kudryavtsev1a (947413), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Существуют и другие построения действительных чисел, которые исходят из других конкретных объектов, однако все они приводят к совокупностям элементов, удовлетворяющих свойствам 1 — ч' п. 2.1. Напомним (см. п. 2.4*), что наличие свойств 1 — У однозначно определяет совокупность элементов, обладающих этими свойствами. Однозначно в том смысле, что любые две совокупности, для элементов которых выполнены условия 1 — Ч, нзоморфны относительно операций сложения, умножения и свойства упорядоченности.

Здесь мы встречаемся с характерной чертой математических методов исследования, для которых совершенно безразлична природа элементов, а важны лишь «количественные связи> между ними, которые в данном случае выражаются свойствами 1 — »т. 3.1! ь. СЧЕТНОСТЬ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. НЕСЧЕТНОСТЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Возникает естественный вопрос: все ли бесконечные множества содержат одинаковое число элементов или бесконечности бывают разными? Прежде всего оказывается, что непонятно, что вообще означает термин «одинаковое число элементов» для бесконечных множеств. Сравнение бесконечных множеств по количеству содержащихся в них элементов, или, как принято говорить, по их мощности, удобно производить с помощью понятия взаимно однозначного соответствия между элементами множеств (см.

п. 1.2«). Определение 17. Будем еовореипь, что два множества Х и У имеют одинаковое количество элементов или что они равномои!ны, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. С этой точки зрения натуральные числа 1, 2,, п,... содержат столько же элементов, сколько и четные числа 2, 4, ..., 2н, ..., хотя на первый взгляд последних кажется в два раза меньше. Требуемое взаимное однозначное соответствие получается, если натуральному числу н поставить в соответствие число 2п, н = = 1, 2..... Четные числа составляют часть множества натуральных чисел, однако эти множества равномощны, следовательно, в случае бесконечных множеств часть может равняться в нашем смысле целому! 8.!! *.

Счетность и несчетность чисел вэ Определение 18. Множество, которое содержит столько же элементов, сколько ' нвкчуральный ряд чисел, т. е. равномои1ное с множествам натуральных чисел, называется счетным. Таким образом, если Х счетно, то между множеством Х и множеством натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие, или, кэк говорят, можно занумеровать элементы множества Х, понимая под памиром каждого элемента хан Х соответствующее ему при указанном соответствии натуральное число.

Счетные множества являются в определенном смысле простейшями бесконечными множествами. Именно справедлива следующая лемма. Лемма 1. Любое бесконечное множество содержит счетное подмножество. Действительно, пусть Х вЂ” бесконечное множество. Возьмем какой-либо его элемент и обозначим его х,. В силу того, что Х вЂ” бесконечное множество, в нем заведомо имеется хоть один элемент, отличный от элемента х,. Выберем какой-либо из таких элементов и обозначим его х,.

Пусть в множестве Х уже выораны элементы х„, ..., х„. Поскольку Х вЂ” бесконечное множество, то в нем заведомо есть еще и другие элементы; выберем какой-либо из оставшихся элементов и обозначим его через х„, и т. д. В результате мы получили элементы х„АХ, п=1, 2, ..., которые образуют счетное подмножество множества Х. ( ! Лемма 2. Любое бесконечное подмножество счетного множества счетно. Доказательство. Пусть Х вЂ” счетное множество, его элементы могут быть перенумерованы: Х=(аь а„..., а„, ...(.

Пусть У вЂ” бесконечное подмножество множества Х. Обозначим через Ь, первый встретившийся в ряде аь а„..., а„, ... элемент множества У, т. е. тот из элементов а„~Х, который принадлежит множеству У и имеет наименьший номер и,: Ь,=аче Через Ь, обозначим тот из элементов а„, который принадлежит множеству У и имеет наименьший номер среди номеров а~п, и т. д. Каждый элемент множества У имеется в ряде а,, а„..., а„..., поэтому через какое-то конечное число шагов он будет обозначен через Ь, и поскольку множество т' бесконечно, то индекс т примет любое значение 1, 2, 3, ... Таким образом, все элементы множества У окажутся занумерованными натуральными числами пт=1, 2,,...

Это н означает, что множество У является счетным множеством. 1 ( Следующая теорема дает интересный пример счетного множества. Теорема 7. Раииональные числа образуют счетное множество. Доказательство. Расположим рациональные числа в таблицу следующим способом. В первую строчку поместим все целые ф 3. Предел последовательности числа в порядке возрастания их абсол!отпой величины и так, что за каждым натуральным числом поставлено ему противоположное; 0,1,— 1,2,— 2,..., и,— и,..., пенФ, Во вторую строчку поместим все несократимые рациональные дроби со знаменателем 2, упорядоченные по их абсолютной величине, причем снова за каждым положитеаьным числом поставим ему противоположное: 1(2, — 112, 3/2, — 312, от!2, — б(2.

