kudryavtsev1a (947413), страница 23
Текст из файла (страница 23)
До к аз атель ство. Необходимость сформулированного условия для существования предела функции содержится в самом определении этого понятия (см. определение 2). Достаточность. Пусть функция 1 определена в проколотой окрестности (»'(хе) точки х,, н пусть для любой последовательности х„енб(хе), !пп х„=х„последовательность Г(х„), и.= и = 1, 2, ..., сходится.
Рассхсотри м две последовательности х„'ен(.с(х„) и х,", енО(х,), п=-!, 2, ..., !йпх' =!пп х„"=х„, Тогда н-о» н»» последовательность хй, если и = 2й — 1, хл— хй, если п —.— 2я, й=1, 2, ... также сходится к точке х„х енсС(хе), п=!, 2...,. Согласно предположению существуют пределы 1пп ) (х„'), 1!гп Г (х„) и 101 4.5. Второе определение предела функции 1пп ) (х„), причем последовательности (1(х„')) и (((х„')) являются л ее подпоследовательностями последовательности (1(х„)).
Заметим теперь, что если у некоторой последовательности имеется предел, то любая ее подпоследовательность имеет тот же предел, поэтому !пп 1(х,',) = 1пп 1(х„), 1!гп 1(х„") = 1!гп !" (х„); откуда 1нп 1(х„') = — 1!пг)(х„"). Таким образом, пределы последовательностей (1(хи)), где х„~0(хо), п=1, 2, ..., и !пп х„=х„не зависят от выбора о э последовательности (х„). Обозначая нх общее значение через А, согласно определению 2 будем иметь: !пп !" (х) = А. ( ) к к Доказанная лемма естественным образом переносится и на случай односторонних пределов.
4.5. ВТОРОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИЙ Существует другое определение предела функции, не использующее понятия предела последовательности и называемое определением предела по Коши. Определение 4. Число А назывпется пределом функции! в точке х,, если для любого е»О сущесшоуеггг такое 6) О, что для всех х, удовлетворяющих условию )х хог 6, хФхе, (4.6) выполняется неровенстсо !1(х) — А ! (е. (4,4) Предел функции в смысле определения Коши также обозначается !нп )' (х).
к ке Используя логические символы, определение 4 можно записать в виде 1!ш ~ (х) = А с=о к к, лег с">( чге ) 0) (':-!6 > 0) ( чгх Ф х„! х — х,' ,С 6) г ! ! (х) — А ! < е. (45) Вспоминая, что множество точек х, удовлетворяющих условию (4.3), называется проколотой окрестностью сг(хо, 6) точки х„ гог э 4. Функции и чх пределы а множество точек у, удовлетворяющих неравенству !у — А((а, называется просто окрестностью У(А, а) точка А, определение 4 можно перефразировать следующим образом. Число А называется пределом функции ) в точке х„если для любой окрестности У(А, е) точки А суоцествует такая проколотая окрестность У(хо, 6) точки х„что (рис.
17) ) (У(х„б)) с (У(А, в). (4.6) Теорема 1. Определения 2 и 4 предела функции в данной точке равносильны. Доказательство. 1. Пусть А=)пп г" (х) в смысле опреде- х х, ления 2. Тогда функция ) определена в некоторой проколотой окрестности ()(хол 6) точки х, и для любой последовательности хл ен У(хм б), А"е и =1, 2, ..., 1ип хл-х„имеет место л со 1(гпг" (х„) =А. Покажем, что выполняется - А-о л со и условие, стоящее в правой части формулы (4.5). Допустим, это не так, т. е. что (Лео .» О) (со 6 > О) ((хо ~ х„ ! хо — хо ! ( 6): ! Р (хо) — А !» е. (4.7) Иначе говоря, найдется такое ео»0, что для любого 6= О, а значит, в частности, и для любого б, 0(6(бо, существует такое хо (индекс б у х подчеркивает зависимость х от выбора 6; ничего, конечно, не изменится, если индекс 6 не писать), что для него !хо — х,! «6 и выполняется неравенство ()(хо)-А!»..
(4.8) Будем последовательно выбирать 6=--, п=1, 2, ..., а соот- бо ветствующие хо обозначать просто через х„: !хл — хо!(-„-', х„~хо п=1, 2, ..., (4.9) следовательно, в силу (4.8) ! А" (хл) — А !» ео. (4.10) Очевидно, что из (4.9) вытекает, что х„ен()(х„б,) и 11гпхллл л»со =хсл однако из условия (4.10) явствует, что число А не может быть пределом последовательности (1(хл)). Это противоречит определению 2 предела функции. Полученное противоречие доказывает сделанное утверждение.
