих слУчаЯх Равенство (6.11) не выполняется. Таким образом, для каждого у ~ У множества Г-'(у) состоит в точности из одной точки, т. е. функция 1-' однозначна. Докажем теперь, что функция Г-' строго возрастает на множестве У.
Пусть у, < уе, у, е- =У, у, я У (6. 12) и пусть х,=) '(у,), хв'=) '(у,). Следовательно, ут=) (хс), у =)(х,). Для любых двух чисел х, и х, справедливо одно из трех соотношений: либо х,)хо либо х,=х„либо х,(х,. Если х,~хе или х„=х„то соответственно было бы у,у, (в силу строго монотонного возрастания функции 1) или у,=у, (в силу однозначности), что противоречило бы неравенству (6.12).
Таким образом, из неравенства (6.12) следует, что х, .".х„а это н означает строгое возрастание функции 1-' на множестве У. В случае строго убывающей на множестве функции г доказательство можно либо провести аналогичным образом, либо свести к уже рассмотренному случаю рассмотрением функции — 1, ибо когда функция 1 строго убывает на множестве Х, функция — 1 строго возрастает на этом множестве. [ ) Теорема 3. Пусть 4ункция 1 определена, строго возрастает (убывает) и непрерывна на отрезке [а, Ь1, тогда обратная 4ункция 1-' определена, однозначна, строго возрастает (убывает) и непрерывна на оп|резке с концами в точках Г(а) и [(Ь) (рис.23).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