Вообще, в и-ю строчку поместим все несократимые рациональные дроби со знаменателем и, упорядоченные по их абсолютной вели-, чине, так что за каждым положительным следует ему противоположное. В результате получим таблицу с бесконечным числом строк н столбцов: 1 1 и и Очевидно, что каждое рациональное число попадет на какое-то место в этой таблице. Занумеруем теперь элементы получившейся таблицы согласно следующей схеме (в кружочках стоят номера соответствующих элементов, стрелка указывает направление нумерации): В результате все рациональные числа оказываются занумерованными, т.

е. множество Я рациональных чисел счетно. Ц Возникает естественный вопрос: а существуют ли бесконечные множества, не являющиеся счетными? Оказывается, что да, существуют, и онн называются, естественно, нес чет нйм и м ножествами. Важный пример несчетных множеств устанавливается нижеследующей теоремой. 0 1 — 1 1 1 3 2 2 2 1 ! 2 3 3 3 2 — 2 3 5 2 2 2 4 3 3 3.!! ь. Счетность и несчетность чисел Теорема 8 (Кантор).

Множество действшпельных чисел несчетно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное: пусть удалось занумеровать все действительные числа: х„х,, ..., хл, ...; запишем их с помощью допустимых десятичных дробей: и~ (>) ~>~ и) х,=а,,а, а, ... а,„ е~ 'л н> (Я х,=-а,"-, а'>'а,е ... а ' (3.27) х = ссы>,а>">схы> ... а<л> и= ь ! > ' сл Здесь а>">, и=1, 2, ..., т=.1, 2, ..., обозначает одну из цифр О, 1, 2,, 9 а а>л», г = 1, 2, ..., — целое число с тем или иным знаком.

Выберем цифру а„, и — 1, 2, ..., так, чтобы а„э~а'„"' и ас~ь9. Тогда дробь О, а,а, ... а„... является допустимой, но числа а=О, а,ае...а„... заведомо нет среди чисел х„, и= — 1, 2,..., так как десятичная дробь О, а„... а„... хотя бы одним десятичным знаком отличается от каждой из десят)>чных дробей (3.27). Полученное противоречие н доказывает теорему. П Следствие 1. Множество действительных чисел любого интервала несчетно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, что, более того, множество действительных чисел любого интервала равномощно множеству всех действительных чисел. В самом деле, прежде всего любой интервал равномощен интер,- валу ( — 1, -1- 1). Взаимно однозначное соответствие между интервалом (а, Ь) и интервалом ( — 1, + 1) можно установить, например, с помощью линейного отображения х= и . Если ь — и а(! с.Ь, то — 1(х(+1. Интервал ( — 1, + 1) взаимно однозначно с помощью отображения )(х)= ~, — 1(х "1, отображается на всю действительную ось (проверьте это). Таким образом оказывается, что интервал (а, Ь) равномощеп всей действительной оси и, следовательно, является несчетным множеством.

1 ) Взаимно однозначное соответствие между интервалом и всей прямой легко можно наглядно осуществить геометрическим методом: сначала спроектируем открытую полуокружцость, т. е, полу- окружность без концевых точек, с помощью параллельной проекции на интервал (рис. 11) и, тем самым, установим между их точками взаимно однозначное соответствие. Затем с помощью центральной проекции из центра полуокружности спроектируем ф 8, Предел последовательности 86 ее на прямую (рис, 12).

Эта проекция также устанавливает взаимно однозначное соответствие, но на этот раз между указанной полу- окружностью и всей прямой. Следствие 2. Оа любом интервале имеются иррайиональные числа. Доказательство. Действительно, если бы иа некотором интервале не оказалось бы иррационального числа, то это означало бы, что все точки этого интервала являются рациональными числами, т. е. являются подмножеством счетного множества рациональных чисел и, значит, образуют конечное, или счетное, множество (см.

лемму 2), что противоречит следствию 1. ( ) рис. !3 Рвс. П Замечание. В п. 3.10 доказано, что действительное число есть предел последовательности рациональных чисел (напримср, своих верхних десятичных приближений). Отсюда сразу следует, что всякий интервал содержит бесконечно много рациональных чисел. В самом деле, пусть задан интервал (а, Ь). Выберем какое- либо число $~(а, Ь), например $= —.

Тогда если $„, и= а+э =1, 2,,— верхние десятичные приближения для $, то $, ~ $ и 1пп $„= э. Поскольку интервал (а, Ь) является окрестностью выбранной точки $, то согласно определению предела последовательности почти все рациональные числа $„будут содержаться в интервале (а, Ь). Иначе говоря, найдется такой номер п„что для всех номеров и =- и, будет выполняться неравенство а ( $„~ Ь, т. е. Э„, и = п„п,+ 1, ..., — искомые рациональные числа.

Характеристики

Список файлов книги