( ! Е.Б. Второе определение предела функции 2. Пусть теперь А=1пп )(х) в смысле определения 4 прел кт дела функции. Покажем, что тогда функция р' прежде всего опре- делена в некоторой проколотой окрестности точки хо. В самом деле, возьмем, например, в= 1. Для него согласно определению 4 существует такое 6,-»0, что для всех хФх„!х — хо~ <ба выпол- няется условие !~(х) — А! <1 и, следовательно, в частности для всех таких значений х определена функция 1. Таким образом, функция ! заведомо определена в проколотой окрестности У(х„бо).
Возьмем х„с=У(хо бо), п=1, 2, ..., (4. 12) Игп х„= хо. и и Покажем, что если функция 1 удовлетворяет условиям определения 4, то 1пп !'(х„)= А. (4.13) Проверим это. Зададим произвольно е)0 и выберем для него 6- О, которое удовлетворяет условиям (4.3) — (4.4). Для этого 6 в силу условия (4.!2) найдется такое п,~Ф, что для всех и ) п„п е- =М, будет выполняться неравенство 1х„— х,!<6. Из условия же (4.1!) следует, что для всех п~М: х„~хо. Поэтому в силу (4.4) для всех п--п, справедливо неравенство !1„ (х) — А ! < е. Это и означает выполнение условия (4.13).
( ) Предел функции, как было отмечено в и. 4.4, является локальным свойством функции в том смысле, что его существование для функции в данной точке, а если он существует, то и его значение не зависит от сужения функции на сколь угодно малой проколотой окрестности рассматриваемой точки. Это хорошо также видно и из определения 4: если задать произвольное 6, ) 0 и добавить в указанное определение дополнительное условие 6< 6,, то получится равносильное исходному определение, так как если условия (4.3) — (4.4) выполняются для некоторого 6'- О, то они выполняются я для всех меньших положительных 6.
Для односторонних пределов функции в точке также можно дать новое определение. Определение 5. Лусть функция )(х) определена на интервале (а, х,) (соответственно на интервале (хо, 6)). Число В называелкя пределом слева (справа) функции ) (х) в тоисе х,, если для любого числа е 0 суи1ествует такое число 6=.6(е))0, что для всех точек х, удовлетеоряюсцих условию х, — 6 < х < хо (соопитетгтвенно условию хо<х<хо+6), выполняется неравенство ~~(х) — В', = е. Совершенно аналогично теореме 1 доказывается, что это определение эквивалентно исходному (см. определение 3 в и.
4.4), хдй Э е. Фуикции и их пределы Связь между односторонними пределами и, двусторонним пределом устанавливается следующей теоремой. Теорема 2. Функция !' имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы как справа, так и слева и они равны. В этом случае их общее значение и является двусторонним пределом функции !' в точке х,. Доказательство. В самом деле, пусть 1нп Г" (х) =А. Тогда, х хе согласно определению предела функции в точке х„зто означает, что для любого числа О~О существует такое число 6)0, что для всех точек х, удовлетворяющих условию !х — хе!<6, к~хе, выполняется неравенство (г(х) — А!<е. Тем самым, как для точек х таких, что х,— 6<к<к„так и таких, что хе<х< <х,+6, справедливо неравенство !1(х) — А!<в.
А это, согласно определению 5, и означает, что число А является как пределом функции ) слева, так и ее пределом справа в точке х,: А = 1пп Г (х) =- 1пп 1(х) (4.14) х х,— О х х-,'-О (обозначения см. в определении 3 в п. 4.4). Обратно, пусть выполнены условия (4.14). Согласно определени1о предела функции слева и справа, отсюда следует, что для всякого е->О существуют такие 6,=6,(е) 0 и 6,=6,(е))0, что для всех х, удовлетворяющих условию х,— 6,<х<х„и для всех х, удовлетворяющих условию х,<х<х,+б„справедливо неравенство !1(х) — А (<е. Если обозначить через 6 наименьшее из чисел 6, и 6,, то очевидно, что для всех х, удовлетворяющих условию ! х — х, ! < 6, х чи хь, будет справедливо неравенство )1(х) — А!<е.
Это и означает, что А = 1 пи ) (х). ! ! х х, 4.6. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ Понятие предела функции можно обобщить для случая, когда аргумент функции или ее значения стремятся к бесконечности. Например, будем говорить, что Иш )(х)=со, если для любого х х,+О е ) 0 существует такое 6 ~ О„что для всех х таких, что хь х<х,+6, выполняется неравенство (Г(х)1~г. Можно показать, что зто определение равносильно следующему: 1пп 1(х) — — сс, если функция 1 определена в некотором интерх х -~-О вале (х„хе+ 6), и для любой последовательности х„ен (х„хь-1-6) п=1, 2, ..., !йп хл=х, имеет место Иш Г" (х„)= сс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
